2021新高考数学二轮复习：第四部分 一、考前必记的50个知识点.pptx

1、一、考前必记的一、考前必记的5050个知识点个知识点 第四部分第四部分 2021 1.集合 (1)集合间关系的两个重要结论 AB包含A=B和AB两种情况,两者必居其一,若存在xB且xA,说明 AB,只能是AB. 集合相等的两层含义:若AB且BA,则A=B;若A=B,则AB且BA . 提醒任何一个集合是它本身的子集,即AA. 含有n个元素的集合有2n个子集,有2n-1个真子集,有2n-2个非空真子集. (2)集合之间关系的判断方法 ABAB且AB,类比于abab且ab. ABAB或A=B,类比于aba0且a1) y=logax(a0且a1) 定义域 R (0,+) 值域 (0,+) R 图象 关

2、系 互为反函数 奇偶性 非奇非偶 非奇非偶 单调性 当0a1时,在R上是增函数 当0a1时,在(0,+)上是增函数 提醒直线x=1与所给指数函数图象的交点的纵坐标即为底数值,直线y=1与 所给对数函数图象的交点的横坐标即为底数值. 9.函数零点的判断方法 (1)利用零点存在定理判断法:如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续 不断的一条曲线,并且有f(a) f(b)0),(logax)= 1 ln(x0,a0,且 a1). (ex)=ex,(ax)=axln a(a0,且a1). (2)导数的四则运算法则 (uv)=uv. (uv)=vu+vu(cv)=cv(c为常数). ( )= -

3、2 (v0). 提醒(1)若两个函数可导,则它们的和、差、积、商必可导;若两个函数均 不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导. (2)利用公式求导时,一定要注意公式的适用范围及符号,如(xn)=nxn-1中 nQ,(cos x)=-sin x. (3)注意公式不要用混,如(ax)=axln a,而不是(ax)=xax-1. (4)导数的加法与减法法则,可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数 的情形,即u(x)v(x)w(x)=u(x)v(x)w(x). (5)一般情况下,f(x)g(x)f(x)g(x),f(x) g(x)f(x)+g(x), () () () (), () ()f(x)

4、-g(x). 11.利用导数判断函数的单调性:设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果 f(x)0,那么f(x)在该区间内为增函数;如果f(x)0,右侧f(x)0,则f(x0)是极大值. 如果在x0附近的左侧f(x)0,则f(x0)是极小值. 提醒(1)可导函数在极值点处的导数为0,但导数为0的点不一定是极值点, 如函数f(x)=x3,x=0就不是极值点,但f(0)=0. (2)极值点不是一个点,而是一个数x0,当x=x0时,函数取得极值.在x0处有 f(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件. (3)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点 函数值

5、中的最大值,函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上 的极小值与其端点函数值中的最小值. (2)极值与最值的区别与联系 区别: 函数的极值 函数的最值 函数的极值点一定出现在区间的 内部,区间的端点不能成为极值点 使函数取得最大值,最小值的点可 能在区间的内部,也可能在区间的 端点 函数的极值是通过比较极值点附 近的函数值得出的 函数的最值是通过比较整个定义 域内的函数值得出的 函数的极值可能不止一个,也可能 一个没有 函数在其定义区间上的最大值、 最小值最多各有一个 函数的极大值不一定大于函数的 极小值 函数的最大值一定大于函数的最 小值 联系:()当连续函数在开区间内的极值点只有

6、一个时,相应的极值点必 为函数的最值点; ()极值有可能是最值,但最值只要不在区间端点处取得,其必定是极值. 13.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2+cos2=1. (2)商的关系:tan =sin cos(k+ 2,kZ). 提醒(1)公式常见变形:sin2=1-cos2,cos2=1-sin2,sin = 1-cos 2, cos = 1-sin 2,sin =cos tan ,cos =sin tan (k,kZ)等. (2)对“同角”的理解:只要是同一个角,基本关系式就成立,不拘泥于角的形式, 比如 sin2+ 3 +cos2+ 3 =1,tan 3= sin3 cos

