河南省郑州市2019届高三第一次（1月）质量预测数学（理）试题.doc

1、 20192019 年高中毕业年级第一次质量预测年高中毕业年级第一次质量预测 理科数学试题卷理科数学试题卷 第第卷（卷（选择题选择题） 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1.若复数1 2 () 2 ai aR i ? ? ? 的实部和虚部相等，则实数a的值为 A1 B-1 C 1 6 D 1 6 ? 2.已知集合 | 34Mxx? ?， 2 |280Nx xx? ?，则 AMNR? B | 3

2、4MNxx? ? C | 24MNxx? ? D | 24MNxx? ? 3.已知矩形ABCD中，24BCAB?，现向矩形ABCD内随机投掷质点M，则满足0MB MC?的概 率是 A 4 ? B 4 4 ? C 2 ? D 2 4 ? 4.下列函数既是奇函数，又在 1,1?上单调递增的是 A( ) |sin|f xx? B( )ln ex f x ex ? ? ? C. 1 ( )() 2 xx f xee? D 2 ( )ln(1f xxx? ? ） 5.在ABC?中，三边长分别为a，2a ?，4a ?，最小角的余弦值为 13 14 ，则这个三角形的面积为 A153 4 B15 4 C. 2

3、1 3 4 D 35 3 4 6.如图，在ABC?中， 2 3 ANNC?，P是BN上一点，若 1 3 APtABAC?，则实数t的值为 A 2 3 B 2 5 C. 1 6 D 3 4 7.已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab ?的左右焦点分别为 1 F， 2 F， 实轴长为 6， 渐近线方程为 1 3 yx? ?， 动点M在双曲线左支上，点N为圆 22 :(6)1E xy?上一点，则 2 |MNMF?的最小值为 A8 B9 C.10 D11 8.已知函数( )sin()(0,) 22 f xx ? ? ?的图像相邻的两个对称中心之间的距离为 2 ? ，若将函 数( )

4、f x的图像向左平移 6 ? 后得到偶函数( )g x的图像，则函数( )f x的一个单调递减区间为 A, 86 ? ? ? B 7 , 4 12 ? C. 0, 3 ? D 5 , 26 ? 9.如图，网格纸上小正方形的边长为 2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A16 2(32 16 2 16 5)? B16 2(16 16 2 16 5)? C.16 2(32 32 232 5)? D16 2(16 32 232 5)? 10.已知直三棱柱 111 ABCABC?中的底面为等腰直角三角形，ABAC?，点M，N分别是边 1 AB， 1 AC 上动点，若直线MN平面 11

5、 BCC B，点Q为线段MN的中点，则点Q的轨迹为 A双曲线的一支（一部分） B圆弧（一部分） C. 线段（去掉一个端点） D抛物线的一部分 11.抛物线 2 2(0)xpy p?的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足60AFB?，过 弦AB的中点C作该抛物线准线的垂线CD，垂足为D，则 | | AB CD 的最小值为 A3 B1 C. 2 3 3 D2 12.已知函数 2 32 36 ,0, ( ) 34,0, xx x f x xxx ? ? ? ? ? ? 设| ( ( )0AxZ x f xa?， 若 1 A中有且仅有 4 个元素， 则 满足条件的整数a的个数为 A31

6、B32 C.33 D34 第第卷（卷（非选择题非选择题） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.已知 2 1 ()nx x ?的展开式的各项系数和为 64，则展开式中 3 x的系数为 14.已知变量x，y满足 240, 2, 60, xy x xy ? ? ? ? ? ? ? 则 1 3 y z x ? ? ? 的取值范围是 15.中国诗词大会 （第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设 计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若沁园春长沙 、 蜀道难 、

7、敕勒歌 、 游子吟 、 关山月 、 清平乐六盘山排在后六场，且蜀道难排在游子吟的前面， 沁园春长 沙与清平乐六盘山不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有 种 （用数字作答） 16.如图放置的边长为 1 的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点.设顶点( , )P x y的轨迹方程是 ( )yf x?，则对函数( )yf x?有下列判断：函数( )yf x?是偶函数；对任意的xR?，都有 (2)(2)f xf x?；函数( )yf x?在区间2,3上单调递减；函数( )yf x?的值域是0,1； 2 0 1 ( ) 2 f x dx ? ? ? .其中判断正确的序号是 三、三、解答题解答题：

8、共共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .第第 17172121 题为题为必考题，必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答. .第第 2222、2323 题题为选考题，考生根据要求作答为选考题，考生根据要求作答. . 17. 已知数列 n a为等比数列，首项 1 4a ?，数列 n b满足 2 log nn ba?，且 123 12bbb?. （）求数列 n a的通项公式； （）令 1 4 nn nn ca b b ? ? ? ，求数列 n c的前n项和 n S. 18. 已知四棱锥中PABCD?，底面ABCD为菱

9、形，60ABC?，PA ?平面ABCD，E、M分别是 BC、PD上的中点，直线EM与平面PAD所成角的正弦值为 15 5 ，点F在PC上移动. （）证明：无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF ?平面PAD； （）求点F恰为PC的中点时，二面角CAFE?的余弦值. 19. 2012 年 12 月 18 日， 作为全国首批开展空气质量新标准监测的 74 个城市之一， 郑州市正式发布2.5PM 数据.资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善.郑 州市设有 9 个监测站点监测空气质量指数（AQI） ，其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设 有 2

