2021新高考数学二轮复习：专题六 6.4.2　随机变量及其分布.pptx

1、6.4.26.4.2 随机变量及其分布随机变量及其分布 第三部分第三部分 2021 内 容 索 引 01 02 必备知识必备知识 精要梳理精要梳理 关键能力关键能力 学案突破学案突破 必备知识必备知识 精要梳理精要梳理 1.超几何分布超几何分布 在含有在含有M件次品的件次品的N件产品中件产品中,任取任取n件件,其中恰有其中恰有X件次品件次品,则则P(X=k)= ,k=0,1,2,m,其中其中m=minM,n,且且nN,MN,n,M,NN*. 2.二项分布二项分布 C C- - C 一般地,在n次独立重复试验中,事件A发生的次数为X,设每次试验中事件A 发生的概率为p,则P(X=k)= pkqn

2、-k,其中0p1,p+q=1,k=0,1,2,n,称X 服从参数为n,p的二项分布,记作XB(n,p),且E(X)=np,D(X)=np(1-p). C 3.正态分布正态分布 一般地一般地,如果对于任何实数如果对于任何实数a,b(ab),随机变量随机变量X满足满足P(aXb)= ,(x)dx,则称则称X的分布为正态分布的分布为正态分布.正态分布完全由参数正态分布完全由参数和和确定确定, 因此正态分布常记作因此正态分布常记作N(,2).如果随机变量如果随机变量X服从正态分布服从正态分布,则记为则记为 XN(,2).满足正态分布的三个基本概率的值是满足正态分布的三个基本概率的值是:P(-X+)=0

3、.682 6; P(-2X+2)=0.954 4;P(-316 000)=P(X=23 000)+P(X=17 000)=0.3+0.5=0.8,设这三年中有 Y年的纯收入不少于16 000元,则有YB(3,0.8),所以这三年中至少有两年的 纯收入不少于16 000元的概率为 P=P(Y2)=C3 3 0.83+C3 2 0.820.2=0.896. (3)由(1)知,2020年该农户种植该经济农作物一亩的预计纯收入为E(X)=23 0000.3+17 0000.5+12 5000.2=17 900(元), 4 000,凭这一亩 经济农作物的纯收入,该农户的人均纯收入超过了国家脱贫标准,所以

4、能预 测该农户在2020年底可以脱贫. 17 900 4 解题心得求复杂事件概率的2种方法 (1)直接法:正确分析复杂事件的构成,将复杂事件转化为几个彼此互斥事 件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或一独立重复试验问 题,然后用相应概率公式求解. (2)间接法:当复杂事件正面情况比较多,反面情况较少,则可利用其对立事 件进行求解,对于“至少”“至多”等问题往往用这种方法求解. 【对点训练2】(2020江苏盐城模拟,18)为了倡导健康、低碳、绿色的生 活理念,某市建立了公共自行车服务系统鼓励市民租用公共自行车出行,公 共自行车按每车每次的租用时间进行收费,具体收费标准如下: 租用时间不超

5、过1小时,免费; 租用时间为1小时以上且不超过2小时,收费1元; 租用时间为2小时以上且不超过3小时,收费2元; 租用时间超过3小时的时段,按每小时2元收费.(不足1小时的部分按1小 时计算) 已知甲、乙两人独立出行,各租用公共自行车一次,两人租车时间都不会超 过3小时,设甲、乙租用时间不超过1小时的概率分别是0.4和0.5,租用时间 为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.5和0.3. (1)求甲、乙两人所付租车费相同的概率; (2)设甲、乙两人所付租车费之和为随机变量,求的分布列和数学期望 E(). 解 (1)根据题意,分别记“甲所付租车费0元、1元、2元”为事件 A1,A2,A3,它们

6、彼此互斥,且P(A1)=0.4,P(A2)=0.5,所以 P(A3)=1-0.4- 0.5=0.1;分别记“乙所付租车费0元、1元、2元”为事件B1,B2,B3,它们 彼此互斥,且P(B1)=0.5, P(B2)=0.3,所以P(B3)=1-0.5-0.3=0.2. 由题知,A1,A2,A3与B1,B2,B3相互独立,记甲、乙两人所付租车费相同为 事件M,则M=A1B1A2B2A3B3,所以 P(M)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3) =0.40.5+0.50.3+0.10.2=0.2+0.15+0.02=0.37. (2)据题意,的可能取值为0,1,2,3,4