7、3 3 + 6 ,kZ 等都成立,但 sin2+ 3 +cos2+ 6 =1 就不一定成立. 14.三角函数的诱导公式 公式一: sin(2k+)=sin ,cos(2k+)=cos ,tan(2k+)=tan ,kZ. 公式二: sin(+)=-sin ,cos(+)=-cos ,tan(+)=tan . 公式三: sin(-)=-sin ,cos(-)=cos ,tan(-)=-tan . 公式四: sin(-)=sin ,cos(-)=-cos ,tan(-)=-tan . 公式五: Sin( 2-)=cos ,cos( 2-)=sin . 公式六: Sin( 2+)=cos ,cos(

8、 2+)=-sin . 推广公式: Sin(3 2 +)=-cos ,cos(3 2 +0=sin , Sin(3 2 -)=-cos ,cos(3 2 -)=-sin . 提醒奇变偶不变,符号看象限 “奇、偶”指的是 的倍数是奇数还是偶数.“变与不变”指的是三角函数名 称的变化,“变”是指正弦变余弦(或余弦变正弦).“符号看象限”的含义是:把 角看作锐角,看n (nZ)是第几象限角,从而得到等式右边是正号还 是负号. 2 2 15.三角函数的图象变换 (1)y=sin x的图象向左平移(0)个单位长度得到y=sin(x+)的图象(当 0时,则向右平移|个单位长度). (2)y=sin x的图

9、象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的 倍,得 到y=sin x的图象. (3)y=sin x的图象上所有点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的A倍,得到 y=Asin x的图象. 1 提醒(1)由y=sin x的图象经过平移变换得到y=sin(x+)的图象,平移的单 (2)函数图象平移、伸缩变换的实质是点的变化,所以可以借助三角函数图 象上特征点坐标的变化寻找平移、伸缩变换的规律,一般借助于两个函数 图象上的最高点或最低点的坐标来分析. 位长度不是|,而是 . 16.三角函数的对称性 (1)曲线 y=sin x 的对称中心为(k,0),kZ,对称轴方程为 x=k+ 2,kZ. (2)曲线

10、 y=cos x 的对称中心为 k+ 2,0 ,kZ,对称轴方程为 x=k,kZ. (3)曲线 y=tan x 的对称中心为 2 ,0 ,kZ,无对称轴. (4)求曲线y=Asin(x+)(或y=Acos(x+),y=Atan(x+)的对称中心(或对 称轴),只需令x+等于对应的值,求出x即可. 17.三角恒等变换 (1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin()=sin cos cos sin . cos()=cos cos sin sin . tan()= tantan 1tantan (2)二倍角公式 sin 2=2sin cos . cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1

11、-2sin2. tan 2= 2tan 1-tan2. 18.正弦定理、余弦定理及其推论 (1)正弦定理 sin = sin = sin=2R(R 为ABC 外接圆的半径)a=2Rsin A, b=2Rsin B,c=2Rsin Cabc=sin Asin Bsin C. (2)余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,b2=c2+a2-2cacos B,c2=a2+b2-2abcos C. (3)三角形内角和定理 在ABC 中,有 A+B+C=C=-(A+B) 2 = 2 + 2 2C=2-2(A+B). (4)三角形面积公式 SABC=1 2bcsin A= 1 2acsin B= 1

12、 2absin C(A,B,C 是ABC 的三边 a,b,c 所对的角). 19.平面向量 (1)平面向量共线的坐标表示的两种形式 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1y2=x2y1,此形式对任意向量a,b(b0)都适 用. 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),且 x2y20,则 ab 1 2 = 1 2. 需要注意的是可以利用 1 2 = 1 2来判定 ab,但是反过来不一定成立. (2)有关数量积应用的常见结论 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则: aba b=0 x1x2+y1y2=0. |a|= = 1 2 + 1 2. cos= | = 1

13、2+12 1 2+12 2 2+22. 20.等差数列 (1)等差数列的判断方法 定义法:an+1-an=d(d为常数,nN*)an是等差数列. 通项公式法:an=a1+(n-1)d(其中a1,d为常数,nN*)an为等差数列. 等差中项法:2an+1=an+an+2(nN*)an是等差数列. 前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A,B为常数,nN*)an是等差数列. (2)等差数列前n项和的最大值、最小值的求法 通项公式法:当a10,d0时,Sn有最大值,可由an0且an+10求得n,从而 求出Sn的最大值;当a10时,Sn有最小值,可由an0且an+10求得n,从而 求出Sn的最小值. 二

