抛物线的简单几何性质.ppt

1、抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 X 定义：在平面定义：在平面 内内,与一个定点与一个定点 F和一条定直和一条定直 线线l(l不经过点不经过点 F)的的距离相等距离相等 的点的轨迹叫的点的轨迹叫 抛物线抛物线. 抛物线的定义及标准方程抛物线的定义及标准方程 准线方程准线方程 焦点坐标焦点坐标 标准方程标准方程 图图 形形 x x F F O y y l x x F F O y y l x x F F O y y l x x F O y y l y2=-2px (p0) x2=2py (p0) y2=2px (p0) )0, 2 p ( 2 p x )0, 2 p ( 2 p x ) 2

2、 p 0( ， 2 p y x2=-2py (p0) ) 2 p 0(， 2 p y 一、温故知新一、温故知新 范围范围 1、 y o x )0 , 2 ( p F 由抛物线由抛物线y2 =2px（p0） 2 20pxy有有 0p 0 x 所以抛物线的范围为所以抛物线的范围为 0 x 二、探索新知二、探索新知 如何研究抛物线如何研究抛物线y2 =2px（p0）的几何性质）的几何性质? 抛物线在抛物线在y轴的右侧，当轴的右侧，当x的值增大时，的值增大时，y也也 增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。 对称性对称性 2、 y o x )0 , 2

3、( p F ( , )x y 关于关于x轴轴 对称对称 ( ,)xy 即点即点(x,-y) 也在抛物线上也在抛物线上, 故故 抛物线抛物线y2 = 2px(p0)关于关于x轴轴对称对称. 则则 (-y)2 = 2px 若点若点(x,y)在抛物线上在抛物线上, 即满足即满足y2 = 2px， 顶点顶点 3、 y o x )0 , 2 ( p F 定义：定义：抛物线与抛物线与 它的对称轴的交点叫它的对称轴的交点叫 做抛物线的顶点。做抛物线的顶点。 y2 = 2px (p0)中，中， 令令y=0,则则x=0. 即：抛物线即：抛物线y2 = 2px (p0)的的顶点（顶点（0，0）.只有一只有一 个个

4、 注注:这与椭圆有四个顶点这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。双曲线有两个顶点不同。 离心率离心率 4、 y o x )0 , 2 ( p F P(x,y) 抛物线上的点与抛物线上的点与 焦点的距离和它到准焦点的距离和它到准 线的距离之比，叫做线的距离之比，叫做 抛物线的离心率。抛物线的离心率。 由定义知，由定义知， 抛物线抛物线y2 = 2px (p0)的离心率为的离心率为e=1. 下面请大家得出其余三种标准方程抛下面请大家得出其余三种标准方程抛 物线的几何性质。物线的几何性质。 （二）归纳：抛物线的几何性质（二）归纳：抛物线的几何性质 图图 形形 方程方程 焦点焦点 准线准线 范围范

5、围 顶点顶点 对称轴对称轴 e l F y x O l F y x O l F y x O l F y x O y2 = 2px （p0） y2 = -2px （p0） x2 = 2py （p0） x2 = -2py （p0） )0 , 2 ( p F )0 , 2 ( p F ) 2 , 0( p F ) 2 , 0( p F 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y x0 yR x0 yR y0 xR y 0 xR (0,0) x轴轴 y轴轴 1 特点：特点： 1.抛物线只位于半个坐标平面内抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无虽然它可以无 限延伸限延伸,但它没有渐近线但它没有渐近

6、线; 2.抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有没有 对称中心对称中心; 3.抛物线只有一个顶点、抛物线只有一个顶点、 一个焦点、一条准线一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的抛物线的离心率是确定的,为为1; 思考思考：抛物线标准方程中的：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响对抛物线开口的影响. y o x )0 , 2 ( p F P(x,y) 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -2246810 y2= x y2=x y2=2x y2=4x 2 1 P越大越大,开口越开阔开口越开阔 y2=2px x y o F l A B 过焦点且垂直于对称轴的直线过焦点且垂

7、直于对称轴的直线 被抛物线截得的线段被抛物线截得的线段AB叫做抛叫做抛 物线的通径，物线的通径， ), 2 (), 2 (p p Bp p A、 长度为长度为2p P越大，开口越阔越大，开口越阔 补充补充（1）通径：）通径： （标准方程中（标准方程中2p的几何意义）的几何意义） 利用抛物线的利用抛物线的顶点顶点、通径的两个、通径的两个端点端点可较准确画出可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。反映抛物线基本特征的草图。 补充补充（1）通径：）通径： |PF|=x0+p/2 x O y F P 通径的长度通径的长度：2P P越大越大,开口越开阔开口越开阔 （2）焦半径：）焦半径： 连接抛物线任意

