数列的通项求法整理.docx
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1、 数列的通项数列的通项求法整理求法整理 一、知识梳理一、知识梳理 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 公式法公式法:转化为等差数列或等比数列,利用通项公式求解. 作商法作商法:已知)( 21 nfaaa n 求 n a,用 (1),(1) ( ) ,(2) (1) n fn f na n f n . 累加法累加法:形如 1 ( ) nn aaf n 求 n a,则 121121 ()() () nnnnn aaaaaaaa (2)n。 注意:( )f n不是同一个常数,同一个常数即为等差数列,但( )f n是可求的数列. 累乘法累乘法:形如 1 ( )
2、 n n a f n a 求 n a,则 12 1 121 nn n nn aaa aa aaa (2)n 。 注意:( )f n不是同一个常数,同一个常数即为等差数列,但( )f n是可求的数列. 倒数法倒数法:形如 1 1 n n n a a kab 的递推数列都可以用倒数法求通项. 注意:倒数后形式为 1 n a - 1 1 n a =( )f n为一个可求的数列. 构造法构造法: 1 ( ) nn akaf n 的递推关系求 n a,常利用待定系数法待定系数法构造等差、等比数列求解. 如 1nn akab (, k b为常数) 的递推数列, 构造 1 () nn ak a , 确定系数
3、(待 定系数)转化为公比为k的等比数列,求 n a. n S与 n a转化法:利用 1 1 ,1, ,2. n nn S n a SSn 把 n S转化为 n a或把 n a转化为 n S. 二、问题研究二、问题研究 1. 由数列的递推关系求通项 形如: * 1 ()(2,) nn af annN 【例 1】 (1)已知数列an中, a11, an1an2n1, 则 a5_, n a=_。 (2)若 a11,an12nan,则通项公式 an_。 (3)若 a11,an1 2an an2,则数列an的通项公式 an_。 (4)已知数列 n a满足23 1 nn aa,且1 1 a,求数列 n a
4、的通项公式 解析 (1)依题意得 an1an2n1, a5a1(a2a1)(a3a2)(a4a3)(a5a4) 1357925。 ana1(a2a1)(a3a2)(a4a3)(a5a4)+ 1 () nn aa 135(2n-1)= 2 1(21) 2 nn n . (2)由 an12nan,得 an an12 n1(n2), 所以 ana1 a2 a1 an1 an2 an an11 2 2 n22n12123(n1) (1) 2 2 n n 。 又 a11 适合上式,故 an (1) 2 2 n n . (3)因为 an1 2an an2,a11,所以 an0, 所以 1 2111 22
5、n nnn a aaa ,即 1 an1 1 an 1 2。 又 a11,则 1 a11,所以 1 n a 是以 1 为首项,1 2为公差的等差数列。 所以 1 an 1 a1(n1) 1 2 n 2 1 2。所以 an 2 n1(nN *)。 (4)法一法一: 1 32 nn aa , 1 1333(1) nnn aaa , 1 1 3 1 n n a a (常数) , 又 a11,则 1 12a , 1 n a是首项为 2,公比为 3 的等比数列, 1 +1=2 3n n a 1 =2 31(*) n n anN 法二:法二: 1 32 nn aa ,设 1 3() nn aa , 展开整
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