14、次函数法:用求二次函数最值的方法求Sn的最值. 值得注意的是nN*,因此等差数列前n项和取得最值时n的值可能不是一 个值,也有可能是两个值. 21.等比数列的判断方法 (1)定义法: +1 =q(q为常数且 q0,nN*)或 -1=q(q为常数且 q0,n2)an为等比数列. (2)等比中项法:+1 2 =an an+2(an0,nN*)an为等比数列. (3)通项公式法:an=a1qn-1(其中a1,q为非零常数,nN*)an为等比数列. 提醒判断一个数列是否是等比数列,还有一种直观的判断方法,即前n项和 公式法:若Sn表示数列an的前n项和,且Sn=-aqn+a(a0,q0,q1),则数列

15、an 是公比为q的等比数列.但此方法不能用于证明一个数列是等比数列. 22.数列中项的最值的求法 (1)根据数列与函数之间的对应关系,构造相应的函数f(n)=an,利用求解函数 最值的方法(多利用函数的单调性)进行求解,但要注意自变量的取值必须 是正整数的限制. (2)利用数列的单调性求解,由不等式an+1an(或an+1an)求解出n的取值范 围,从而确定数列单调性的变化,进而确定相应的最值. (3)转化为关于n的不等式组求解:若求数列an的最大项,则可解不等式组 -1, +1;若求数列an的最小项,则可解不等式组 -1, +1,求出 n 的取 值范围之后再确定取得最值的项. 23.不等式的

16、解法 (1)分式不等式的解法 分式不等式() ()0(或0(0(a(x)f(x)(x)(a1)或f(x)(x)(0aloga(x)f(x)(x)0(a1)或0f(x)(x)(0a0(0(a0),且0(a0,b0),当且仅当a=b时,等号成立. 整式形式:ab + 2 2(a,bR),a2+b22ab(a,bR),(a+b)24ab(a,bR), + 2 2 2+2 2 (a,bR),以上不等式当且仅当 a=b 时,等号成立. 分式形式: + 2(ab0),当且仅当 a=b 时,等号成立. 倒数形式:a+1 2(a0),当且仅当a=1时,等号成立;a+ 1 -2(a0),当且仅当 a=-1 时,

17、等号成立. (2)利用基本不等式求最值 对于正数 x,y,若积 xy 是定值 p,则当 x=y 时,和 x+y 有最小值 2 . 对于正数 x,y,若和 x+y 是定值 s,则当 x=y 时,积 xy 有最大值1 4s 2. 已知 a,b,x,y 为正实数,若 ax+by=1,则有1 + 1 =(ax+by) 1 (+ 1 )=a+b+ + a+b+2 =( + )2. 已知 a,b,x,y 为正实数,若 + =1,则有 x+y=(x+y) + =a+b+ + a+b+2 =( + )2. 提醒利用基本不等式求最大值、最小值时应注意“一正、二定、三相等”, 即:所求式中的相关项必须是正数;求积

18、xy的最大值时,要看和x+y是否 为定值.求和x+y的最小值时,要看积xy是否为定值.求解时,常用到“拆 项”“凑项”等解题技巧;当且仅当各项相等时,才能取等号.以上三点应特 别注意,缺一不可. 25.空间几何体的表面积和体积 (1)直棱柱的侧面积:S侧=cl(c是底面周长,l为侧棱长). 正棱锥的侧面积:S侧=1 2ch(c 是底面周长,h为斜高). 正棱台的侧面积:S侧=1 2(c+c)h(c,c分别是上、下底面周长,h为斜高). 圆柱的侧面积:S侧=cl=2rl(c 是底面周长,l 为母线长). 圆锥的侧面积:S侧=1 2cl=rl(c 是底面周长,l 为母线长). 圆台的侧面积:S侧=

19、1 2(c+c)l=(r+r)l(c,c分别是上、下底面周长,l 为母线长). 球的表面积:S=4R2. (2)柱体的体积:V柱=Sh(S为底面积,h是柱体的高). 锥体的体积:V锥=1 3Sh(S 为底面积,h 是锥体的高). 球的体积:V球=4 3R 3=1 3S 表R. 26.球的组合体 (1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体 的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体 的体对角线长. (3)球与正四面体的组合体:棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 6 12a(正