7、,P(=0)=P(A1)P(B1)=0.2; P(=1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=0.40.3+0.50.5=0.37; P(=2)=P(A1)P(B3)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B1) =0.40.2+0.50.3+0.10.5=0.28; P(=3)=P(A2)P(B3)+P(A3)P(B2)=0.50.2+0.10.3=0.13; P(=4)=P(A3)P(B3)=0.10.2=0.02. 所以的分布列为: 0 1 2 3 4 P 0.2 0.37 0.28 0.13 0.02 数学期望E()=00.2+10.37+20.28+30.13+40.02=1.

8、4. 2.超几何分布超几何分布 【例例3】(2020北京东城模拟北京东城模拟,17)体温是人体健康状况的直接反应体温是人体健康状况的直接反应,一般认一般认 为成年人腋下温度为成年人腋下温度T(单位单位:)平均在平均在36 37 之间即为正常体温之间即为正常体温,超过超过 37.1 即为发热即为发热.发热状态下发热状态下,不同体温可分成以下三种发热类型不同体温可分成以下三种发热类型,低低 热热:37.1T38;高热高热:3840. 某位患者因患肺炎发热某位患者因患肺炎发热,于于12日至日至26日住院治疗日住院治疗.医生根据病情变化医生根据病情变化,从从14 日开始日开始,以以3天为一个疗程天为一

9、个疗程,分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退 热热.住院期间住院期间,患者每天上午患者每天上午8:00服药服药,护士每天下午护士每天下午16:00为患者测量腋下为患者测量腋下 体温体温,记录如下记录如下: (1)请你计算住院期间该患者体温不低于39 的各天体温平均值; (2)在1923日期间,医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某 一特殊项目“项目”的检查,记X为高热体温下做“项目”检查的天数, 试求X的分布列与数学期望; (3)抗生素治疗一般在服药后28个小时就能出现血液浓度的高峰,开始杀 灭细菌,达到消炎退热效果.假设三种抗生素治疗效果

10、相互独立,请依据表 中数据,判断哪种抗生素治疗效果最佳,并说明理由. 抗生素 使用情况 没有使用 使用“抗生素A”治疗 使用“抗生素B”治疗 日期 12日 13日 14日 15日 16日 17日 18日 19日 体温() 38.7 39.4 39.7 40.1 39.9 39.2 38.9 39.0 抗生素 使用情况 使用“抗生素C”治疗 没有使用 日期 20日 21日 22日 23日 24日 25日 26日 体温() 38.4 38.0 37.6 37.1 36.8 36.6 36.3 解 (1)由表可知,该患者共 6 天的体温不低于 39 ,记平均体温为, = 1 6(39.4+39.7+

11、40.1+39.9+39.2+39.0)=39.55(). 所以,患者体温不低于39 的各天体温平均值为39.55 . (2)X的所有可能取值为0,1,2. P(X=0)=C3 3C 2 0 C5 3 = 1 10,P(X=1)= C3 2C 2 1 C5 3 = 6 10 = 3 5,P(X=2)= C3 1C 2 2 C5 3 = 3 10. 则X的分布列为: X 0 1 2 P 1 10 3 5 3 10 所以 E(X)=0 1 10+1 3 5+2 3 10 = 6 5. (3)说明“抗生素B”治疗效果最佳可使用如下理由:自使用“抗生素B”开 始治疗后,体温才开始稳定下降,且使用“抗生

12、素B”治疗当天共降温0.7 , 是单日降温效果最好的一天,故“抗生素B”治疗效果最佳. 说明“抗生素C”治疗效果最佳可使用如下理由:“抗生素B”使用期间先 连续两天降温1.0 又回升0.1 ,“抗生素C”使用期间持续降温共计1.4 , 说明“抗生素C”降温效果最好,故“抗生素C”治疗效果最佳. “抗生素B”治疗期间,平均体温约为39.03 ,方差约为0.015 6;“抗生素C” 治疗期间,平均体温约为38 ,方差约为0.106 7,“抗生素C”治疗期间体温离 散程度大,说明存在某个时间节点降温效果明显,故“抗生素C”治疗效果最 佳. 解题心得1.求超几何分布分布列的步骤 第一步,验证随机变量服

