2021新高考数学二轮复习：专题七 7.2　热点小专题三、圆锥曲线的离心率.pptx

1、7.27.2 热点小专题三、圆锥曲线的离心率热点小专题三、圆锥曲线的离心率 第三部分第三部分 2021 内 容 索 引 01 02 必备知识必备知识 精要梳理精要梳理 关键能力关键能力 学案突破学案突破 必备知识必备知识 精要梳理精要梳理 1.椭圆中,由 a 与 b 的关系可以求离心率,e= = 1-( ) 2 . 双曲线中,由 a 与 b 的关系可以求离心率,e= = 1 + ( ) 2 . 2.椭圆的离心率的取值范围e(0,1),双曲线的离心率的取值范围e(1,+). 3.等轴双曲线是一类特殊的双曲线,等轴双曲线的离心率为e= . 2 4.求椭圆(或双曲线)的离心率:求椭圆(或双曲线)的离

2、心率就是要找椭圆 (或双曲线)中a与c的关系,常将椭圆(或双曲线)的条件与c2=a2-b2(或 c2=a2+b2)相结合,转化为关于a,c的等式(或不等式),进而化成关于e的方程 (或不等式)求解. 关键能力关键能力 学案突破学案突破 热点一热点一 椭圆的离心率椭圆的离心率 类型一 求椭圆的离心率 【例1】(2020湖南怀化一模,15)若椭圆 =1(ab0)的左焦点为F1, 点P在椭圆上,点O为坐标原点,且OPF1为正三角形,则椭圆的离心率 为 . 2 2 + 2 2 答案 3-1 解析 椭圆上存在点P使OPF1为正三角形,|OF1|=c,不妨设点P在第二 象限,点 P 的坐标为 - 2 ,

3、3 2 c 代入椭圆方程,得 2 4 2 + 3 4 2 2 =1, 即 2 42 + 3 2 42-42=1, 2 4 + 3 2 4-42=1,解得 e= 3-1. 解题心得本题考查了椭圆的几何性质离心率的求解,常见的有两种方 法:求出a,c,代入公式e= ;只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次 式,转化为关于a,c的齐次式,然后转化为关于e的方程,即可得e的值. 【对点训练 1】已知 F1,F2是椭圆 C: 2 2 + 2 2 =1(ab0)的左、右焦点,A是 C 的左顶点,点 P在过 A且斜率为 3 6 的直线上,PF1F2为等腰三角形, F1F2P=120,则 C的离心率为(

4、) A.2 3 B.1 2 C.1 3 D.1 4 答案 D 解析 如图, 作PBx轴于点B.由题意可设|F1F2|=|PF2|=2,则c=1. 由F1F2P=120, 可得|PB|= ,|BF2|=1,故|AB|=a+1+1=a+2, 3 tan PAB=| | = 3 +2 = 3 6 ,解得 a=4,所以 e= = 1 4. 类型二 求椭圆离心率的范围 【例2】(2019贵州凯里第一中学高二下学期期中考试)已知椭圆C: =1,ab0,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,若椭圆C上存在点P(x0,y0)(x00) 使得PF1F2=60,则椭圆的离心率的取值范围为( ) 2 2 + 2 2 A

5、. 2 2 ,1 B. 0, 2 2 C. 1 2,1 D. 0,1 2 答案 D 解析 依据题意作出如下图象:由已知可得,当点P在椭圆的上(下)顶点处 时,PF1F2最大,要满足椭圆C上存在点P(x0,y0)(x00)使得PF1F2=60, 则90(PF1F2)max60. 所以 tan(PF1F2)maxtan 60= 3.即 3,整理得 b 3c. 又 a2=b2+c23c2+c2=4c2,即 a24c2,所以 e= = 2 2 1 4 = 1 2. 所以椭圆离心率的取值范围为 0,1 2 .故选 D. 解题心得椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率的取值 范围,常见有两种方

6、法: (1)求出 a,c,代入公式 e= ; (2)只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=a2-c2转化为a,c的 齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a2转化为关于e的方程(或不等式), 解方程(或不等式)即可得e的取值范围. 【对点训练 2】(2019 福建龙岩高三 5 月月考)已知点 F 为椭圆 C: 2 2 + 2 2 =1(ab0)的左焦点,直线 y=kx(k0)与 C 相交于 M,N 两点(其中 M 在第一 象限),若|MN|=2 2-2,|FM| 3|FN|,则 C 的离心率的最大值 是 . 答案 3-1 解析 设右焦点为 F,连接 MF,NF,由椭圆对称性知

7、四边形 FMFN为平行四 边形.又|MN|=2 2-2=2c=FF,故 FMFN为矩形. |FM| 3|FN|= 3|FM|,|FM|+|FM|=2a,即 2a-|FM| 3|FM|, |FM| 2 3+1. 又(2a-|FM|)2+|FM|2=4c2,故 00,b0)的两条渐近 线的倾斜角成 2 倍关系,则该双曲线的离心率为( ) A. 3 B. 2 C.2 D.4 答案 C 解析 设经过一三象限的渐近线的倾斜角为 ,则另一条渐近线的倾斜角为 2,则有 tan = ,tan 2=- ,因为 tan 2= 2tan 1-tan2,所以- = 2 1- 2,即 2 =3, = 2+2 2 = 1