20、四 面体高 6 3 a 的1 4),外接球的半径为 6 4 a(正四面体高 6 3 a 的3 4). 27.证明空间位置关系的方法 (1)线面平行: a, a, a. (2)线线平行: = ab, ab, = = ab, cb. (3)面面平行: , = , , , . (4)线线垂直: ab. (5)线面垂直: , = , l, = , a, a, b . (6)面面垂直: , . 提醒利用定理证明线面关系时要注意结合几何体的结构特征,尤其要注意 灵活利用正棱柱、正棱锥等特殊几何体的性质,进行空间线面关系的相互 转化. 28.空间向量的坐标运算 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,

21、b3),则 (1)a b=a1b1+a2b2+a3b3; (2)aba1=b1,a2=b2,a3=b3(R,b0); (3)aba1b1+a2b2+a3b3=0(b0); (4)|a|= = 1 2 + 2 2 + 3 2; (5)cos= | | = 11+22+33 1 2+22+ 3 2 12+22+32(a0,b0); (6)点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)之间的距离 d=| |= (2-1)2 + (2-1)2+ (2-1)2. 29.空间向量的应用 (1)夹角公式:设非零向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 cos= 11+22+33 1 2

22、+ 2 2+ 3 2 12+22+32. 推论:(a1b1+a2b2+a3b3)2(1 2 + 2 2 + 3 2)( 1 2 + 2 2 + 3 2). (2)异面直线所成的角:cos =|cos|= | | | | = |11+22+33| 1 2+ 2 2+32 12+22+32 ,其中 (090)为异面直线 a,b 所成的角,a,b 分别表示异面直线 a,b 的方向 向量. (3)直线 AB 与平面 所成的角 满足:sin =|cos|= | | | | |(m 是平面 的法向量). (4)二面角 -l- 的平面角 满足:|cos |=|cos|= | | | |(m,n 分别是平面

23、, 的法向量). 提醒在处理实际问题时,要根据具体图形确定二面角的平面角是锐角还是 钝角,以确定角的大小. 30.直线 (1)直线方程的5种形式 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 y-y0=k(x-x0) (x0,y0)是直线上一定点,k 是斜率 不垂直于x轴 斜截式 y=kx+b k是斜率,b是直线在y轴上 的截距 不垂直于x轴 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 两 点 式 y-y1 y2-y1= x-x1 x2-x1 (x1,y1),(x2,y2)是直线上两定点 不垂直于 x 轴 和 y轴 截 距 式 x a + y b=1 a是直线在 x轴上的非零截距,b是

24、直线在 y 轴上的非零截距 不垂直于 x 轴 和y轴,且不过 原点 一 般 式 Ax+By+C=0 (A,B不同 时为零) A,B 都不为零时,斜率为-A B,在 x 轴 上的截距为-C A,在 y轴上的截距为 -C B 任何位置的直 线 (2)两条直线的位置关系 已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,A2,B2全不为0),则l1,l2 相交1 2 1 2,l1l2 1 2 = 1 2 1 2,l1,l2 重合1 2 = 1 2 = 1 2. 当A1,B1,A2,B2中有0时,应单独讨论. 直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+

25、C2=0垂直A1A2+B1B2=0. 提醒讨论两条直线的位置关系时应注意斜率不存在或斜率为0的情况,当 两条直线中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,它们也垂直. 31.圆 (1)圆的四种方程 圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0). 圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0). 圆的参数方程: = + cos, = + sin ( 为参数). 圆的直径式方程:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(圆的直径的端点是 A(x1,y1),B(x2,y2). (2)直线与圆的位置关系 直线l:Ax+By+C=0和圆C:(x-a)2+

26、(y-b)2=r2(r0)有相交、相离、相切三种 情况.可从代数和几何两个方面来判断: 代数方法(判断直线与圆的方程联立所得方程组的解的情况):0相 交;0相离;=0相切; 几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小):设圆心到直线的距离 为d,则dr相离;d=r相切. (3)圆与圆的位置关系 设圆 O1:(x-a1)2+(y-b1)2= 1 2(r10),圆 O2:(x-a2)2+(y-b2)2= 2 2(r20),则其位置关系 的判断方法如下表: 位置关系 几何法 代数法 公切线的 条数 圆心距d与r1,r2的关系 联立两圆方程组成方程 组的解的情况 外离 dr1+r2 无解 4 外切 d

