2021新高考数学二轮复习：专题三 3.3　三角大题　三角变换与解三角形.pptx

1、3.33.3 三角大题三角大题 三角变换与解三角形三角变换与解三角形 第三部分第三部分 2021 内 容 索 引 01 02 必备知识必备知识 精要梳理精要梳理 关键能力关键能力 学案突破学案突破 03 核心素养微专题核心素养微专题( (三三) ) 必备知识必备知识 精要梳理精要梳理 1.三角函数恒等变换“四大策略” (1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin2+cos2=tan 45等. (2)角的配凑:如=(+)-,2=(+)+(-);= (+)+(-). (3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次. (4)弦、切互化:一般是切化弦. 1 2 2.解三角形的公式变形 (1

2、)正弦定理 sin = sin = sin的一些变式:abc=sin Asin Bsin C; sin A= 2,sin B= 2,sin C= 2;a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.其中 R 是 ABC 外接圆的半径. (2)余弦定理a2=b2+c2-2bccos A的变形为cos A= 2+2-2 2 .当b2+c2-a20(=0,bsin Asin BAB. 关键能力关键能力 学案突破学案突破 热点一热点一 三角函数与三角变换的综合三角函数与三角变换的综合 【例1】(2020北京海淀二模,17)已知函数f(x)=2cos21x+sin 2x. (1)求f(0)的

3、值; (2)从1=1,2=2;1=1,2=1这两个条件中任选一个,作为题目的已知 条件,求函数 f(x)在 - 2 , 6 上的最小值,并直接写出函数 f(x)的一个周期. 解 (1)f(0)=2cos20+sin 0=2. (2)方案一:选条件.f(x)的一个周期为. f(x)=2cos2x+sin 2x=(cos 2x+1)+sin 2x= 2( 2 2 sin 2x+ 2 2 cos 2x)1= 2sin(x+ 4)1. 因为 x - 2 , 6 , 所以 2x+ 4 - 3 4 , 7 12 . 所以-1sin 2 + 4 1. 所以 1- 2 f(x)1+ 2. 当 2x+ 4=-

4、2,即 x=- 3 8 时,f(x)在 2 , 6取得最小值 1- 2. 方案二:选条件.f(x)的一个周期为 2. f(x)=2cos2x+sin x=2(1-sin2x)+sin x=-2 sin- 1 4 2 + 17 8 . 因为 x - 2 , 6 , 所以 sin x -1, 1 2 . 所以-1f(x) 17 8 . 当 sin x=-1,即 x=- 2时,f(x)在 - 2 , 6 上取得最小值-1. 解题心得1.解决三角变换在三角函数图象与性质中的应用的基本思路是: 通过变换把函数化为y=Asin(x+)的形式再研究其性质,解题时注意观察 角、名、结构等特征,注意利用整体思想

5、解决相关问题. 2.三角变换的总体思路是化异为同,目的是通过消元减少未知量的个数.如 把三角函数式中的异名、异角、异次化为同名、同角、同次,或把未知角 用已知角表示,或把未知角通过三角变换化成已知角. 【对点训练 1】(2020北京东城一模,17)已知函数 f(x)=asin 2x- 6 -2cos2x+ 6 (a0),且满足 . (1)求函数f(x)的解析式及最小正周期; (2)若关于x的方程f(x)=1在区间0,m上有两个不同解,求实数m的取值范围. 从f(x)的最大值为1,f(x)的图象与直线y=-3的两个相邻交点的距离等于 ,f(x)的图象过点 这三个条件中选择一个,补充在上面问题中并

6、 作答. 6 ,0 解 (1)因为 f(x)=asin(x- 6)cos 2 + 6 -1 =asin(2x- 6)-cos(2x+ 3)-1=asin(2x- 6)cos2x- 6)+ 21=(a+1)sin(2x- 6)-1, 所以函数 f(x)的最小正周期 T=.因为 a0, 所以函数 f(x)的最大值和最小值分别为 a,-a-2. 若选,则 a=1,函数 f(x)=2sin(2x- 6)-1; 若选,则-3为函数 f(x)的最小值,从而 a=1,函数 f(x)=2sin 2- 6 -1; 若选,则(a+1)sin(2 6 6)-1=0,从而 a=1,函数 f(x)=2sin(2x- 6

7、)-1. (2)由(1)知,函数f(x)的最大值为1. 因为关于x的方程f(x)=1在区间0,m上有两个不同解, 当 x0,m时,2x- 6 6,2m- 6所以 5 2 2m- 6 9 2 , 解得4 3 m0)的最小正周期为 ,c为 f(x)在 0, 2 上的最大值, 且 ,求 a-b的取值范围. 解 f(x)=2 3sin xcos x+2cos2x= 3sin 2x+cos 2x+1=2sin 2x+ 6 +1. 因为 T= 2 2 =,所以 =1,f(x)=2sin 2 + 6 +1. 因为 0 x 2,所以 6 2x+ 6 7 6 ,所以-1 2 sin 2 + 6 1. 所以f(x

8、)的最大值为3,即c=3. 若选,由acos B+bcos A=2ccos C及正弦定理可得 sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos C,即sin(A+B)=2sin Ccos C, 所以 cos C=1 2,C 为三角形内角,所以 C= 3. 若选,由 2asin Acos B+bsin 2A= 3a 及正弦定理得 2sin2AcosB+2sin Bsin Acos A= 3sin A. 因为 sin A0, 所以 sin Acos B+sin Bcos A= 3 2 , 所以 sin(A+B)= 3 2 , 所以 sin C= 3 2 . 因为 C 为锐角,所以 C

