2021新高考数学二轮复习:专题二 2.4.2 应用导数求参数的值或范围.pptx
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1、2.4.22.4.2 应用导数求参数的值或范围应用导数求参数的值或范围 第三部分第三部分 2021 内 容 索 引 01 02 必备知识必备知识 精要梳理精要梳理 关键能力关键能力 学案突破学案突破 必备知识必备知识 精要梳理精要梳理 1.函数不等式的类型与解法函数不等式的类型与解法 (1) xD,f(x)kf(x)maxk; xD,f(x)kf(x)mink; (2) xD,f(x)kf(x)上确界上确界k; xD,f(x)g(x2)f(x)在在a,b上的最小值上的最小值g(x)在在c,d 上的最大值上的最大值. (2) x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在在a,b上的最大
2、值上的最大值g(x)在在c,d上上 的最小值的最小值. (3) x1a,b, x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在在a,b上的最小值上的最小值g(x)在在c,d 上的最小值上的最小值. (4) x1a,b, x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在在a,b上的最大值上的最大值g(x)在在c,d 上的最大值上的最大值. (5)x1a,b,当x2c,d时,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域与g(x)在c,d 上的值域交集非空. (6)x1a,b,x2c,d,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域g(x)在c,d上 的值域. (7)x2c,d,x1a,b,f(x1)=g(
3、x2)f(x)在a,b上的值域g(x)在c,d上 的值域. 关键能力关键能力 学案突破学案突破 热点一热点一 求参数的值求参数的值 【例1】已知函数f(x)=ex-ax2. (1)略; (2)若f(x)在(0,+)只有一个零点,求a. 解 (1)略. (2)f(x)=ex(1-ax2e-x), 设函数h(x)=1-ax2e-x. f(x)在(0,+)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+)只有一个零点. (i)当a0时,h(x)0,h(x)没有零点; (ii)当a0时,h(x)=ax(x-2)e-x. 当x(0,2)时,h(x)0. 所以 h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+)单调递增.故
4、 h(2)=1-4 e2 是 h(x)在0,+)的 最小值. 若 h(2)0,即 ae 2 4 ,h(x)在(0,+)没有零点; 若 h(2)=0,即 a=e 2 4 ,h(x)在(0,+)只有一个零点; 若 h(2)e 2 4 ,由于 h(0)=1,所以 h(x)在(0,2)有一个零点. 由(1)知,当 x0 时,exx2,所以 h(4a)=1-16 3 e4 =1- 16 3 (e2)21- 16 3 (2)4=1- 1 0.故 h(x)在(2,4a)有一个零点.因此 h(x)在 (0,+)有两个零点.综上,f(x)在(0,+)只有一个零点时,a=e 2 4 . 解题心得求参数的值,方法因
5、题而异,需要根据具体题目具体分析,将题目 条件进行合理的等价转化,在转化过程中,构造新的函数,在研究函数中往 往需要利用对导数的方法确定函数的单调性. 【对点训练1】已知函数f(x)=ax- ,aR. (1)若f(x)0,求a的取值范围; (2)若y=f(x)的图象与y=a相切,求a的值. ln 解 (1)由 f(x)0 得 ax-ln 0,即 a ln 2 .设 g(x)=ln 2 , 则 g(x)=1-2ln 3 (x0),所以当 0x0,g(x)单调递增; 当 x e时,g(x)0,g(x)单调递减, 所以当 x= e时,g(x)取得最大值 g( e)= 1 2e,故 a 的取值范围是
6、a 1 2e . (2)设 y=f(x)的图象与 y=a 相切于点(t,a),依题意可得 () = , () = 0. 因为 f(x)=a-1-ln 2 , 所以 - ln = , - 1-ln 2 = 0, 消去 a 可得 t-1-(2t-1)ln t=0.令 h(t)=t-1-(2t-1)ln t, 则 h(t)=1-(2t-1) 1 -2ln t=1 -2ln t-1, 显然h(t)在(0,+)上单调递减,且h(1)=0, 所以当0t0,h(t)单调递增; 当t1时,h(t)0恒成立,f(x)0 x1,f(x)00x1. f(x)单调增区间为(1,+),单调减区间为(0,1). (2)若
7、f(x)在(0,1)内有极值, 则f(x)=0在x(0,1)内有解. 令 f(x)=(e -)(-1) 2 =0ex-ax=0a=e . 设 g(x)=e ,x(0,1), g(x)=e (-1) 2 ,当 x(0,1)时,g(x)e 时,f(x)=(e -)(-1) 2 =0 有解. 设H(x)=ex-ax,则H(x)=ex-a0,H(1)=e-ae时,f(x)在(0,1)内有极值且唯一. 当ae时,当x(0,1)时,f(x)1),f(x)=1-ln- 2 +1= 2-ln-+1 2 , 令 F(x)=x2-ln x-a+1, 则 F(x)=2x-1 = 2 2-1 , 当x(1,+)时,F
8、(x)0,所以函数F(x)在(1,+)上单调递增, 又F(1)=2-a,故当a2时,F(x)0,f(x)0,f(x)在(1,+)上单调递增,无极值; 当 a2 时,F(1)2时,G(x)0,函数G(x)在(2,+)上单调递增,G(2)=3-ln 20,所以在(2,+) 上,G(x)0恒成立,所以F(a)=a2-ln a-a+10, 所以函数F(x)在(1,a)上存在唯一零点x=x0,所以f(x)在(1,x0)上单调递减,在 (x0,+)上单调递增,此时函数f(x)存在极小值. 综上,若函数f(x)在区间(1,+)上有极值,则a2. 故实数a的取值范围为(2,+). 热点三热点三 在不等式恒成立
9、中求参数范围在不等式恒成立中求参数范围 【例3】已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1). (1)略; (2)若当x(1,+)时,f(x)0,求a的取值范围. 解 (1)略. (2)方法一(分离参数法) 当 x(1,+)时,f(x)0a0, 于是 K(x)在(1,+)上单调递增, 所以 K(x)K(1)=0,于是 H(x)0,从而 H(x)在(1,+)上单调递增.由洛比达法 则,可得 lim 1+ (x+1)x x-1 = x1+ (+1)ln) (-1) = lim 1+ 1+1 +ln 1 =2,于是 a2,于是 a 的 取值范围是(-,2. 方法二(最值法) 由 f(x)=(x
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