27、=r1+r2 一组实数解 3 相交 |r1-r2|dr1+r2 两组不同的实数解 2 内切 d=|r1-r2|(r1r2) 一组实数解 1 内含 0db0) y2 a2 + x2 b2=1(ab0) 图形 标准方程 几 何 性 质 范围 -axa,-byb -bxb,-aya 对称性 对称轴:x轴,y轴;对称中心:原点 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 顶点 A1(-a,0),A2(a,0); B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a); B1(-b,0),B2(b,0) 轴 线段A1A2,B1B2分别是椭圆的长轴和短轴,长轴长

28、为2a,短轴长为2b 焦距 |F1F2|=2c 离心率 焦距与长轴长的比值:e(0,1) a,b,c的关系 b2=a2-c2 x2 a2 + y2 b2=1(ab0) y2 a2 + x2 b2=1(ab0) 提醒椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度,e 的大小决定了椭圆的形状, 反映了椭圆的圆扁程度.因为 a2=b2+c2,所以 = 1-2,因此,当 e 越趋近于 1 时, 越趋近于 0,椭圆越扁;当 e 越趋近于 0 时, 越趋近于 1,椭圆越接近于圆. 所以 e 越大椭圆越扁,e 越小椭圆越圆.当且仅当 a=b,c=0 时,椭圆变为圆,方程 为 x2+y2=a2. 33.双曲线 (1)双

29、曲线的标准方程及几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b2=1 (a0,b0) y2 a2 x2 b2=1 (a0,b0) 图形 几 何 性 质 范围 |x|a,yR |y|a,xR 对称性 对称轴:x轴,y轴;对称中心:原点 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) 轴 线段A1A2,B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴;实轴长 为2a,虚轴长为2b 焦距 |F1F2|=2c 离心率 焦距与实轴长的比值:e(1,+) 渐近线 a,b,c的关系 b2=c2-a2 y= x y= x 提醒离心率

30、e的取值范围是(1,+).当e越接近于1时,双曲线开口越小;当e 越接近于+时,双曲线开口越大. 满足|PF1|-|PF2|=2a的点P的轨迹不一定是双曲线,当2a=0时,点P的轨 迹是线段F1F2的中垂线;当02a|F1F2|时,点P的轨迹不存在. (2)双曲线方程与渐近线方程的关系 若双曲线的方程为 2 2 2 2 =1,则渐近线的方程为 2 2 2 2 =0,即 y= x. 若渐近线的方程为 y= x,即 =0,则双曲线的方程可设为 2 2 2 2 =(0). 若所求双曲线与双曲线 2 2 2 2 =1 有公共渐近线,其方程可设为 2 2 2 2 =(0,焦点在 x 轴上;0) y2=-

31、2px (p0) x2=2py (p0) x2=-2py (p0) 图形 几 何 性 质 对称轴 x 轴 y 轴 顶点 O(0,0) 焦点 F p 2 ,0 F -p 2 ,0 F 0,p 2 F 0,- p 2 准线 方程 x=-p 2 x=p 2 y=-p 2 y=p 2 范围 x0,yR x0,yR y0,xR y0,xR 离心率 e=1 (2)抛物线焦点弦的常用结论 设AB是过抛物线y2=2px(p0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),为直线AB的 倾斜角,则 焦半径|AF|=x1+ 2 = 1-cos,|BF|=x2+ 2 = 1+cos. x1x2= 2 4 ,y1

32、y2=-p2. 弦长|AB|=x1+x2+p= 2 sin2. 1 | + 1 | = 2 . 以弦 AB 为直径的圆与准线相切. SOAB= 2 2sin (O 为抛物线的顶点). 35.直线与圆锥曲线的位置关系 (1)弦长的求解方法 设直线与圆锥曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若直线AB的斜率存在(设为k), 则|AB|= 1 + 2 |x1-x2|;若 k0,则|AB|= 1 + 1 2 |y1-y2|,其中 |x1-x2|= (1+ 2)2-412,|y1-y2|= (1+ 2)2-412. 当直线AB的斜率不存在时,可直接求出直线与圆锥曲线的交点坐标,利用 两点间的距

33、离公式求弦长. (2)圆锥曲线中的最值问题 利用圆锥曲线的定义进行转化,一般在三点共线时取得最值. 求圆锥曲线上的点到已知直线的距离的最值,当已知直线的平行线与圆 锥曲线相切时,两平行线间的距离即为所求. 利用基本不等式求最值. 36.频率与概率的区别与联系 (1)区别 频率具有随机性,在不同的试验中,同一事件发生的频率可能不同; 概率是频率的稳定值,是一个确定的常数,不管进行多少次试验,同一事 件发生的概率是不变的. (2)联系 频率和概率都是用来刻画随机事件发生的可能性大小的量; 概率可看作频率在理论上的期望值,随试验次数的增加,频率可近似地作 为这个事件的概率. 37.事件的关系与运算

