（新教材）高中数学人教B版必修第三册课件：8.1.1　向量数量积的概念.pptx

1、8.1.18.1.1 向量数量积的概念向量数量积的概念 课标阐释 1.理解向量数量积的含义及其物理意义. 2.知道向量的投影与向量数量积的几何意义. 3.掌握数量积的定义及运算性质,并会利用其性质解决有关长度、 夹角、垂直等问题. 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 在物理学中,我们知道,一个物体受到力的作用,如果在力的方向上 发生一段位移,我们就说这个力对物体做了功.如果力的方向和物 体运动的方向相同,功就等于力的大小和位移大小的乘积.而当力 的方向与物体运动的方向成角时,其与位移方向平行的分力F1满 足|F1|=|F|cos ,物体在F1的方向上产生了位移s,因此F对物体做的 功W=|F|s|c

2、os .在这个公式中,当为锐角时,W0,称力对物体做了 正功;当为钝角时,W0,称力对物体做了负功.也就是说W是一个数 量,我们称W为F与s的数量积(也称内积).物体运动时,本节我们从物 体的受力做功入手,学习两个向量的数量积. 激趣诱思 知识点拨 知识点一:两个向量的夹角 给定两个非零向量 a,b,在平面内任选一点 O,作 =a, =b,则称 0,内的AOB 为向量 a 与向量 b 的夹角,记作. 当= 2时,称向量 a 与向量 b 垂直,记作 ab.由于零向量方向是 不确定的,在讨论垂直问题时,规定零向量与任意向量垂直. 激趣诱思 知识点拨 名师点析 两向量的方向与夹角关系 除了两非零向量

3、夹角的一般情况,特殊地,当=0时,a与b同向; 当=时,a与b反向;当= 或a与b中至少有一个是零向 量时,ab. 2 微思考 在ABC 中,向量 与向量 的夹角是B 吗?为什么? 提示不是.向量 与向量 的夹角是B 的补角. 激趣诱思 知识点拨 微练习 作出向量a与b的夹角: (1) (2) 答案(1) (2) 激趣诱思 知识点拨 知识点二:向量数量积的定义 1.一般地,当a与b都是非零向量时,称|a|b|cos为向量a与b的 数量积(也称为内积),记作a b,即a b=|a|b|cos.由定义可知,两 个非零向量a与b的数量积是一个实数,这与向量的加法、减法及数 乘向量的结果仍是一个向量不

4、同. 2.数量积的性质 如果a,b都是非零向量,向量的数量积有如下性质. (1)|a b|a|b|(共线时取等号); (2)a a=|a|2,即|a|= ; (3)aba b=0; (4)cos= |. 激趣诱思 知识点拨 名师点析 (1)向量a,b的数量积只能表示为a b,不能表示为ab或 ab. (2)由定义可知,两个非零向量a与b的数量积是一个实数,a b的符号 由cos决定,即由的大小决定.也就是说,两个非零向量的 数量积可以是正数,可以是零,还可以是负数.这与向量的加法、减 法以及数乘向量的结果仍是一个向量不同. (3)在运用数量积公式解题时,一定要注意两向量夹角的范围是0,. 激趣

5、诱思 知识点拨 微思考 向量的数量积a b什么时候为正,什么时候为负,什么时候为零? 提示当090时,a b为正;当90180时,a b 为负;当=90时,a b为零. 微练习 若|a|=3,|b|=4,ab,则a b= . 答案12 激趣诱思 知识点拨 知识点三:向量的投影与向量数量积的几何意义 1.如图所示, 设非零向量 =a,过A,B分别作直线l的垂线,垂足分别为A,B,则称 向量 为向量 a 在直线 l 上的投影向量或投影. 激趣诱思 知识点拨 2.给定平面上的一个非零向量b,设b所在的直线为l,则a在直线l上的 投影称为a在向量b上的投影,如图所示. 向量 a 在向量 b 上的投影为