13、从超几何分布,并确定参数N,M,n的值; 第二步,根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的 概率; 第三步,用表格的形式列出分布列. 2.本例第(3)问是一个开放性问题,答案不唯一,得出结论抗生素B或C降温 效果最好都可以,只要说出合理的理由即可. 【对点训练3】(2020黑龙江大庆实验中学二模,19)2019年春节期间,我国 高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握春节 期间车辆出行的高峰情况,在某高速公路收费点记录了大年初三上午 9:2010:40这一时间段内通过的车辆数,统计发现这一时间段内共有600 辆车通过该收费点,它们通过该收费点的时刻的频率分布

14、直方图如下图所 示,其中时间段9:209:40记作区间20,40),9:4010:00记作 40,60),10:0010:20记作60,80),10:2010:40记作80,100,例如:10点04 分,记作时刻64. (1)估计这600辆车在9:2010:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值(同 一组中的数据用该组区间的中点值代表); (2)为了对数据进行分析,现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆, 再从这10辆车中随机抽取4辆,设抽到的4辆车中,在9:2010:00之间通过的 车辆数为X,求X的分布列与数学期望; (3)由大数据分析可知,车辆在每天通过该收费点的时刻服从正态分布

15、 N(,2),其中可用这600辆车在9:2010:40之间通过该收费点的时刻的平 均值近似代替,2可用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的 中点值代表),已知大年初五全天共有1 000辆车通过该收费点,估计在 9:4610:22之间通过的车辆数(结果保留到整数). 参考数据:若TN(,2),则P(-T+)=0.682 6; P(-2T+2)=0.954 4;P(-3T+3)=0.997 4. 解 (1)这600辆车在9:2010:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为 (300.005+500.015+700.020+900.010)20=64,即10点04分. (2)结合频率分布

16、直方图和分层抽样的方法可知:抽取的10辆车中, 在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组中在20,60)这一区间内的车 辆数,即(0.005+0.015)2010=4,所以X的可能取值为0,1,2,3,4. 所以 P(X=0)= C6 4 C10 4 = 1 14,P(X=1)= C6 3C 4 1 C10 4 = 8 21, P(X=2)=C6 2C 4 2 C10 4 = 3 7,P(X=3)= C6 1C 4 3 C10 4 = 4 35,P(X=4)= C6 0C 4 4 C10 4 = 1 210. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 14 8 21 3 7 4 35

17、 1 210 所以 E(X)=0 1 14+1 8 21+2 3 7+3 4 35+4 1 210 = 8 5. (3)由(1)可得=64,2=(30-64)20.1+(50-64)20.3+(70-64)20.4+ (90-64)20.2=324,所以=18, 估计在9:4610:22这一时间段内通过的车辆数,也就是当46T82时通过的 车辆数,由TN(,2),得P(64-18T64+18)=0.682 6,所以估计在9:4610:22 这一时间段内通过的车辆数为1 0000.682 6683(辆). 3.二项分布二项分布 【例例4】(2020北京朝阳一模北京朝阳一模,18)某科研团队研发了

18、一款快速检测某种疾病某科研团队研发了一款快速检测某种疾病 的试剂盒的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性为了解该试剂盒检测的准确性,质检部门从某地区质检部门从某地区(人数众多人数众多)随随 机选取了机选取了80位患者和位患者和100位非患者位非患者,用该试剂盒分别对他们进行检测用该试剂盒分别对他们进行检测,结果结果 如下如下: 非患者的检测结果 人数 患者的检测结果 人数 阳性 1 阳性 76 阴性 99 阴性 4 (1)从该地区患者中随机选取一人,对其检测一次,估计此患者检测结果为 阳性的概率; (2)从该地区患者中随机选取3人,各检测一次,假设每位患者的检测结果相 互独立,以X表示检测结果为

