湖南省永州市2019届高三上学期第二次模拟考试数学（理）试题（图片版）.doc

1、 永州市 2019 年高考第二次模拟考试试卷 数学（理科）参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A B D A A D C D C B C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上. 13 1 3 ? 14 2 2 1 9 x y? 152 16? 2 1 e ? ? ， 三、解答题：本大题共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （本小题满分 12 分）

2、 解：解：(1) 3sincos2sin2 6 AAA ? ? ? ? 3 分 又0A?，所以 2 3 A ? ?. 6 分 (2) 因为sinsin)3sinBCaA?（ ， 所以3bc? 8 分因 为 13 sin 22 bcA ? ,所以 2bc ? 10 分 所以 2222 2cos()327abcbcAbcbc? .12 分 18 （本小题满分 12 分） 解：解： （1）因为四边形 ABCE 为矩形，所以 BCAD. 因为ADADEBCADE?面，面 所以BC平面ADE 同理CF平面ADE .3 分 又因为BC CFC? ，所以平面BCF平面ADE 因为BF ?平面BCF，所以BF

3、平面ADE .5 分 （2）因为AD DED? ，CDAD?，CDDE?，所以CD ?平面ADE 因为CD ?平面CDEF，所以平面CDEF ?平面ADE 过点 A 作AODE?于点O，则AO ?平面CDEF .7 分 所以60ADE? 由 2,3ADDE?, 得1DO ?，2EO ? ，3AO ? 以O为原点，平行于DC的直线为x轴，DE所在直线为y轴，OA所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz? ，则 ? 0,0, 3 ,3, 1,0 ,0, 1,0 ,(0,2,0)ACDE?, 1 3,0 2 G? ? ? ? ? 3,0, 3OBOAABOADC? ? 3, 0 ,3

4、B? 则? 3,2,3BE ? ? ， 1 0,3 2 BG ? ? ? ? 设平面BEG的法向量为 ),(zyxm? ， 则由 ? ? ? ? ? ? ? 0 0 BGm BEm 得 3230 1 30 2 xyz yz ? ? ? ? ? ? ? 取其一个法向量为 3 1,2, 3 m ? ? ? ? ? 又平面DEG的一个法向量为(0,0,1)n? .10 分 所以 3 1 3 cos= 4 4 13 3 m n? ? ， 所以二面角B-EG-D的余弦值为 1 4 .12 分 19 （本小题满分12 分） （1）解：由题意可知，抛物线的准线方程为 2 p y ? ? 又点P的纵坐标为 8

5、，且PF=9，于是 8+ 2 p =9，所以2p ? 4 分 故抛物线E的方程为 2 4xy? .5 分 （2）证明：设点 M(m，-1)， 00 (,)N xy， 0 0x ?，因为 2 1 4 yx?，所以 1 2 yx? 切线方程为 000 1 () 2 yyx xx?，即 2 00 11 24 yx xx? .7 分 令1y ? ?，可解得 2 0 0 4 2 x m x ? ?，所以 2 0 0 4 (, 1) 2 x M x ? ? . 8 分 又(01)F，所以 2 0 0 4 (, 2) 2 x FM x ? ?， 00 (,1)FNx y? .9 分 222 000 00 0

6、 44 2220 222 xxx FM FNxy x ? ? .11 分 所以FMFN? .12 分 20解： （1）选择方案一，则每一次摸到红球的概率为 101 303 p ? .1 分 设“每位顾客获得 180 元返金劵”为事件 A，则? ? 3 3 3 11 327 P AC ? ? ? ? 3 分 所以两位顾客均获得 180 元返金劵的概率? ? ? 729 1 ?APAPP .5 分 （2）若选择抽奖方案一，则每一次摸到红球的概率为 1 3 ，每一次摸到白球的概率为 2 3 . 设获得返金劵金额为X元，则X可能的取值为 60，100，140，180. 则 ? 3 0 3 28 60