10、,5,2 个监测站点，以 9 个站点测得的AQI的平均值为依据，播报我市的空气质量. （）若某日播报的AQI为 118，已知轻度污染区AQI的平均值为 74，中度污染区AQI的平均值为 114， 求重度污染区AQI的平均值； （）如图是 2018 年 11 月的 30 天中AQI的分布，11 月份仅有一天AQI在170,180)内. 组数 分组 天数 第一组 50,80) 3 第二组 80,110) 4 第三组 110,140) 4 第四组 140,170) 6 第五组 170,200) 5 第六组 200,230) 4 第七组 230.260) 3 第八组 260,290) 1 郑州市某中学

11、利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的AQI为标准，如果AQI小于 180，则去进 行社会实践活动.以统计数据中的频率为概率，求该校周日进行社会实践活动的概率； 在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测 数据中抽取 3 天的数据进行评价，设抽取到AQI不小于 180 的天数为X，求X的分布列及数学期望. 20. 设M点为圆 22 :4C xy?上的动点，点M在x轴上的投影为N，动点P满足23PNMN?，动 点P的轨迹为E. （）求E的方程； （）设E的左顶点为D，若直线: l ykxm?与曲线E交于两点A，B（A，B不是左右顶点） ，且满

12、足| |DADBDADB?，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标. 21. 已知函数 2 ( )8ln ()f xxxax aR?. （）当1x ?时，( )f x取得极值，求a的值并判断1x ?是极大值点还是极小值点； （）当函数( )f x有两个极值点 1 x， 212 ()x xx?，且 1 1x ?时，总有 2 1 11 1 ln (43) 1 ax txx x ? ? 成立，求t的 取值范围. 选考题：共选考题：共 1010 分分. .请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多两题中任选一题作答，如果多选选，则按所做的第一题，则按所做的第一题计计分分. .

13、22.选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 22 1: (3)9Cxy?，A是曲线 1 C上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极 坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90?得到点B，设点B的轨迹方程为曲线 2 C. （）求曲线 1 C， 2 C的极坐标方程； （）射线 5 (0) 6 ? ?与曲线 1 C， 2 C分别交于P，Q两点，定点( 4,0)M ?，求MPQ?的面积. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数( ) |32 |22|()f xxaxaR?. （）当 1 2 a ?时，解不等式( )6f x ?； （）若对任意 0 xR?，不等式 000 (

14、)34 |22|f xxx? ?都成立，求a的取值范围. 试卷答案试卷答案 一、选择题一、选择题 1-5:CDBCA 6-10: CBBAC 11、12：BD 二、填空题二、填空题 13. 20 14. 13, 4? 15.144 16. 三、解答题三、解答题 17. 解（）由 2 log nn ba?和 123 12bbb?得 2123 log ()12aa a?， 12 1 23 2aa a ?. 设等比数列 n a的公比为q， 1 4a ? 26312 1 23 4 4422aa aqqq? ?， 计算得出4q ? 1 4 44 nn n a ? ? ? （）由（1）得 2 log 42

15、 n n bn?， 41 44 22(1)(1) nn n c nnn n ? ? 11 4 1 n nn ? ? 设数列 1 (1)n n? 的前n项和为 n A，则 11111 1 2231 n A nn ? ? ?1 n n ? ? 设数列4 n 的前n项和为 n B，则 4444 (41) 1 43 n n n B ? ? ? ， 4 (41) 13 n n n S n ? ? 18.（）证明：连接AC 底面ABCD为菱形，60ABC?， ABC?是正三角形， E是BC中点，AEBC? 又ADBC，AEAD? PA ?平面ABCD，AE ?平面ABCD， PAAE?，又PAAEA? A

16、E ?平面PAD，又AE ?平面AEF 平面AEF ?平面PAD. （）由（）得，AE，AD，AP两两垂直，以AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建 立如图所示的空间直角坐标系， AE ?平面PAD， AME?就是EM与平面PAD所成的角， 在Rt AME?中， 15 sin 5 AME?，即 6 2 AE AM ?， 设2ABa?，则3AEa?，得2AMa?， 又2ADABa?，设2PAb?，则(0, , )Ma b， 所以 22 2AMaba?， 从而ba?，2PAADa?， 则(0,0,0)A，( 3 ,0)Baa?，( 3 , ,0)Ca a，(0,2 ,0)Da，(0,0,

17、2 )Pa， ( 3 ,0,0)Ea， 3 (, ) 22 a a Fa， 所以( 3 ,0,0)AEa?， 3 (, ) 22 a a AFa?，(3 ,3 ,0)BDa a? ?， 设( , , )n x y z是平面AEF一个法向量，则 0 0 n AE n AF ? ? ? ? ? ? ? 30 3 0 22 ax axay az ? ? ? ? ? ? ? 取za?，得(0, 2 , )na a? 又BD ?平面ACF，(3 ,3 ,0)BDa a? ?是平面ACF的一个法向量， cos, | | n BD n BD nBD ? ? ? 2 615 552 3 a aa ? ? ? ? 二面角CAFE?的余弦值为 15 5 . 19.（）设重度污染区AQI的