（新教材）高中数学人教B版必修第三册课件：7.3.1　正弦函数的性质与图像.pptx

1、7.3.17.3.1 正弦函数的性质与图像正弦函数的性质与图像 课标阐释 1.理解正弦函数的性质,会求正弦函数的周期、单调区间和最值,并 能利用正弦函数的性质与图像来解决相关的综合问题. 2.了解正弦函数图像的画法,能正确使用“五点法”“几何法”作出正 弦函数的图像. 3.会用信息技术作正弦曲线. 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 如图将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗,再挂在架子上,就做 成了一个简易单摆.在漏斗下方放一块纸板,纸板的中间画一条直 线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置,放手使它 摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可在纸板上得到一条曲线,它就是 简谐运动的图像.物理中把简谐

2、运动的图像称为正弦曲线.它表示 了漏斗相对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况. 激趣诱思 知识点拨 知识点一:正弦函数性质 1.对于任意一个角x,都有唯一确定的正弦sin x与之对应,因此y=sin x是一个函数,一般称为正弦函数. 2.正弦函数的性质与图像 性质与图像 y=sin x 图像 定义域 R 值域 -1,1 奇偶性 奇函数 激趣诱思 知识点拨 激趣诱思 知识点拨 3.周期:一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得对定义 域内的每一个x,都满足f(x+T)=f(x),那么就称函数f(x)为周期函数, 非零常数T称为这个函数的周期. 名师点析 对三角函

3、数的性质的理解 (1)如果y=sin x的定义域不是全体实数,那么它的值域就可能不是 (2)正弦函数在其定义域上不是单调的. (3)若函数y=sin x的定义域不是R,则一定要在给定定义域内结合函 数的单调性求其值域. -1,1.如 y=sin x,x0, 2,此时 y0,1. 激趣诱思 知识点拨 微练习1 求f(x)=sin(3+x)的最大值和单调递增区间. 答案最大值为 1,单调递增区间为 2+2k, 3 2 +2k ,kZ. 微练习2 下列函数中,不是周期函数的是( ) A.y=-sin x,xR B.y=3,xR C.y=sin(4+x),x-10,10 D.y=sin x,x(0,+

4、) 答案C 激趣诱思 知识点拨 微练习 3 求函数 y=sin 1 -1的定义域和值域. 解由题意可知 x-10, xR,且 x1, 函数 y=sin 1 -1的定义域为x|xR,且 x1,值域为-1,1. 激趣诱思 知识点拨 知识点二:正弦函数的图像 1.正弦曲线:一般地,y=sin x的函数图像称为正弦曲线. 2.“五点法”: (1)画出正弦曲线在0,2上的图像的五个关键点 (2)将所得图像向左、向右平行移动(每次2个单位长度). (0,0), 2,1 ,(,0), 3 2 ,-1 ,(2,0),用光滑的曲线连接; 激趣诱思 知识点拨 名师点析 对三角函数的图像的理解 (1)作正弦函数图像

5、时,函数自变量要用弧度制,以保证自变量与函 数值都为实数. (2)正弦曲线是轴对称图形,对称轴为x= +k(kZ);正弦曲线也是 中心对称图形,且对称中心为(k,0)(kZ). (3)正弦曲线相邻两条对称轴之间的距离为,相邻两个对称中心的 距离也为,对称中心到其相邻对称轴的距离为 . 2 2 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1)正弦函数y=sin x的图像向左右和上下无限伸展.( ) (2)函数y=sin x与y=sin(-x)的图像完全相同.( ) (3)函数y=sin x的图像关于(0,0)对称.( ) 答案(1) (2) (3) 微练习1 从函数y=sin x,x0,2)的图像来看,对应于

6、sin x= 的x有( ) A.1个值 B.2个值 C.3个值 D.4个值 答案B 1 2 激趣诱思 知识点拨 微练习2 在“五点法”中,正弦曲线最低点的x轴坐标与最高点的x轴坐标的差 等于( ) A. 2 B. C.3 2 D.2 解析由“五点法”知,在0,2上最低点的横坐标为3 2 ,最高点的横坐标 为 2,则差为 3 2 2=,故选 B. 答案B 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 正弦函数的值域、最值正弦函数的值域、最值 例1(1)(多选)已知函数f(x)=2asin x+a+b的定义域是0, ,值域为 -5,-1,则a,b的值为( ) A.a=2,b=-7 B.a=-