8、 + 2 = 1 + 3=2. 故选 C. 解题心得 1.椭圆(双曲线)的离心率有一个公式变形,e= = 1-( ) 2 1 + ( ) 2 ,所以由 a与 b的关系可以求离心率,相反,由离心率 也可以得出 a与 b的关系; 2.圆锥曲线中的离心率的计算,关键是利用题设条件构建关于a,b,c的一个 关系式. 【对点训练4】(2020山东济南一模,14)已知双曲线 =1(a0,b0) 的渐近线与圆(x-2)2+y2=1相切,则该双曲线的离心率为 . 2 2 2 2 答案 2 3 3 解析 取双曲线 2 2 2 2 =1(a0,b0)的一条渐近线 y= x,即 bx-ay=0,因为渐 近线与圆(x

9、-2)2+y2=1 相切,所以 |2| 2+2=1,化简得 a 2=3b2,所以 e= 1 + 2 2 = 1 + 1 3 = 2 3 3 . 方法三方法三 通过通过a与与c的齐次式求离心率的齐次式求离心率 【例5】(2020山东临沂二模,15)已知双曲线C: =1(a0,b0)的左 焦点为F,M为虚轴的一端点.若以M为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点 N,且M,N,F三点共线,则该双曲线的离心率为 . 2 2 2 2 答案 1+ 5 2 解析 由题意可得F(-c,0),M(0,-b),双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,可得 |MN|= | 2+2 = ,|MF|= 2+ 2,在直角三角

10、形 MOF 中,可得:b2= 2+ 2,化为 b2c2=a2(c2+b2),由 b2=c2-a2,可得 c2-a2=ac,由 e= 可得 e 2-1=e, 即 e2-e-1=0,解得 e=1+ 5 2 或 e=1- 5 2 (舍去).所以 e=1+ 5 2 . 解题心得离心率e的求解中可以不求出a,c的具体值,而是得出a与c的关系, 从而求得e,这种方法的步骤如下: (1)建立方程:根据已知条件得到齐次式Aa2+Bac+Cc2=0; (2)化简:同时除以a2,化简齐次式,得到关于e的一元二次方程A+Be+Ce2=0; (3)求解:解一元二次方程,求得e的值; (4)验算取舍:根据离心率的取值范

11、围e(0,1)或e(1,+)进行取舍,最终的 e值即为所求. 【对点训练 5】(2020 重庆名校联盟二诊,11)过双曲线 2 2 2 2 =1(a0,b0)的 右焦点 F 作渐近线的垂线,设垂足为 P(P 为第一象限的点),延长 FP 交抛物线 y2=2px(p0)于点 Q,其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点,若 = 1 2 ( + ),则双曲线的离心率的平方为( ) A. 5 B. 5 2 C. 5+1 D. 5+1 2 答案 D 解析 由 = 1 2 ( + ),可得 P为 FQ的中点, 设 F(c,0),由渐近线方程 y= x, 可设直线 FP的方程为 y=- (x-c), 由解得

12、P 2 , ,由中点坐标公式可得 Q 2 2 -, 2 ,代入抛物线的方 程可得4 22 2 =2p 2 2 - , 由题意可得 c= 2,即 2p=4c, 代入,得 a2b2=2a2c2-c4,由 b2=a2-c2,得 a4-c4+a2c2=0, 由 e= 可得 e 4-e2-1=0,解得 e2=1+ 5 2 .故选 D. 类型二 求双曲线离心率的取值范围 【例 6】(2020 辽宁锦州一模,11)圆 C:x2+y2-10 x+16=0 上有且仅有两点到双 曲线 2 2 2 2=1(a0,b0)的一条渐近线的距离为 1,则该双曲线离心率的取值 范围是( ) A. 5 4 , 5 2 B.(

13、2, 5) C. 5 2 , 5 2 2 D.( 5, 2+1) 答案 A 解析 圆 C:x2+y2-10 x+16=0 可化为(x-5)2+y2=9, 圆C:x2+y2-10 x+16=0上有且仅有两点到双曲线 2 2 2 2=1(a0,b0)的一条 渐近线的距离为 1, 圆心到双曲线渐近线的距离大于 2 且小于 4.由对称性不妨取双曲线 2 2 2 2=1(a0,b0)的一条渐近线为 y= x,即 ax-by=0, 2 5 2+24,即 2 5 4,解得5 4e0,b0)的左、 右焦点分别为 F1,F2,|F1F2|=2c,过 F2作 x 轴的垂线,与双曲线在第一象限的交 点为 A,点 Q 坐标为 , 3 2 且满足|F2Q|F2A|,若在双曲线 C 的右支上存在点 P 使得|PF1|+|PQ|F2A|,可得3 2 2 , 即为 3a22b2=2(c2-a2),即有 e= 10 2 , 又在双曲线C的右支上存在点P,使|PF1|+|PQ|7 6|F1F2|成立,由双曲线的定义, 可得 2a+|PF2|+|PQ|2a+ 3 2a,即有 e= 3 2, 由 e1,结合可得, e 的范围是 3 2 , 10 2 .