（新教材）高中数学人教B版必修第三册课件：8.2.4　第2课时　三角函数的积化和差与和差化积.pptx

1、第第2 2课时课时 三角函数的积化和差与和差化积三角函数的积化和差与和差化积 课标阐释 1.理解三角函数的积化和差与和差化积公式的推导过程. 2.能利用积化和差与和差化积公式进行简单的三角函数式的化简、 求值和证明. 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 求 tan 10+ 1 cos50 的值,通常可能这样计算:tan 10+ 1 cos50 = sin10 cos10 + 1 cos50 = sin10 cos50 +cos10 cos10 cos50 ,到这一步许多人就束手无策 了.对此,你有好的计算方法吗? 考虑到10+50=60是特殊角,正、余弦值可求.只要把sin 10cos 50化为两项

2、之和或两项之差就能达到化简的目的(分母 同理),这一变形式就是正、余弦函数积化和差的公式,是本节的重 要公式. 激趣诱思 知识点拨 知识点一:积化和差公式 cos cos =1 2cos(+)+cos(-); sin sin =-1 2cos(+)-cos(-); sin cos =1 2sin(+)+sin(-); cos sin =1 2sin(+)-sin(-). 激趣诱思 知识点拨 名师点析 在积化和差的公式中,如果“从右往左”看,实质上就是和差 化积.牢记两组公式的区别与联系,才能正确使用.在运用和差化积公 式时,必须是一次同名三角函数方可施行,若是异名,则必须用诱导公 式化为同名;

3、若是高次函数,则必须用降幂公式降为一次. 根据实际问题选用公式时,应考虑以下几个方面: (1)运用公式之后,能否出现特殊角. (2)运用公式之后,能否提公因式,能否约分,能否合并或者消项. (3)运用公式之后,能否使三角函数的结构更加简单,各种关系更加明 显,从而为下一步选用公式进行变换创造条件.对于三角函数的和差 化积,有时因使用公式不同或选择解题的思路不同,化积结果可能不 一致. 为了能够把三角函数式化为积的形式,有时需要把某些常数当作三角 函数值应用公式,如 然后化积. 1 2-cos ,应先把 1 2转化为 cos 3,使其变为 cos 3-cos , 激趣诱思 知识点拨 微思考 积化

4、和差公式有何特点? 提示积化和差公式中,同名三角函数之积化为两角和与差余弦和 (差)的一半,异名三角函数之积化为两角和与差正弦和(差)的一半, 等式左边为单角,等式右边为它们的和与差. 微练习 计算:(1)sin 52.5 cos 7.5= ; (2)sin sin 3= . 答案(1) 3+ 2 4 (2)1 2cos 2- 1 2cos 4 激趣诱思 知识点拨 知识点二:和差化积公式 cos x+cos y=2cosx+y 2 cosx-y 2 ; cos x-cos y=-2sinx+y 2 sinx-y 2 ; sin x+sin y=2sinx+y 2 cosx-y 2 ; sin

5、x-sin y=2cosx+y 2 sinx-y 2 . 激趣诱思 知识点拨 名师点析 利用和差化积及积化和差公式进行转化求值时,要注意: (1)积化和差时,可以是同名函数的乘积,也可以是异名函数的乘积, 而和差化积时,必须是同名函数的和差. (2)和差化积时,两函数值的系数是绝对值相同,注意特殊角的三角 函数与特殊值在转化中的使用技巧. 三角恒等式的证明主要从两个方面入手: (1)看角,分析角的差异,消除差异,向所求结果中的角转化; (2)看函数,统一函数,向所求结果中的函数转化. 激趣诱思 知识点拨 微思考 和差化积公式有何特点? 提示余弦的和或差化为同名三角函数之积;正弦的和或差化为异名

6、 三角函数之积;等式左边为单角 x 与 y,等式右边为x+y 2 与 x-y 2 的形式. 微练习 cos x-1 2= . 答案-2sin x 2 + 6 sin x 2 - 6 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 三角函数式的化简与求值三角函数式的化简与求值 例 1 1 sin40 + cos80 sin80 = . 分析利用积化和差与和差化积公式化简、求值. 解析原式=2cos40 +cos80 sin80 =cos40 +2cos60 cos20 sin80 =cos40 +cos20 sin80 =2cos30 cos10 sin80 =2cos 30= 3. 答案 3 探究

7、一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 三角函数化简与求值的策略 当条件或结论式比较复杂时,往往先将它们化为最简形式,再求解. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究若把本例改为:sin 20cos 70+sin 10sin 50,试求值. 解原式=1 2(sin 90-sin 50)+ 1 2(cos 40-cos 60) =1 2 1 2sin 50+ 1 2cos 40- 1 4 = 1 4. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 证明恒等式证明恒等式 例 2 求证:sin sin(60+)sin(60-)=1 4sin 3. 分析根据积化和差公式将左边变形