8、一点与焦点的线段叫连接抛物线任意一点与焦点的线段叫 做抛物线的做抛物线的焦半径焦半径。 焦半径公式：焦半径公式： ),( 00 yx （标准方程中（标准方程中2p的几何意义）的几何意义） 总结总结 抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可 以无限延伸，但没有渐近线；以无限延伸，但没有渐近线； 抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没有对称中心; 抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线的离心率是确定的，等于； 抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； 抛物线的通径为抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张

9、口越大，抛物线的张口 越大越大. 1、范围：、范围： 2、对称性：、对称性： 3、顶点：、顶点： 4、离心率：、离心率： 5、通径：、通径： 因为抛物线关于因为抛物线关于x x轴对称，它的顶点在坐标原轴对称，它的顶点在坐标原 点，并且经过点点，并且经过点M M（，（， ），）， 2 2 解解: 所以设方程为：所以设方程为： )0(2 2 ppxy 又因为点又因为点M M在抛物线上：在抛物线上： 所以：所以： 2 ( 2 2)22p 2p 因此所求抛物线标准方程为：因此所求抛物线标准方程为： 2 4yx 例：已知抛物线关于例：已知抛物线关于x x轴对称，它的顶点在坐标轴对称，它的顶点在坐标 原点

10、，并且经过点原点，并且经过点M M（，（， ），求它的标准方程），求它的标准方程. . 2 2 三、典例精析三、典例精析 坐标轴坐标轴 当焦点在当焦点在x(y)轴上轴上,开口方向不定时开口方向不定时,设为设为y2=2mx(m 0) (x2=2my (m0),可避免讨论可避免讨论 练习：练习： 1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在轴，焦点在 直线直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是上，那么抛物线通径长是 . 16 2、已知点、已知点A（-2，3）与抛物线）与抛物线 的焦点的距离是的焦点的距离是5，则，则P= 。 2 2(0)ypx p 4

11、解这题解这题, ,你有什么方法呢你有什么方法呢? ? 法一法一: :直接求两点坐标直接求两点坐标, ,计算弦长计算弦长( (运算量一般较大运算量一般较大);); 法二法二: :设而不求设而不求, ,运用韦达定理运用韦达定理, ,计算弦长计算弦长( (运算量一般运算量一般) ); ; 法法三三: :设而不求设而不求, ,数形结合数形结合, ,活用定义活用定义, ,运用韦达定理运用韦达定理, ,计计 算弦长算弦长. . 例例2、斜率为、斜率为1的直线的直线 经过抛物线经过抛物线 的的 焦点焦点F，且与抛物线相交于，且与抛物线相交于A，B两点，求线两点，求线 段段AB的长。的长。 l 2 4yx A

12、 A BB FO x y 的长。两点，求线段抛物线相交于 且与的焦点经过抛物线的直线斜率为例 ABBA Fxyl , ,414 2 x y O F A B B A , 1 2 , 2 p p解：由题意可知， . 1:xl准线 ., ,),(),( 2211 BA ddl BAyxByxA 的距离分别为准线 到设 , 1 , 1 2 1 xdBF xdAF B A 由抛物线的定义可知 2 21 xxBFAFAB所以 的长。两点，求线段抛物线相交于 且与的焦点经过抛物线的直线斜率为例 ABBA Fxyl , ,414 2 x y O F A B B A 1 ),0 , 1 ( xyAB F 的方程

13、为所以直线 为由已知得抛物线的焦点 ,4) 1(,4 22 xxxy得代入方程 . 016 2 xx化简得 82 6 21 21 xxAB xx 。的长是所以，线段8AB 抛物线的焦点弦的特征抛物线的焦点弦的特征 1、已知、已知AB是抛物线是抛物线y22px的任意一条焦点弦，且的任意一条焦点弦，且A （x1，y1）、）、B（x2，y2） 1）求证：）求证：y1y2P2，x1x2p2/4。 2）设）设为直线为直线AB的倾斜角，求证：当的倾斜角，求证：当90o时，取得时，取得 AB的最小值的最小值2p。 3）若弦）若弦AB过焦点，求证：以过焦点，求证：以AB为直径的圆与准线相为直径的圆与准线相 切

14、。切。 12 4) ABxxP 四、归纳总结四、归纳总结 抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可 以无限延伸，但没有渐近线；以无限延伸，但没有渐近线； 抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没有对称中心; 抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线的离心率是确定的，等于； 抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； 抛物线的通径为抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大，抛物线的张口 越大越大. 1、范围：、范围： 2、对称性：、对称性： 3、顶点：、顶点： 4、离心率：、离心率： 5、通径：、通径：