9、= 3. 若选,由 4S= 3(a2+b2-c2),得 2absin C= 3(a2+b2-c2),即 sin C= 3( 2+2-2) 2 , 所以 sin C= 3cos C,即 tan C= 3,所以 C= 3.因为 c=3,C= 3,所以 A+B=2 3 , sin=2 3. a-b=2 3(sin A-sin B)=2 3in A-sin(2 3 -A)=2 3sin(- 3) 因为 6A 2,所以- 6A- 3 6,所以- 32 3sin(- 3) 3.所以 a-b 的取值范围为 (- 3, 3). 解题心得对于在三角形中求解有关三角函数的图象和性质的题目,时刻不 要忘记对角的范围

10、的限制,特别是求三角函数值的范围或最值时,先要把自 变量的取值范围求出来,再利用三角函数的单调性或利用三角函数线确定 函数值的范围. 【对点训练3】(2020山东烟台模拟,17)已知函数f(x)=1-2 sin xcos x- 2cos2x+m在R上的最大值为3. (1)求m的值及函数f(x)的单调递增区间; (2)若在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c且f(A)=0,求 的取 值范围. 3 解 (1)f(x)=1-2 3sin xcos x-2cos2x+m =-( 3sin 2x+cos 2x)+m=-2sin 2 + 6 +m, 由已知 2+m=3,得 m=1, 所以

11、 f(x)=-2sin 2x+ 6 +1. 令 2k+ 2 2x+ 6 2k+3 2 ,kZ,得 k+ 6 xk+2 3 ,kZ, 所以函数 f(x)的单调递增区间为 k+ 6,k+ 2 3 ,kZ. (2)由(1)知-2sin 2A+ 6 +1=0,所以 sin 2A+ 6 =1 2, 由 0A 2 得 62A+ 6 7 6 , 所以 2A+ 6 = 5 6 ,解得 A= 3. = sin sin = sin 3 + sin = 3 2 cos + 1 2 sin sin = 3 2tan + 1 2. 因为三角形 ABC 为锐角三角形, 所以 0 2 , 0 = 2 3 - 2 , 解得

12、6C 3 3 ,所以1 2 2, 即 的取值范围为 1 2,2 . 热点四热点四 三角变换与解三角形的综合三角变换与解三角形的综合 【例4】(2020天津,16)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知 a=2 2,b=5,c= 13. (1)求角C的大小; (2)求sin A的值; (3)求 sin 2 + 4 的值. 解 (1)在ABC 中,由余弦定理及 a=2 2,b=5,c= 13, 可得 cos C= 2+2-2 2 = 2 2 . 又因为 C(0,),所以 C= 4. (2)在ABC 中,由正弦定理及 C= 4,a=2 2,c= 13,可得 sin A= sin =

13、2 13 13 . (3)由 ac 及 sin A=2 13 13 ,可得 cos A= 1-sin2 = 3 13 13 , 进而 sin 2A=2sin Acos A=12 13,cos 2A=2cos 2A-1= 5 13. 所以 sin 2 + 4 =sin 2Acos 4+cos 2Asin 4 = 12 13 2 2 + 5 13 2 2 = 17 2 26 . 解题心得在含有边角关系的等式中,利用正弦定理的变形a=2Rsin A, b=2Rsin B,c=2Rsin C,R为三角形外接圆的半径,可直接将等式两边的边化 为角;也能利用余弦定理的变形如cos A= 将角化为边.在三角

14、形 中利用三角变换求三角式的值时,要注意角的范围的限制,还有隐含条 件:A+B+C=,使用这个隐含条件可以减少未知数的个数. 2+ 2-2 2 【对点训练4】(2020全国,文18)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c. 已知B=150. (1)若 a= 3c,b=2 7,求ABC的面积; (2)若 sin A+ 3sin C= 2 2 ,求 C. 解 (1)由题设及余弦定理得 28=3c2+c2-2 3c2cos 150, 解得 c=-2(舍去),c=2.从而 a=2 3. ABC的面积为1 2 2 3 2sin 150= 3. (2)在ABC中,A=180-B-C=30-C, 所以

15、 sin A+ 3sin C=sin(30-C)+ 3sin C=sin(30+C). 故 sin(30+C)= 2 2 .而 0C30,所以 30+C=45,故 C=15. 热点五热点五 三角函数、三角变换与解三角形的综合三角函数、三角变换与解三角形的综合 【例5】(2020全国,理17)ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C. (1)求A; (2)若BC=3,求ABC周长的最大值. 解 (1)由正弦定理和已知条件得 BC 2-AC 2-AB2=AC AB. 由余弦定理得 BC 2=AC 2+AB2-2AC ABcos A. 由得 cos A=-1 2. 因为 0

16、A,所以 A=2 3 . (2)由正弦定理及(1)得 sin = sin = sin=2 3,从而 AC=2 3sin B,AB=2 3sin(-A-B)=3cos B- 3sin B. 故 BC+AC+AB=3+ 3sin B+3cos B=3+2 3sin + 3 . 又因为 0B4, c=7. (2)在ABC 中,由正弦定理可得 sin = sin = sin, sin = sin 3 - = 3 sin 2 3 , 即 AC=2sin ,BC=2sin 3 - . ABC 的周长 f()=AC+BC+AB=2sin +2sin 3 - + 3 =2 1 2sin + 3 2 cos + 3 =2sin + 3 + 3. 又 0, 3 , 3+ 3 2 3 ,当 + 3 = 2,即 = 6时,f()取得最大值 2+ 3. 核心素养分析本例题是一道跨章节的综合题,在解三角形的题境下,将等差 数列与余弦定理的知识相结合,将函数和正弦定理的知识相结合,应用到一 个问题中.使三角形的周长的最值问题通过建立三角函数模型得到解决.考 查了“数学建模”“数学运算”素养和知识的应用能力、迁移能力,同时也考 查了方程与函数的思想.