8、整理,进行角的统一. 证明左边=sin - 1 2 (cos 120-cos 2) =1 4sin + 1 2sin cos 2 =1 4sin + 1 4sin 3+sin(-) =1 4sin + 1 4sin 3- 1 4sin = 1 4sin 3. 反思感悟 三角恒等式证明的思路 当要证明的不等式一边复杂,另一边非常简单时,我们往往从复杂 的一边入手证明,类似于化简. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练1已知sin A+sin 3A+sin 5A=a,cos A+cos 3A+cos 5A=b, 求证:(2cos 2A+1)2=a2+b2. 证明由题意知(sin A

9、+sin 5A)+sin 3A =2sin 3Acos 2A+sin 3A=a, (cos A+cos 5A)+cos 3A =2cos 3Acos 2A+cos 3A=b, 则sin 3A(2cos 2A+1)=a, cos 3A(2cos 2A+1)=b. 两式平方相加,得(2cos 2A+1)2=a2+b2. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 与三角函数有关的综合问题与三角函数有关的综合问题 例 3 求函数 y=sin x sin x-sin + 3 的最值. 分析先将解析式化简,然后求解. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 y=sin x sin-sin + 3

10、 =sin x2cos + 6 sin - 6 =-sin xcos + 6 =- 1 2 sin 2 + 6 + sin - 6 =-1 2sin 2 + 6 + 1 4, 因为 sin 2 + 6 -1,1, 所以当 sin 2 + 6 =-1, 即 x=k- 3,kZ 时,ymax= 3 4; 当 sin 2 + 6 =1, 即 x=k+ 6,kZ 时,ymin=- 1 4. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 三角函数综合问题的求解策略 求解三角函数性质问题,往往将解析式化为一个角一种三角函数的 形式后再研究其性质. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训

11、练 2 已知函数 f(x)=cos xcos - 3 . (1)求 f 2 3 的值; (2)求使 f(x)1 4成立的 x 的取值集合. 解 f(x)=cos xcos - 3 =1 2 cos 2- 3 + cos 3 =1 2cos 2- 3 + 1 4. (1)f 2 3 = 1 2cos 2 2 3 - 3 + 1 4 =-1 2 + 1 4=- 1 4. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2)f(x)1 4, 1 2cos 2- 3 + 1 4 1 4, cos 2- 3 0, 于是 2k+ 22x- 32k+ 3 2 ,kZ, 解得 k+5 12xk+ 11 12 ,

12、kZ,故使 f(x)1 4成立的 x 的取值集合为 x k+ 12xk+ 11 12 ,kZ . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 积化和差、和差化积公式的应用规律积化和差、和差化积公式的应用规律 (1)积化和差公式中:同名函数之积化为两角和与差余弦和(差)的一 半,异名函数之积化为两角和与差正弦和(差)的一半,等式左边为单 角、,等式右边为它们的和差角. (2)和差化积公式中:两三角函数的系数绝对值必须相同,且为同名, 一次三角函数方可施行,若是异名需用诱导公式化为同名,若是高 次函数,必须用降幂公式降为一次函数. 余弦函数的和或差化为同名函数之积;正弦函数的和或差化为异名 函数之

13、积;等式左边为单角与,等式右边为 + 2 与 - 2 的形式. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 典例 求值:cos2 7 +cos4 7 +cos6 7 . 解 cos2 7 +cos4 7 +cos6 7 = 1 2sin 2 7 2sin2 7 cos2 7 +2sin2 7 cos4 7 +2sin2 7 cos6 7 = 1 2sin 2 7 sin4 7 +sin6 7 +sin - 2 7 +sin8 7 +sin - 4 7 = 1 2sin 2 7 (sin4 7 +sin 7-sin 2 7 -sin 7-sin 4 7 )= 1 2sin 2 7 -sin 2

14、7 =-1 2. 方法点睛 本题根据分式的性质,创造性地对算式的结构进行变换, 构造积的运算,然后由三角函数的倍角公式,积化和差公式及诱导 公式得解. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1.sin 4 + cos 4 + 化为和差形式为( ) A.1 2sin(+)+ 1 2cos(-) B.1 2cos(+)+ 1 2sin(-) C.1 2sin(+)+ 1 2sin(-) D.1 2cos(+)+ 1 2cos(-) 答案B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2.cos 20+cos 60+cos 100+cos 140的值为( ) A.-1 2 B.1 2 C. 3

15、 2 D. 2 2 解析原式=cos 20+1 2+2cos 120cos 20 =cos 20+1 2+2 - 1 2 cos 20=1 2. 答案B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3.sin 15sin 30sin 75的值是 . 解析 sin 15sin 30sin 75=sin 30(sin 15sin 75) =1 2 - 1 2 cos(15+75)-cos(15-75) =-1 4(cos 90-cos 60)=- 1 4 0- 1 2 =1 8. 答案1 8 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4.sin 105+sin 15= , cos 75cos 15= . 解析 sin 105+sin 15=2sin 105+15 2 cos105-15 2 =2sin 60cos 45= 6 2 . cos 75cos 15=1 2cos(75+15)+cos(75-15) =1 2(cos 90+cos 60)= 1 4. 答案 6 2 1 4