19、阳性的患者人数,利用(1)中所得概率,求X的分 布列和数学期望; (3)假设该地区有10万人,患病率为0.01.从该地区随机选取一人,用该试剂 盒对其检测一次.若检测结果为阳性,能否判断此人患该疾病的概率超过 0.5?并说明理由. 解 (1)由题意知,80位患者中有76位用该试剂盒检测一次,结果为阳性. 所以从该地区患者中随机选取一位,用该试剂盒检测一次,结果为阳性的 概 率估计为76 80 = 19 20. (2)由题意可知 XB(n,p),其中 n=3,p=19 20. X 的所有可能的取值为 0,1,2,3. P(X=0)=C3 0 19 20 0 1 20 3 = 1 8 000,P(

20、X=1)=C3 1 19 20 1 1 20 2 = 57 8 000, P(X=2)=C3 2 19 20 2 1 20 1 = 1 083 8 000,P(X=3)=C3 3 19 20 3 1 20 0 = 6 859 8 000. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 8 000 57 8 000 1 083 8 000 6 859 8 000 故 X 的数学期望 E(X)=np=3 19 20 = 57 20. (3)此人患该疾病的概率未超过 0.5.理由如下:由题意得,如果该地区所有人 用该试剂盒检测一次,那么结果为阳性的人数为 99 000 1 100+1 000 19

21、20 =990+950=1 940,其中患者人数为 950. 若某人检测结果为阳性,那么他患该疾病的概率为 950 1 940 970 1 940=0.5.所以此 人患该疾病的概率未超过 0.5. 解题心得对于实际问题中的随机变量X,如果能够断定它服从二项分布 B(n,p),那么其概率、期望与方差可直接利用公式P(X=k)= pk(1-p)n-k (k=0,1,2,n),E(X)=np,D(X)=np(1-p)求得,因此,熟记二项分布的相关公式, 可以避免烦琐的运算过程,提高运算速度和准确度. C 【对点训练4】一年之计在于春,一天之计在于晨,春天是播种的季节,是希 望的开端,某种植户对一块地

22、的n(nN*)个坑进行播种,每个坑播3粒种子, 每粒种子发芽的概率均为 ,且每粒种子是否发芽相互独立,对每一个坑 而言,如果至少有两粒种子发芽,则不需要进行补播种,否则要补播种. (1)当n取何值时,有3个坑要补播种的概率最大?最大概率为多少? (2)当n=4时,用X表示要补播种的坑的个数,求X的分布列与数学期望. 1 2 解 (1)对一个坑而言,要补播种的概率 P=C3 0(1 2) 3+C31(1 2) 3=1 2,有3个坑要补播种 的概率为C 3(1 2) n,欲使C3 (1 2) n 最大,只需 C 3 (1 2) C-1 3 (1 2) -1 , C 3 (1 2) C+1 3 (1

23、 2) +1 , 解得 5n6,因为 nN*,所以 n=5,6.当 n=5 时,C5 3(1 2) 5= 5 16;当 n=6 时,C6 3(1 2) 6= 5 16.所以当 n=5 或 n=6 时,有 3 个坑要补播种的概率最大,最大概率 为 5 16. (2)由已知,X 的可能取值为 0,1,2,3,4,XB(4,1 2), 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 X 的数学期望 E(X)=4 1 2=2. 4.正态分布正态分布 【例例5】(2020安徽池州三模安徽池州三模,19)某市教学研究室为了对今后所出试题的难某市教学研究室为了对今后

24、所出试题的难 度有更好的把握度有更好的把握,提高命题质量提高命题质量,对该市高三理科数学试卷的得分情况进对该市高三理科数学试卷的得分情况进 行了调研行了调研.从全市参加考试的理科考生中随机抽取了从全市参加考试的理科考生中随机抽取了100名考生的数学成名考生的数学成 绩绩(满分满分150分分),将数据分成将数据分成9 组组:60,70),70,80),80,90),90,100),100,110),110,120),120,130),130,140), 140,150,并整理得到如图所示的频率分布直方图并整理得到如图所示的频率分布直方图.用统计的方法得到样本用统计的方法得到样本 标准差标准差=2

