（新教材）高中数学人教B版必修第三册综合测评.docx

1、综合测评综合测评 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、单项选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.函数 y=4sin 2x(xR)是( ) A.周期为 2的奇函数 B.周期为 2的偶函数 C.周期为 的奇函数 D.周期为 的偶函数 解析周期为 =,因为定义域为 R,以-x替换 x,得 4sin(-2x)=-4sin 2x,可知函数为奇函数. 答案 C 2.sin 140cos 10+cos 40sin 350=( ) A. B.- C. D.- 解析依题意,原式=sin 40cos 10-cos 40sin 10

2、=sin(40-10)=sin 30= ,故选 A. 答案 A 3.已知 0, ,2sin 2=cos 2+1,则 sin = ( ) A. B. C. D. 解析2sin 2=cos 2+1,4sin cos =2cos2, 0, ,cos 0,sin 0, 2sin =cos . 又 sin2+cos2=1,sin = .故选 A. 答案 A 4.在边长为 2的菱形 ABCD 中,BAD=60,E是 BC的中点,则 =( ) A. B. C. D.9 解析由题意知ABC=120, =2 2 cos 120=-2, =( ) ( )=( ) = 2 2- (-2)+2 2=9.故选 D. 答

3、案 D 5. 函数 f(x)=sin(2x+)(0)的图像如图所示,为了得到 g(x)=sin 2x 的图像,可将 f(x)的图像( ) A.向右平移 个单位 B.向右平移 个单位 C.向左平移 个单位 D.向左平移 个单位 解析因为 f(x)=sin(2x+)(00,则ABC为锐角三角形 B.若 a b=0,则ABC为直角三角形 C.若 a b=c b,则ABC为等腰三角形 D.若 c a+c2=0,则ABC为直角三角形 解析在ABC中, =c, =a, =b, 若 a b0,则BCA 是钝角,ABC是钝角三角形,选项 A 错误; 若 a b=0,则 ,ABC为直角三角形,选项 B正确; 若

4、 a b=c b,则 b (a-c)=0,即 ( )=0; ( )=0,取 AC的中点 D,则 2 =0,所以 BA=BC,即ABC为等腰三角形,选项 C正确; 因为 c a+c2= ( )=0,所以 =0,所以 ,即选项 D正确. 故选 B,C,D. 答案 BCD 12.对于函数 f(x)= cos 2x- ,给出下列结论,其中正确的是( ) A.函数 f(x)的最小正周期为 2 B.函数 f(x)在* +上的值域是 C.函数 f(x)在* +上单调递减 D.函数 f(x)的图像关于点 - ,0 对称 解析由诱导公式可得: f(x)= cos 2x- = sin 2x, 所以 T= =2,选

5、项 A 错误; 若 x* +,则 2x* + sin 2x* +,故函数 f(x)在* +上的值域是* +,选项 B 错误; 令 +2k2x +2k(kZ),即 +kx +k(kZ),函数 f(x)在* + (kZ)上单调递 减,当 k=0时,函数 f(x)在* +上单调递减,选项 C正确; 令 2x=k(kZ),则 x= (kZ),函数 f(x)= sin 2x 的对称中心为 ,0 (kZ),当 k=-1 时,函数 f(x)的图 像关于点 - ,0 对称,选项 D正确. 答案 CD 三、填空题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分. 13.若 sin ,且 sin 0,则 是第 象限角.

6、 解析由倍角公式得 cos =1-2sin2 =1-2 2=- 0,又 sin 0,因此, 是第三象限角. 答案三 14.设 为锐角,若 cos + = ,则 sin 2+ 的值为 . 解析设 =+ ,则 sin = ,sin 2=2sin cos = ,cos 2=2cos 2-1= , 因此 sin 2+ =sin 2+ =sin 2- =sin 2cos -cos 2sin . 答案 15.已知平面向量 a,b,c 满足|a|=1,|b|=1,|c-(a+b)|a-b|,则|c|的最大值为 . 解析当|c|为定值时,|c-(a+b)|当且仅当 c 与 a+b 同向时取最小值,此时|c-(