34、(1)包含关系:如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A, 记作BA(或AB). (2)相等事件:如果BA且AB,那么称事件A与事件B相等,记作A=B. (3)并(和)事件:若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件 为事件A与事件B的并事件(或和事件),记作AB(或A+B). (4)交(积)事件:若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件 为事件A与事件B的交事件(或积事件),记作AB(或AB). (5)互斥事件:若AB为不可能事件(即AB=),那么称事件A与事件B互斥, 其含义是事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生. (6)对立事件:若AB为

35、不可能事件,AB为必然事件,那么称事件A与事件B 互为对立事件,其含义是事件A与事件B在任何一次试验中有且只有一个发 生. 提醒互斥事件与对立事件都是指两个事件的关系,互斥事件是不可能同时 发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生以外,还要求二 者必须有一个发生.因此,对立事件一定是互斥事件,而互斥事件未必是对 立事件. 38.概率的几个基本性质 (1)任何事件A的概率都在01之间,即0P(A)1. (2)若AB,则P(A)P(B). (3)必然事件发生的概率为1,不可能事件发生的概率为0. (4)当事件A与事件B互斥时,P(A+B)=P(A)+P(B).注意没有事件A与事件B互

36、斥这一条件时,这个公式不成立. (5)若事件A与事件B互为对立事件,则P(A)+P(B)=1. 提醒当一事件的概率不易直接求,但其对立事件的概率易求时,可运用(5), 即用间接法求概率. 39.古典概型的概率公式 如果随机事件A包含的基本事件数为m,总的基本事件数为n,则 P(A)=事件包含的基本事件的个数 总的基本事件的个数 = . 提醒求解古典概型问题的步骤 (1)判断本次试验的结果是否是等可能的,设出所求的事件A. (2)分别计算总的基本事件的个数n和所求的事件A所包含的基本事件的个 数m. (3)利用古典概型的概率公式 P(A)= ,求出事件 A 的概率. 40.均值的相关结论 (1)

37、E(k)=k(k为常数). (2)E(aX+b)=aE(X)+b. (3)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2). (4)若X1,X2相互独立,则E(X1 X2)=E(X1) E(X2). (5)若随机变量X服从两点分布,则E(X)=p. (6)若X服从二项公布,即XB(n,p),则E(X)=np. 提醒E(X)是一个常数,由X的分布列唯一确定,它描述X取值的平均状态,作 为随机变量X是可变的,可取不同的值. 41.方差的相关性质结论 (1)D(k)=0(k为常数). (2)D(aX+b)=a2D(X). (3)D(X)=E(X2)-E(X)2. (4)若X1,X2,Xn两两独立,则D(X1

38、+X2+Xn)=D(X1)+D(X2)+D(Xn). 提醒随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动,集 中与离散程度,其中标准差与随机变量本身有相同的单位. 方差也是一个常数,它不具有随机性,方差的值一定是非负的. 42.二项分布与正态分布 (1)条件概率的计算公式:当 P(B)0 时,在事件 B 发生的条件下,事件 A 发生的 条件概率为P(A|B)=() () ;类似地,当P(A)0时,在事件A发生的条件下,事件B 发生的条件概率为 P(B|A)=() () . (2)二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复 试验中这个事件恰好发生 k 次的概

39、率是 P(=k)=C pk(1-p)n-k,其中 k=0,1,n. (3)若随机变量 X 服从正态分布 N(,2),则 P(a0). 正态分布密度函数的性质:函数图象关于直线x=对称;(0)的大小决 定函数图象的“胖”“瘦”;P(-x+)=0.682 7,P(-2x+2)=0.954 5,P(-3x+3)=0.997 3. 在实际问题中进行概率、百分比计算时,关键是把正态分布的两个重要 参数,求出,然后确定三个区间(范围):(-,+),(-2,+2),(-3,+3), 与已知概率值进行联系求解. 43.排列数、组合数公式及其相关性质 (1)排列数 公式 A =n(n-1)(n-2)(n-m+1