7、2,b=2 C.a=-2,b=1 D.a=1,b=-2 (2)求函数f(x)=sin(+x)-cos2x的最大值和最小值,并求出取得最大值 和最小值时x的值. 分析(1)根据正弦函数的值域,分情况表示出最大值和最小值,通过 解方程组求a,b. (2)利用诱导公式、同角三角函数的关系统一成正弦,换元求最值. 2 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (1)解析因为 f(x)=2asin x+a+b 的定义域是 0, 2 ,所以 0sin x1. 当 a0 时, 由题意 + = -5, 3 + = -1,解得 = 2, = -7. 答案 AC (2)解 f(x)=sin(+x)-co

8、s2x=-sin x-1+sin2x=sin2x-sin x-1,令 t=sin x,则 y=t2-t-1=(t-1 2) 2-5 4,t-1,1.因为-1t1,所以- 5 4y1, 所以 ymax=1,此时 sin x=-1,x=- 2+2k,kZ; ymin=-5 4,此时 sin x= 1 2,x= 6+2k,kZ 或 x= 5 6 +2k,kZ. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 关于与正弦函数有关的最值 (1)一次式:如果是关于正弦函数的一次式,要根据一次项的系数正 负确定最值; (2)二次式:如果是关于正弦函数的二次式,则通过换元转化为一元 二次函数配方

9、求最值. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 1(1)函数 f(x)=-2sin x+1,x - 2 , 的值域是( ) A.1,3 B.-1,3 C.-3,1 D.-1,1 (2)求函数 y=-2cos2x+2sin x+3,x 6 , 5 6 的最大值和最小值. (1)解析x - 2 , , sin x-1,1,-2sin x+1-1,3. 答案 B (2)解 y=-2(1-sin2x)+2sin x+3=2sin2x+2sin x+1=2 sin x+1 2 2+1 2. x 6 , 5 6 ,1 2sin x1. 当 sin x=1 时 y 取最大值,ymax

10、=5;当 sin x=1 2时 y 取最小值,ymin= 5 2. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断 例2判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=xsin(+x); 分析利用函数奇偶性的定义进行判断. (2)f(x)= 1-sin 1+sin. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解(1)函数的定义域为 R,关于原点对称. 又 f(x)=xsin(+x)=-xsin x, 所以 f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsin x=f(x), 因此 f(x)是偶函数. (2)函数应满足 1+sin x0,所以函数的定义域为 x

11、 xR,且 x2k+3 2 ,kZ . 所以函数的定义域不关于原点对称. 所以该函数既不是奇函数也不是偶函数. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 判断函数奇偶性的方法 (1)函数的定义域是判断函数奇偶性的前提,即首先要看定义域是否 关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系. (2)注意奇偶性判定法的变通式和定义式的用法,即偶函数也可判断 f(x)-f(-x)=0 或(-) () =1(f(x)0);奇函数也可判断 f(-x)+f(x)=0 或(-) () =-1(f(x)0). 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 延伸探究判断函数 f(x)= 1

12、-sin2 2-|2-sin|的奇偶性. 解f(x)的定义域为x|xk(kZ), f(x)=1-sin 2 sin . f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 正弦函数单调性的应用正弦函数单调性的应用 例3比较下列各组数的大小: (1)sin 4和 sin 2 3 ; (2)sin - 16 和 sin - 10 ; (3)sin21 5 和 sin42 5 ; (4)sin 194和 cos 160. 分析变形主要有两种:一是异名函数化为同名函数;二是利用诱导 公式将角变换到同一单调区间上. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当

13、堂检测 解(1)sin2 3 =sin - 3 =sin 3. 因为 0 4 3 2,且 y=sin x 在 0, 2 内单调递增,所以 sin 4sin 3,即 sin 4sin 2 3 . (2)因为- 2- 10- 16 sin - 10 . (3)sin21 5 =sin 4 + 5 =sin 5, sin42 5 =sin 8 + 2 5 =sin2 5 . 因为 0 5 2 5 2,且 y=sin x 在 0, 2 上单调递增,所以 sin 5sin 2 5 , 即 sin21 5 sin42 5 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (4)sin 194=sin

14、(180+14)=-sin 14, cos 160=cos(180-20)=-cos 20=-sin 70. 因为0147090, 所以sin 14-sin 70,即sin 194cos 160. 反思感悟 利用正弦函数的单调性比较正弦值的大小的方法 (1)同名函数,若两角在同一单调区间,直接利用单调性得出,若两角 不在同一单调区间,则要通过诱导公式把角转化到同一单调区间, 再进行比较; (2)异名函数,先应用诱导公式转化为同名函数,然后再比较. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 2 不通过求值,判断 sin5 18-sin - 3 10 的值是大于零还是小于 零.

