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1、数学专题 相似 1.图形的相似 概念：形状相同的图形叫做相似图形，相似图形的大小不一定相同。形状、大小都相同的图 形称为全等图形，全等图形是相似图形的特殊情况。 图形的相似具有传递性，如果图形 A 与图形 B 相似，图形 B 与图形 C 相似，那么图形 A 与 图形 C 相似。 相似多边形的特征：对应边成比例，对应角相等。 , : DDCCBBAA AD DA DC CD CB BC BA AB DCBAABCD 四边形四边形 例）语言符号（以四边形为 （两个相似多边形对应边的比也叫做两个多边形的相似比。 相似多边形的判定：如果两个多边形对应边成比例，对应角相等，那么这两个多边形相似。 2.相

2、似三角形 （1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 即相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 （2）三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。 （3） 平行线分线段成比例定理推论： 平行于三角形一边的直线截其他两边 （或两边延长线） , 所得的对应线段的比相等。 （4）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 相似三角形的判定： 除了通过定义（三个角对应相等，三边对应成比例）外，还有如下判定方法 三边成比例的两个三角形相似。 （类似于全等三角形 SSS） 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 （类似于全等三角形 SAS） 两个对应角相等

3、的两个三角形相似。 斜边直角边对应成比例的两个三角形相似。 （类似于全等三角形 HL） 平行于三角形一条边的直线截取出的三角形与原三角形相似。 3.相似三角形的性质 对应边的比相等，对应角相等。 对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。 相似三角形的周长比等于相似比（相似多边形的周长比等于相似比） 。 A C D B 相似三角形面积的比等于相似比的平方（相似多边形的面积比等于相似比的平方） 。 4.相似三角形的应用 （1）测高（不能直接用皮尺或刻度尺量的） （2）测距（不能直接测量两点间距离的） 5.位似 （1）定义：如果两个图形不仅相似，而且每组对应顶点所在的直线都经过同一点

4、，对应边 互相平行（或共线）,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心。 位似图形是相似图形的特殊情形，要求更苛刻。 位似中心的位置由两个图形的位置决定，可能在两个图形的 同侧，异侧，图形的内部，边上，或顶点上。 （2）位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。 注意：位似图形必定是相似图形，相似图形不一定是位似图形；两个位似图形的位似中心只 有一个；两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。 （3）位似的应用：利用位似可以把一个图形放大或缩小。 步骤：确定位似中心，位似中心的位置可随意选择； 确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点； 确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大 还是缩小； 符合要求的图形不唯一， 因为所作的图形与所确定的位似中心的位 置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形. （4）在直角坐标系的位似 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应 点的坐标的比等于 k 或k 如果位似中心不在原点，可先以位似中心 为原点建立新坐标系， 画出位似图形， 再观 察图形在原坐标系中的坐标。