6、 , (1)当 2时, 的方向与 b 的方向 相同,而且| |=|a|cos; (2)当= 2时, 为零向量,即| |=0; (3)当 2时, 的方向与 b 的方向相反,且| |=-|a|cos. 激趣诱思 知识点拨 3.一般地,如果a,b都是非零向量,则称|a|cos为向量a在向量b 上的投影的数量. (1)两个非零向量a,b的数量积a b,等于a在向量b上的投影的数量与 b的模的乘积,这就是两个向量数量积的几何意义. (2)当e为单位向量时,因为|e|=1,所以a e=|a|cos,即任意向量与 单位向量的数量积,等于这个向量在单位向量e上的投影的数量. 名师点析 (1)如果a,b都是非零

7、向量,则b在a方向上的投影的数量可 以记为|b|cos,也可记为 a在b方向上的投影的数量与b在a方向上的投影的数量是不一样的. (2)投影是数量而不是长度,它的正负与两向量的夹角有关. | . 激趣诱思 知识点拨 微思考 一个向量在一个非零向量上的投影,与这个非零向量共线吗?若共 线,它们的方向相同还是相反? 提示一个向量在一个非零向量上的投影,一定与这个非零向量共线, 但它们既有可能方向相同,也有可能方向相反. 微练习 已知|a|=5,|b|=3,且a b=-12,则向量a在向量b上的投影的数量等于 ( ) A.-4 B.4 答案A C.-12 5 D.12 5 探究一 探究二 探究三 素

8、养形成 当堂检测 与向量数量积有关命题的判断与向量数量积有关命题的判断 例1已知a,b,c是三个非零向量,则下列命题中正确命题的个数为 ( ) |a b|=|a|b|ab;a,b反向a b=-|a|b|;ab|a+b|=|a-b|; |a|=|b|a c|=|b c|. A.1 B.2 C.3 D.4 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解析中因为a b=|a|b|cos ,所以由|a b|=|a|b|及a,b为非零向量 可得|cos |=1,所以=0或,所以ab,且以上各步均可逆,故命题 是真命题;中若a,b反向,则a,b的夹角为,所以a b=|a|b|cos =- |a|b|,且以

9、上各步均可逆,故命题是真命题;中当ab时,将向量 a,b的起点确定在同一点,以向量a,b为邻边作平行四边形,则该平行 四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过 来,若|a+b|=|a-b|,则以a,b为邻边的四边形为矩形,所以有ab,因此 命题是真命题;中当|a|=|b|,如果a与c的夹角和b与c的夹角不等 时,则|a c|b c|,反过来由|a c|=|b c|也推不出|a|=|b|.故命题是假 命题. 答案C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 两向量夹角的关注点 两向量方向相同时,夹角为0(或0);而反向时,夹角为(或180);两 向量垂

10、直时,夹角为 (或90),因此当两向量共线时,夹角为0或, 反过来,若两向量的夹角为0或,则两向量共线. 2 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练1设a,b,c是三个向量,有下列命题: 若a b=a c,且a0,则b=c; 若a b=0,则a=0或b=0; a 0=0. 其中正确的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解析中,a b-a c=a (b-c)=0,又a0,则b=c或a(b-c),即不正确; 中,a b=0ab或a=0或b=0,即不正确;中,a 0=0,即不正 确. 答案A 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 求向量的投影的数量或数量积求向量的投

11、影的数量或数量积 例 2 如图所示,在ABCD 中,| |=4,| |=3,DAB=60,求: (1) ;(2) ; (3) ;(4) 在 方向上的投影的数量. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解(1)因为 ,且方向相同,所以 与 的夹角是 0,所以 =| | |cos 0=3 3 1=9. (2)因为 ,且方向相反,所以 与 的夹角是 180, 所以 =| | |cos 180=4 4 (-1)=-16. (3)因为 与 的夹角为 60, 所以 与 的夹角为 120, 所以 =| | |cos 120=4 3 - 1 2 =-6. (4)因为 与 的夹角为 60,而 与 方向相反

12、,所以 与 的夹角为 120,所以 在 方向上的投影的数量为 | |cos 120=4 - 1 2 =-2. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1.求向量数量积的步骤 (1)求向量a与b的夹角,0,. (2)分别求|a|和|b|. (3)求数量积,即a b=|a|b|cos . 2.求投影的数量的两种方法 (1)向量b在a方向上的投影的数量为|b|cos,向量a在b方向上 的投影的数量为|a|cos. (2)向量 b 在 a 方向上的投影的数量为 | ,向量 a 在 b 方向上的投影 的数量为 | . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究本例(4)改为求 在