7、327 P XC ? ? ? ? ； ? 12 1 3 124 100 339 P XC ? ? ? ? ? ? ? ； ? 2 2 3 122 140 339 P XC ? ? ? ? ? ? ? ； ? 3 3 3 11 180 327 P XC ? ? ? ? . 所以选择抽奖方案一，该顾客获得返金劵金额的数学期望为 ? 8421 60100140180100 279927 E X ? （元） .9 分 若选择抽奖方案二，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为Y，最终获得返金劵的 金额为Z元，则 1 3, 3 YB? ? ? ? ? ，故? ? 1 31 3 E Y ? ? 所以选择抽奖方

8、案二，该顾客获得返金劵金额的 数学期望为? ?8080E ZEY?（元）. 11 分 即? ? ?E XE Z?，所以该超市应选择第一种抽奖方案 12 分 21 （本小题满分 12 分） 解：解：(1) 22 )(1() 1)(1(2)( a a exaxaaxeaexf xxx ? ? 2a ?令0)(? ? x f得1x ? ?或0x ? 2 分 所以函数)(xf的单调递增区间为) 1,(?，?0,?，单调递减区间为?1,0?4 分 （2）当 2 1 0? a时， 22 0 x a e a ? ?恒成立， 所以? ?f x在) 1,(?递减，在?1,? ?递增 则 1x ? ?为函数)(x

9、f极小值点 又因为 22 22 ( 2)(1)(1)10 a faa ee ? ? ? ?对于 2 1 0? a恒成立 ( 1)0 a f e ? ?对于 2 1 0? a恒成立 (0)(1)0fa? ?对于 2 1 0? a恒成立 所以当12?x时，)(xf有一个零点 1 x，当01?x时，)(xf有一个零点 2 x 即12 1 ?x，01 2? ?x 且0) 1)(1()( 2 111 1 ?xaeaxxf x ，0) 1)(1()( 2 222 2 ?xaeaxxf x 所以 12 31xx? ? ? .8 分 下面再证明2 21 ?xx即证 21 2xx? 由01 2? ?x得122

10、2 ?x 又)(xf在) 1,(?上递减，于是只需证明)2()( 21 xfxf?， 即证明0)2( 2 ?xf 2 2 2 2 2 2 2 22 ) 1)(1()2() 1)(1()2()2( 22 ? ? xaexaxaexaxf xx 将 2 2 22 (1)(1)0 x ax eax? 代入得 ? 2222 2 2 22 2 22 )2()2()2( xxxx exexaeaxexaxf? ? 令)01()2()( 2 ? ? xxeexxg xx 则 2 ( )(1)() xx g xxee ? ? ? 因为 2 ( ) xx h xee ? ? ?为 )0 , 1(?上的减函数，且

11、0) 1(?h 所以 2 ( )(1)()0 xx g xxee ? ? ?在)0 , 1(?上恒成立 于是)(xg为)0 , 1(?上的减函数，即0) 1()(? gxg 所以0)2( 2 ?xf，即2 21 ?xx成立 综上所述， 23 21 ?xx 12 分 22.（本小题满分 10 分） 解： （1）曲线 1 C：1?=化为直角坐标方程为： 22 1xy? .2 分 过点(1, 3)M直线l的直角坐标方程为：3 1yx? .5 分 （2）将直线l的参数方程与曲线 1 C的直角坐标方程联立可得： ?012t 2 0 2 000 2 ?yxtyx .6 分 则 22 1200 1MA MB

12、t txy?（其中 1 t、 2 t为方程的两根） 8 分 又点M在 2 C上，则 22 00 4xy+=， 故 22 00 14 13MAMBxy? 10 分 23.（本小题满分 10 分） 解： （1）1a ?时，原不等式变为：xx?12； 当0?x时，原不等式恒成立，故0?x； 当0?x时，原不等式可化为xxxx?1212或，解得： 3 1 01?xx或 综上，1a ?时，不等式? ?2f xx?的解集为 ? ? ? ? ? ? ?1 3 1 xxx或. 5分 （2）? ? ?2122121f xxxaxxaa? ?， 8 分 所以( )yf x?的最小值为1a?，当且仅当?21 20xxa?时取得最小值， 故11a?， 0a?或2a ?. .10 分