2021新高考数学二轮复习：第二部分第4讲　从审题中寻找解题思路.pptx

1、第第4 4讲讲 从审题中寻找解题思路从审题中寻找解题思路 第二部分第二部分 2021 审题亦即提取有效信息,挖掘隐含信息,提炼关键信息.条件是题目的“泉 眼”.为考核学生的观察、理解、分析、推理等能力,高考试题往往变换概 念的表述形式,精简试题从条件到结论的中间环节,透析试题的条件之间的 联系,隐去问题涉及的数学思想及背景.如何科学地审题是同学们最需要掌 握的基本技能.事实上,审题能力的培养并未引起应有的重视,很多同学热 衷于题型的总结与解题方法和技巧的训练,把数学学习等同于解题训练,一 味地机械模仿导致应变能力不强,遇到陌生的问题往往束手无策,致使解题 失误或陷入误区. 审题与解题的关系审题

2、与解题的关系 审题和解题是解答数学试题的重要两步,其中,审题是解题的前提,详细全 面地审题为顺利解题扫除大部分障碍,正确把握数学试题中的已知条件和 所求,从题目关键词语中挖掘隐含条件、启发解题思路,最短时间内理解条 件和结论所包含的详细信息是保障解题效率与解题质量的必需条件.解题 作为审题活动的升华,是全面解答数学试题的核心. 怎样算是审清题意怎样算是审清题意 一、审清条件信息一、审清条件信息 审视条件一般包括“挖掘隐含信息、洞察结构特征、洞悉图形趋势、研 读图表数据”等几方面. 审题时要避开过去熟悉的同类题目的影响,看似相同,就按过去同类型题目 进行求解,要审出同还是不同,不能似是而非. 【

3、例1】(1)(2019广东广州二模,文12)若函数f(x)=-x2(x2+ax+b)的图象关 于直线x=-1对称,则f(x)的最大值是( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 答案 C 解析 (方法一)f(x)=-x2(x2+ax+b)的图象关于直线x=-1对称,且f(x)=0有 重根0,所以x2+ax+b=0有重根-2,f(x)=-x2(x+2)2= 所以当x=0时,f(x)的最大值是0. (方法二)由对称性可知f(-2)=f(0),得2a=b+4, 由f(x)关于x=-1对称,可知f(-1)=0,得3a=2b+4, 联立解得a=b=4,得f(x)=-x2(x+2)2,可知f(x)0, 所

4、以当x=0时,f(x)的最大值是0. -(2+ 2)2. (方法三)因为f(x)=-x2(x2+ax+b)的图象关于直线x=-1对称, 则满足f(x-1)=f(-1-x). 运用特殊值法. 取x=1,x=2,代入上式, 则 (0)= (-2), (1)= (-3), 4-2 + = 0, 7-2-20 = 0, 解得 = 4, = 4. 当a=b=4时,f(x)=f(-2-x)恒成立,即a=b=4满足题意. 即f(x)=-x2(x+2)2. 当x=0时,f(x)取最大值0,故选C. (2)(2019河北衡水高三联考,理12)如图,在ABC中,ABC=90, AB= ,BC=1,P为ABC内一点

5、,BPC=90.若APB=150, 则tan PBA=( ) 3 A. 3 2 B.- 3 2 C. 3 4 D.- 3 4 答案 C 解析 (方法一)设ABP=,则PCB=,PC=cos .在ABC 中, ABC=90,AB= 3,BC=1,AC=2,ACB= 3.在PAC 中,APC=120, PCB+PCA=ACB=PCA+PAC,PAC=.由正弦定理,得 sin = sin,即 2 sin120 = cos sin,tan = sin120 2 = 3 4 . (方法二)借助平面几何知识,寻找到线段长度关系.延长BP,过A点作BP延长 线的垂线,垂足为D.记PBA=,由ABC=BPC=