40、)= ! (-)!(mn,m,nN *),A =n!=n(n-1)(n-2)2 1(n N*), A = ! (-)!主要有两个作用:当 m,n 较大时,可使用计算器快速算出结果;对 含有字母的排列数的式子进行变形时常使用此公式. (2)组合数 公式 C = A A = (-1) (-+1) ! = ! !(-)!(mn,n,mN *). C = ! !(-)!主要有两个作用:当 m,n 较大时,利用此公式计算组合数较为 简便;对含有字母的组合数的式子进行变形或证明时,常用此公式. 组合数的性质 C = C - (mn,n,mN*),C+1 = C -1 + C (mn,n,mN*), C 0

41、 + C 1 + C 2+C +C =2n, C 1 + C 3 + C 5+=C0 + C 2 + C 4+=2 n-1 . 44.求解排列组合问题常用的解题方法 (1)元素相邻的排列问题“捆绑”法. (2)元素相间的排列问题“插空”法. (3)元素有顺序限制的排列问题“除序”法,即先把这几个有顺序限制的 元素及其他元素一同进行全排列,然后用总的排列数除以这几个元素的全 排列数. (4)带有“含”“不含”“至多”“至少”的组合(排列)问题间接法,即先不考虑 限制条件求出组合(排列)数,再排除不符合要求的组合(排列)数. 45.二项式定理 (a+b)n=C 0an+C1 a n-1 b+C a

42、n-rbr+C bn(nN*),这个公式叫做二项式定 理,右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,它一共有n+1项,其中各项的系数 C (r=0,1,n)叫做二项式系数,式中的C an-rbk叫做二项展开式的通项,用 Tr+1 表示,即通项为展开式的第 r+1 项:Tr+1=C an-rbr(其中 0rn,kN,nN*). 提醒(1)(a+b)n的二项展开式的第 r+1 项是C an-rbr,(b+a)n的二项展开式的第 r+1 项是C bn-rar. (2)二项式系数与项的系数是两个完全不同的概念,二项式系数与a,b的值 无关,项的系数不仅与项数有关,也与a,b的值有关. 46.两种抽样法

43、 类别 共同点 各自特点 联系 适用范围 简单随 机抽样 抽样过程中每 个个体被抽到的 可能性相等; 每次抽出个体 后不再将它放回, 即不放回抽样 从总体中逐 个抽取 最基本的抽 样方法 总体中的个 体较少 分层 抽样 将总体分成 几层,分层按 比例进行抽 取 分层抽样时 采用简单随 机抽样或系 统抽样 总体由差异 明显的几部 分组成 提醒用分层抽样法抽样时,各层抽样标准要一致,互不重叠;各层抽取的比 例都等于样本容量在总体中的比例,即为 . 47.变量间的相关关系 线性相关系数r是从数值上来判断变量间的线性相关程度的,|r|的值越接近 于1,说明变量之间的线性相关程度越高;|r|的值越接近于

44、0,说明变量之间 的线性相关程度越低.当两个变量的关系可用一次函数表示时,r=1,若斜 率为正,r=1,否则r=-1.r为正时表示正相关,r为负时表示负相关. 48.线性回归方程的求解步骤 (1)利用散点图或进行相关性检验判定两个变量具有线性相关关系. (2)列表求出, =1 xi 2, i=1 n xiyi. (3)利用相应公式计算 , . (4)写出线性回归方程. 提醒回归直线一定经过样本点的中心( ),据此性质可以解决有关的计 算问题、判断结论的正确性. , 49.独立性检验的基本方法 一般地,假设有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为x1,x2和y1,y2,其样 本频数列联表如表: y

45、1 y2 总计 x1 a b a+b x2 c d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d 根据观测数据计算由公式K2= 所给出的随机变量 K2的观测值k,并且k的值越大,说明“X与Y有关系”成立的可能性越大,可以 利用数据来确定“X和Y有关系”的可信程度. (-)2 ( + )( + )( + )( + ) 50.复数的四则运算法则 (1)(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i. (2)(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. (3)(a+bi)(c+di)=+ 2+2 + - 2+2i(a,b,c,dR,c+di0). 提醒几个结论:(1i)2=2i. 1+i 1-i =i, 1-i 1+i=-i. i 4n =1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i 4n +i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,nN*. (4)=-1 2 3 2 i,且 0=1,2=,3=1,1+2=0.