7、a+b)|=|c|-|a+b|a-b|, 所以|c|a+b|+|a-b|.因为|a|=|b|=1, 所以(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)=4, 所以(|a+b|+|a-b|)2=(a+b)2+(a-b)2+2|a+b| |a-b|2(a+b)2+(a-b)2=8, 所以|c|a+b|+|a-b|2 ,当且仅当 ab 且 c 与 a+b 同向时取等号. 答案 2 16.函数 y=cos2x-4sin x 的最小值为 ,最大值为 . 解析 y=cos2x-4sin x=1-sin2x-4sin x =-(sin x+2)2+5, 因为 sin x-1,1,所以当 sin x=-1时,y

8、max=-1+5=4; 当 sin x=1时,ymin=-9+5=-4. 答案-4 4 四、解答题:本题共 6小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知 f(a)= - - - - - . (1)化简 f(a); (2)若 f(a)= ,且 a ,求 cos a-sin a 的值. 解(1)f(a) = - - - - - = - - =sin acos a= sin 2a. (2)由(1)知,f(a)= sin 2a= ,得 sin 2a= , 所以(cos a-sin a)2=1-sin 2a= , 因为 a ,所以 cos a-sin a)的终边分

9、别与单位圆交于 A,B 两点,点 A的坐标 为 . (1)若点 B的坐标为 ,求 cos(+)的值; (2)若 ,求 sin . 解(1)因为 、 是锐角,且 A ,B 在单位圆上,所以 sin = ,cos = ,sin = ,cos = ,故 cos(+)=cos cos -sin sin = =- . (2)因为 , 所以| | |cos(-)= , 且| |=| |=1,所以 cos(-)= ,可得 sin(-)= (),且 cos = ,sin = , 故 sin =sin +(-)=sin cos(-)+cos sin(-)= . 20.(12分)已知函数 f(x)=sin(-x)

10、cos x+cos2x(0)的最小正周期为 . (1)求 的值; (2)将函数 y=f(x)的图像上各点的横坐标变为原来的 ,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图像,求函数 g(x) 在区间* +上的最小值. 解(1)因为 f(x)=sin(-x)cos x+cos2x, 所以 f(x)=sin xcos x+ sin 2x+ cos 2x+ sin( ) . 由于 0,依题意得 =,所以 =1. (2)由(1)知 f(x)= sin( ) , 所以 g(x)=f(2x)= sin( ) . 当 0 x 时, 4x+ ,所以 sin( )1.因此 1g(x) . 故 g(x)在区间* +上的

11、最小值为 1. 21.(12分)向量 a= cos x,- ,b=( sin x,cos 2x),xR,设函数 f(x)=a b. (1)求 f(x)的表达式并化简; (2)求出 f(x)的最小正周期并在下图中画出函数 f(x)在区间0,内的简图; (3)若方程 f(x)-m=0在0,上有两个根 ,求 m的取值范围及 + 的值. 解(1)f(x)= sin xcos x- cos 2x = sin 2x- cos 2x=sin 2x- . (2)f(x)的最小正周期 T=. (3)由图可知,当 m -1,- 时, ,即 += ;当 m - ,1 时, ,即 += ;所以 m的取 值范围为 -1

12、,- - ,1 ,且 += 或 . 22.(12分)已知向量 = cos ,sin , = cos ,-sin ,且 x - . (1)若 f(x)= ,求函数 f(x)关于 x 的解析式; (2)求 f(x)的值域; (3)设 t=2f(x)+a 的值域为 D,且函数 g(t)= t 2+t-2 在 D 上的最小值为 2,求 a的值. 解(1)f(x)= =cos cos -sin sin =cos =cos 2x. (2)由(1)知 f(x)=cos 2x, x*- +,2x - , cos 2x0,1.故函数 f(x)的值域为0,1. (3)由(2)知 2f(x)+aa,a+2, 即 D=a,a+2. 由题可得,g(t)对称轴为 t=-1,且当 t-1时,g(t)单调递减;当 t-1 时,g(t)单调递增. 当 a+2-1,即 a-3时,g(t)min=g(a+2)= (a+2) 2+(a+2)-2=2,解得 a=-6或 a=0(舍). 当 a-1a+2,即-3a-1时,g(t)min=g(-1)= -1-2=- ,不符合题意. 当 a-1时,g(t)min=g(a)= a 2+a-2=2,解得 a=2 或 a=-4(舍).综上所述,a=2或 a=-6.