6、90,得PCB=. RtADB中,AD= 3sin ,BD= 3cos . RtBPC中,BP=sin .又APB=150,得APD=30,RtADP中, PD= tan30=3sin ,由 BD=BP+PD,得 3cos =sin +3sin ,所以 tan = 3 4 ,即 tan PBA= 3 4 . (1)审题指导一从题目条件中只能看到图象关于直线x=-1对称,但从已知中 找不到与函数f(x)的零点的关系,所以应注意到方程f(x)=0隐含有重根0,根 据对称性,发现重根-2,确定函数f(x)的解析式,从而求出最大值. 审题指导二根据对称性可知f(-2)=f(0),且x=-1是函数f(x

7、)的极值点,得到 f(-1)=0,联立得到关于a,b的方程组,从而求出f(x)的解析式,从而求出最大值. 审题指导三对于函数对称性问题,可以运用特殊值法.若函数f(x)关于x=a对 称,则满足f(x+a)=f(a-x);若函数f(x)关于(a,b)对称,则满足f(x+a)+f(a-x)=2b. (2)审题指导一利用RtABC和RtBPC的边角关系,求得PCB=ABP =,进而推出PC=cos ,同理根据PCB+PCA=ACB=PCA+PAC,推 出PAC=,将已知条件转化为已知两边及其对角,解APC,由正弦定理及 同角三角函数关系,求得tan PBA. 审题指导二借助平面几何知识,过A点作BP

8、延长线的垂线,构造RtADB, 利用RtABC和RtBPC的边角关系,求得PCB=ABP=,解RtADB、 RtBPC、RtADP,找出AD、BD、PD、BP之间的关系,并用与有关的 正、余弦表示出来,利用BD=BP+PD建立等量关系求解tan PBA. 二、审条件中的隐含二、审条件中的隐含 有的数学试题条件并不明显,审题时要注意挖掘隐含条件和信息,对条件进 行再认识、再加工,只有这样,方可避免因忽视隐含条件而出现错误.要注 意已知条件中的概念本身容易疏忽的限定信息,关注问题中易于疏忽的特 殊情形、可能情形、相近概念之间的差异,要清晰定理成立、公式存在的 前提. 【例 2】 (1)已知函数 f

9、(x)= 2sin 2 + 4 +1 的图象在 0, 1 2 上恰有一条对称 轴和一个对称中心,则实数 的取值范围为( ) A. 3 8 , 5 8 B. 3 8 , 5 8 C. 3 4 , 5 4 D. 3 4 , 5 4 答案 C 解析 由题意,x 0, 1 2 ,2x+ 4 4 , + 4 ,在 0, 1 2 上恰有一条对称轴和一 个对称中心, 2 4 , + 4 , 4 , + 4 , 3 2 4 , + 4 , + 4 2 , + 4 , + 4 3 2 , 即 + 4 3 2 ,即3 4 19时,y=3 800+500(x-19)=500 x-5 700. 所以 y与 x的函数解

10、析式为 y= 3 800, 19, 500-5 700, 19(xN). (2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为 0.7,故n的最小值为19. (3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台 在购买易损零件上的费用为3 800元,20台的费用为4 300元,10台的费用为4 800元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 (3 80070+4 30020+4 80010)=4 000元. 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在 购买易损零件上的费用为4 000元,10台的费用为4

11、 500元,因此这100台机器 在购买易损零件上所需费用的平均数为 (4 00090+4 50010)=4 050 元. 比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件. 1 100 1 100 审题指导把统计与函数结合在一起进行考查,有综合性但难度不大. (1)当n=19时,探求y与x的函数解析式,由于机器使用前额外购买这种零件 的价格与机器使用期间再购买这种零件的价格不同,需对1台机器在三年 使用期内需更换的易损零件数x与购机的同时购买的易损零件数n=19加 以比较,自然应用分类讨论思想对x19与x19,分别探求y与x的函数解析 式; (2)本题的统计图表不是高频考查的频率分布

12、直方图,而是统计图表中的柱 状图; (3)许多考生没有读懂题意,本问是判断购买1台机器的同时应购买19个还 是20个易损零件,而判断的决策依据是:这100台机器在购买易损零件上所 需费用的平均数,为此需计算两种方案时的平均数.每一种方案,在求解其 平均数时自然需要借助于柱状图. 六、审结论善转换六、审结论善转换 结论是解题的最终目标,解决问题的思维在很多情形下都是在目标意识下 启动和定向的.审视结论是要探索已知条件和结论间的联系与转化规律,可 以从结论中捕捉解题信息,确定解题方向.有些问题的结论看似不明确或不 利于解决,我们可以转换角度,达到解决问题的目的. 【例6】(2020山东济南三模,1