25、0,以频率值作为概率估计值以频率值作为概率估计值. (1)根据频率分布直方图,求抽取的100名理科考生数学成绩的平均分 及 众数y; (2)用频率估计概率,从该市所有高三理科考生的数学成绩中随机抽取3个, 记理科数学成绩位于区间100,120)内的个数为Y,求Y的分布列及数学期望 E(Y); (3)从该市高三理科数学考试成绩中任意抽取一份,记其成绩为X,依据以下 不等式评判(P表示对应事件的概率):P(-X+)0.682 6,P(- 2X+2)0.954 4,P(-3X+3)0.997 4,其中= . 评判规则:若至少满足以上两个不等式,则给予这套试卷好评,否则差评.试 问这套试卷得到好评还是

26、差评? 解 (1)=650.06+750.06+850.1+950.14+1050.22+1150.18+ 1250.16+1350.06+1450.02=105,众数为 y=100+110 2 =105. (2)用频率估计概率,可得从该市所有高三考生的理科数学成绩中随机抽取 1 个,理科数学成绩位于100,120)内的概率为 0.22+0.18=0.40=2 5,则随机变量 Y 服从二项分布 YB 3, 2 5 ,故 P(Y=k)=3 2 5 3 5 3- (k=0,1,2,3). 由题意知 Y 所有可能的取值为 0,1,2,3, P(Y=0)= 3 5 3 = 27 125,P(Y=1)=

27、C3 1 2 5 3 5 2 = 54 125, P(Y=2)=C3 2 2 5 2 3 5 = 36 125,P(Y=3)= 2 5 3 = 8 125. Y的分布列为: Y 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 数学期望 E(Y)=3 2 5 = 6 5. (3)记该市高三考生的理科数学成绩为X,由(1)可知,= =105,又=20, 则-=105-20=85,+=105+20=125,-2=105-220=65, +2=105+220=145,-3=105-320=45,+3=105+320=165, P(-X+)=P(85X125)=0.05+0.1

28、4+0.22+0.18+0.08 =0.670.682 6, P(-2X+2)=P(65X0.954 4, P(-3X+3)=P(45X0.997 3,符合,不符合, 这套试卷得到好评. 解题心得服从N(,2)的随机变量X在某个区间内取值的概率的求法 (1)利用P(-X+),P(-2X+2),P(-3X+3)的值直接求. (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质 求解. 【对点训练5】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天 从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产 经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态

29、分布 N(,2). (1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(-3, +3)之外的零件数,求P(X1)及X的数学期望; (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3,+3)之外的零件,就认为 这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过 程进行检查. 试说明上述监控生产过程方法的合理性; 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸: 经计算得 = 1 16 =1 16 xi=

30、9.97,s= 1 16 i=1 16 (-)2= 1 16 ( =1 16 2-162)0.212,其中xi 为抽取的第 i 个零件的尺寸,i=1,2,16. 用样本平均数作为的估计值 ,用样本标准差s作为的估计值 ,利用估计 值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除( -3 , +3 )之外的数据,用 剩下的数据估计 和 (精确到 0.01). 附:若随机变量 Z 服从正态分布 N(,2),则 P(-3Z+3)0.997 3. 0.997 3160.957 7, 0.0080.09. 解 (1)抽取的一个零件的尺寸在(-3,+3)之内的概率为0.997 3,从而零 件的尺寸在(-3,+3

31、)之外的概率为0.002 7,故XB(16,0.002 7).因此 P(X1)=1- P(X=0)=1-0.997 3160.042 3.X的数学期望为 E(X)=160.002 7=0.043 2. (2)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(-3,+3)之外的概率只有 0.002 7,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(-3,+3)之外的零件的 概率只有0.042 3,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为 这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过 程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的. 由=9.97,s0.212,得 的估计值为 =9.97, 的估计值为 =0.212,由样本数 据可以看出有一个零件的尺寸在( -3 , +3 )之外,因此需对当天的生产过 程进行检查.剔除( -3 , +3 )之外的数据 9.22,剩下数据的平均数为 1 15(169.97-9.22)=10.02,因此 的估计值为 10.02. =1 16 2=160.2122+169.9721 591.134,剔除( -3 , +3 )之外的数据 9.22,剩下数据的样本方差为 1 15(1 591.134-9.22 2-1510.022)0.008, 因此 的估计值为 0.008 0.09.