13、 方向上的投影的数量. 解| | cos 120=3 - 1 2 =- 3 2. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 向量数量积的性质及应用向量数量积的性质及应用 例 3(1)E,F,G,H 分别是四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 的中点,若 ( + ) ( + )=0,则四边形 EFGH 是( ) A.梯形 B.正方形 C.菱形 D.矩形 (2)已知 a,b 是两个非零向量.若|a|=3,|b|=4,|a b|=6,求. 分析(1)根据向量加法的三角形法则变形,利用向量垂直的几何意义 判断垂直关系. (2)利用向量数量积的公式求解. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当

14、堂检测 (1)解析如图,连接AC,BD, 则由题意可知,EFAC,GHAC, 所以EFGH,同样,GFBD,EHBD, 所以 GFEH,所以四边形 EFGH 是平行四边形. 又( + ) ( + )=0, 即 =0, 所以 ,即 ACBD, 所以 EFGF,所以四边形 EFGH 是矩形. 答案 D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2)解因为 a b=|a|b|cos,所以 |a b|=|a|b|cos|=|a|b|cos|=6. 又|a|=3,|b|=4, 所以|cos|= 6 | = 6 34 = 1 2, 所以 cos=1 2.因为0, 所以= 3或= 2 3 . 探究一 探

15、究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 求向量夹角的解题策略 (1)求向量的夹角应用数量积的变形公式cos = |,一般要求两个整 体 a b,|a|b|,不方便求出时,可寻求两者之间的关系,转化条件解方程 组,利用向量的几何意义简捷直观地得出. (2)要注意向量夹角 的范围为0,当 cos 0 时, 0, 2 ;当 cos 0 时, 2 , ;当 cos =0 时,= 2. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 设正三角形 ABC 的边长为 2, =c, =a, =b,求 a b+b c+c a. 解|a|=|b|=|c|= 2,且 a 与 b、b 与 c、c 与 a

16、 的夹角均为 120, a b+b c+c a= 2 2 cos 120 3=-3. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 用数形结合法求向量的夹角用数形结合法求向量的夹角 求两向量的夹角时,有时也会将两向量移到同一起点,将其放在三 角形或四边形中,这时要准确确定两向量的方向,正确地找出夹角, 并结合图形利用平面几何性质求出夹角. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 典例 已知a,b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求. 解根据向量加法的几何意义,如图所示. 在平面内任取一点O,作 =a, =b,以 , 为邻边作平行四边形 OACB.|a|=|b|,| |=|

17、|, 四边形 OACB 为菱形,OC 平分AOB. 这时 =a+b, =a-b,而|a|=|b|=|a-b|, 即| |=| |=| |, AOB 为正三角形,故AOB=60, 于是AOC=30,即=30. 方法点睛 熟练应用数形结合思想,恰当运用向量的几何意义是解 决此类问题的有效方法. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则是 ( ) A. 6 B. 3 C.2 3 D.5 6 解析如图所示,在以a和b为邻边的平行四边形ABCD中, |a+b|=|a-b|, 四边形ABCD为矩形.在RtABD中,|a-b|=2|a|

18、, ABD= 6.= 2 3 . 答案C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1.设e1,e2是两个平行的单位向量,则下面的结果正确的是( ) A.e1 e2=1 B.e1 e2=-1 C.|e1 e2|=1 D.|e1 e2|1 解析设e1与e2的夹角为,由题意知=0或,则e1 e2=|e1|e2|cos =1. 所以|e1 e2|=1. 答案C A.3 B.6 C.9 D.12 答案B 解析由题意得,a b=|a|b|cos=3 - 1 2 |b|=-9,所以|b|=6. 2.若 a b=-9,|a|=3,=2 3 ,则|b|等于( ) 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3.已知|a|=3,|b|=4,且=60,则a在b方向上投影的数量 为 . 解析根据投影的定义,可知所求的数量为|a|cos 60=3 1 2 = 3 2. 答案3 2 4.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且a b=2,则a与b的夹角 为 . 解析设 a 与 b 的夹角为 ,cos = | = 2 14 = 1 2,又因为 0,所以 = 3. 答案 3 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5.在边长为2的等边三角形ABC中, 的值为 , 的值为 . 答案-2 2