15、 解- 2- 3 10 5 18 2,且函数 y=sin x 在区间 - 2 , 2 上单调递增, sin - 3 10 0. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 用用“五点法五点法”作函数的图像作函数的图像 例4用“五点法”作出函数y=1+2sin x,x0,2的图像. 解列表如下: 先在平面直角坐标系中描出五点(0,1), 2 ,3 ,(,1), 3 2 ,-1 ,(2,1),再 用光滑曲线顺次连接起来,就得到函数 y=1+2sin x,x0,2的图像, 如图所示. x 0 2 3 2 2 sin x 0 1 0 -1 0 1+2sin x 1 3 1 -1 1 探究一 探

16、究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 用“五点法”画函数图像的基本步骤 (1)列表: x 0 2 3 2 2 sin x 0 1 0 -1 0 y y1 y2 y3 y4 y5 (2)描点:在平面直角坐标系中描出下列五个点:(0,y1), 2,y2 ,(,y3), 3 2 ,y4,(2,y5). (3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练3函数y=1-sin x,x0,2的大致图像为图中的( ) 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解析(方法一)利用五点法作出 x0,2上的函数图像,列表如下: x

17、 0 2 3 2 2 sin x 0 1 0 -1 0 1-sin x 1 0 1 2 1 描点、连线得其大致图像如图所示,对照选项中的图像,可知选 B. (方法二)令 x=0,则 y=1-sin 0=1,因此图像过点(0,1),可排除 C,D;又令 x=3 2 ,则 y=1-sin3 2 =2,可排除 A,D.故选 B. 答案B 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 分类讨论思想在正弦函数中的应用分类讨论思想在正弦函数中的应用 典例 求函数y=asin x+b(a0)的最值. 解若a0,当sin x=1时,ymax=a+b. 当sin x=-1时,ymin=-a+b. 若a0时

18、为增函数,当a0 时, + = 3, = 1, = 2, = 1. 当 m0 时, = 3, + = 1, = 3, = -2. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 1.已知正弦函数 f(x)的图像经过点 P 7 3 ,m ,则 m=( ) A.1 2 B. 3 2 C.2 D.3 解析将 P 7 3 ,m 代入 f(x)=sin x 中得 f 7 3 =m,则 sin7 3 =sin 2+ 3 =sin 3 = 3 2 ,即 m= 3 2 . 答案B 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 2.下列大小关系正确的是( ) A.sin2 3 sin4 3 B.sin

19、 1sin 3 C.sin11 6 sin4 3 D.sin - 19 3 0,sin 4 3 =-sin 30,故 A 错;sin 3=sin(-3), 0-31,sin(-3)sin 3,故 B 错; sin11 6 =sin - 6 ,sin 4 3 =sin - 3 , - 2- 3- 60,sin - 3 sin - 6 , sin4 3 sin11 6 ,故 C 错; sin - 19 3 =sin - 3 ,sin - 25 6 =sin - 6 , sin - 19 3 sin - 6 ,故 D 正确. 答案D 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 3.函数y=-

20、2sin x-1的单调递减区间是 . 解析函数 y=-2sin x-1 的单调递减区间即正弦函数 y=sin x 的单调递 增区间 - 2+2k, 2+2k (kZ). 答案 - 2+2k, 2+2k (kZ) 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 4.函数y=-sin x+1的对称中心是 ,对称轴为 . 解析由函数y=-sin x+1与正弦函数图像的关系可知,函数y=-sin x+1 的对称中心为(k,1),kZ,对称轴为x= +k,kZ. 答案(k,1),kZ x= +k,kZ 5.求函数y=2cos2x+5sin x-4的最大值和最小值. 2 2 解 y=2cos2x+5sin x-4=-2sin2x+5sin x-2 =-2 sin- 5 4 2 + 9 8.因为 sin x-1,1, 所以当 sin x=-1,即 x=2k- 2(kZ)时,y 有最小值-9; 当 sin x=1,即 x=2k+ 2(kZ)时,y 有最大值 1.