13、6)已知函数f(x)=2ln x,g(x)=ax2-x- (a0). 若直线y=2x-b与函数y=f(x),y=g(x)的图象均相切,则a的值为 ; 若总存在直线与函数y=f(x),y=g(x)的图象均相切,则a的取值范围 是 . 1 2 答案 2 3 3 2 , + 解析 由题意,f(x)=2 ,g(x)=2ax-1,因直线 y=2x-b 与函数 y=f(x),y=g(x)的图 象均相切,所以 2 = 2, 2-1 = 2, 解得 x=1,a=3 2;设直线 l 与 y=f(x)的图象相切于点 P1(x1,y1),x10,则切线方程为 y-2ln x1= 2 1(x-x1), 代入 g(x)

14、=ax2-x-1 2(a0),得 2 1x-2+2ln x1=ax 2-x-1 2, 即 ax2- 1 + 2 1 x+ 3 2 -2ln 1 =0,所以 = 1 + 2 1 2 -4a 3 2 -2ln 1 =0, 所以 a= (1+2)2 21 2(3-4ln 1)(x10). 令 y= (1+2)2 21 2(3-4ln 1)(x10), 则 y=2( 1+2)(4ln 1+1-1) 1 3(3-4ln 1)2 ,所以 y=0,解得 x1=1. 当 x11 时,y0,y 单调递增,当 0x11 时,y0,cos A+cos B= 3, 平方相加得 t2+3=2+2cos Acos B+2

15、sin Asin B,得 t2=2cos(A-B)-1, 显然,当 A=B时,t有最大值,tmax=1,则 cos A=cos B= 3 2 . 又 A,B(0,),得 A=B= 6, 则 C=2 3 ,设 D为 AB的中点,如图所示,则 CD=1,AC=BC=2,设内切圆的半径 为 r,则 SABC=1 2 2 3 1=1 2(2+2+2 3)r,解得 r=2 3-3.故选 A. 审题指导一求sin A+sin B取最大值时,ABC内切圆的半径,首先要求出 sin A+sin B取最大值时角A,B所具备的关系. 审题指导二如何应用上已知条件cos A+cos B= 是解决问题的突破口, 条件

16、是两角的余弦,要求的最大值是两角的正弦,同角三角函数的平方公式 能够将条件和要求的结论联系起来,从而找到解决问题的思路. 3 审题策略归纳审题策略归纳 1.试题的条件和结论是解题的两个信息源试题的条件和结论是解题的两个信息源,题目的条件对于得出结论是充题目的条件对于得出结论是充 分的分的,解题的钥匙就放在题目的条件里解题的钥匙就放在题目的条件里,其中的许多信息常常是通过语言其中的许多信息常常是通过语言 文字、公式符号以及它们之间的联系间接地告诉我们文字、公式符号以及它们之间的联系间接地告诉我们,所以所以,审题要逐字审题要逐字 逐句看清楚逐句看清楚,力求从语法结构、逻辑关系、数字含义、条件特征、

17、答题形力求从语法结构、逻辑关系、数字含义、条件特征、答题形 式、数据联系等各方面真正弄懂题意式、数据联系等各方面真正弄懂题意.只有细致审题才能挖掘出来只有细致审题才能挖掘出来,避免避免 发生会而不对、对而不全的现象发生会而不对、对而不全的现象.欲速则不达欲速则不达,审题不要怕慢审题不要怕慢!当然这有待当然这有待 于平时的审题训练于平时的审题训练. 2.审题决定成败审题决定成败.审题是解题的一个重要步骤审题是解题的一个重要步骤,通过审题收集信息、加工信通过审题收集信息、加工信 息息,熟悉题目并深入到题目内部去思考、去分析熟悉题目并深入到题目内部去思考、去分析,我们就会找到问题解决我们就会找到问题解决 的突破口的突破口.