中学数学 二次函数的综合运用 课件.pptx

1、第一部分第一部分 系统复习系统复习 专题15 二次函数的综合运用2 考点解读 存在性探索问题是运用几何计算进行探索的综合 型问题，要注意相关的条件，可以先假设结论成立， 然后通过计算求相应的值，再作存在性的判断. 方法提炼 解决存在性问题通常分为三大步：一分类二画图三计算 平行四边形的存在性问题分为两类：三定一动和两定两动 三定一动的常用方法：过三个顶点分别作对边的平行线，三 条直线的交点即要找的第四个点； 两定两动常用方法：平移两定点所确定的线段，平移方向： 左下、右下、左上、右上 方法提炼 1 1在判定矩形、菱形或正方形时，要弄清是在“四边形” 还是在“平行四边形”的基础上来求证的，要熟悉

2、各种判定定 理的联系和区别，解题时要认真审题，通过仔细分析已知条件 来确定用哪一种判定方法 2 2平行四边形、矩形、菱形和正方形之间的联系： (1)在平行四边形的基础上，增加条件“一个角是直角” 或“对角线相等”，可得到矩形； (2)在平行四边形的基础上，增加条件“一组邻边相等” 或“对角线互相垂直”，可得到菱形； 方法提炼 (3)在平行四边形的基础上，要证该平行四边形是正方 形，可以先证明它是矩形，再证明它是菱形，或先证明它是 菱形，再证明它是矩形，即可得到正方形 3 3解决特殊四边形的存在性问题常用两种方法：几何 法与代数法 几何法就是上面讲到的通过平移确定点的坐标 代数法：设动点的坐标，

3、利用特殊四边形的对角线的交 点是两对角线的中点性质建立方程组，再加特殊四边形的边 或者角的特点建立方程组，求解方程组即可. 课堂精讲 例1 (2019包头节选)如图，在平面直角坐标系中， 已知抛物线yax2bx2(a0)与x轴交于A(1，0)， B(3，0)两点，与y轴交于点C，连接BC. (1)求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴； (2)若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存 在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存 在，请说明理由 课堂精讲 【分析】(1)将点A(1，0)，B(3，0)代入y ax2bx2即可； (2

4、)根据平行四边形对边平行且相等的性质可 以得到存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形 是平行四边形 课堂精讲 【解】(1)将点 A(1，0)，B(3，0)代入 yax 2bx2，可得 a2 3，b 4 3， 抛物线的解析式为 y2 3x 24 3x2， 对称轴 x1. (2)存在点 M 使得以 B， C， M， N 为顶点的四边形是平行四边形， 设 N(1，n)，M(x，y)， 四边形 CMNB 是平行四边形时， 1 2 3x 2 ，x2.M 2，10 3 ； 课堂精讲 四边形 CNBM 时平行四边形时， 3 2 1x 2 ，x2.M(2，2)； 四边形 CNMB 时平行四边形时， 13

5、2 x 2，x4.M 4，10 3 . 综上，M 点的坐标为(2，2)或 4，10 3 或 2，10 3 . 课堂精讲 例2 (2019齐齐哈尔)综合与探究 如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A，B两点， 与y轴交于C点，OA2，OC6，连接AC和BC. (1)求抛物线的解析式； (2)点D在抛物线的对称轴上，当ACD的周长最小 时，点D的坐标为_ (3)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在 点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形？若存 在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由 课堂精讲 【分析】(1)由OA2，OC6得到A(2，0)，C(0，6)， 用待定系数法即求得抛物

6、线解析式； (2)由点D在抛物线对称轴上运动且A，B关于对称轴对称 可得，ADBD，所以当点C，D，B在同一直线上时，ACD周 长最小求出直线BC解析式，把对称轴的横坐标代入即求得 点D纵坐标； (3)以AC为菱形的边和菱形的对角线进行分类画图，根据 菱形邻边相等、对边平行的性质确定点N的坐标 课堂精讲 【解】(1)OA2，OC6， A(2，0)，C(0，6) 抛物线 yx 2bxc 过点 A，C， 42bc0， c6. 解得 b1， c6. 抛物线解析式为 yx 2x6. (2) 1 2，5 课堂精讲 (3)存在点 N，使以点 A，C，M，N 为顶点的四边 形是菱形 A(2，0)，C(0，6

7、)， AC 2 2622 10. 若 AC 为菱形的边长，如图 1， 则 MNAC 且 MNAC2 10. N1(2， 2 10)， N2(2， 2 10)， N3(2， 0) 图 1 课堂精讲 若 AC 为菱形的对角线，如图 2， 则 AN4CM4，AN4CN4. 设 N4(2，n)，n 2 2（n6）2， 解得 n10 3 .N4 2，10 3 . 综上，点 N 坐标为(2，2 10)或(2，2 10)或 (2，0)或 2，10 3 . 图 2 【方法归纳】本题考查了二次函数的图象与性质，轴 对称求最短路径，一次函数的图象与性质，一次方程(组) 的解法，菱形的性质，勾股定理第(3)题对菱形

8、顶点存 在性的判断，以确定的边AC进行分类，再画图讨论计算 课后精练 1 1(2019周口二模)如图，在平面直角坐标系中， 抛物线yax2bx4与x轴交于A，B两点(点A在原点左 侧，点B在原点右侧)，与y轴交于点C，已知OA1，OC OB.设E是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过 点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点E作EHx 轴于点H，再过点F作FGx轴于点G，得到矩形EFGH，在 点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，该正方形 的边长 第1题图 课后精练 2 2已知，如图，抛物线yax2bxc(a0)的顶点为 M(1，9)，经过抛物线上的两点A(3，7)和B(3，m) 的

9、直线交抛物线的对称轴于点C.若点P在抛物线上，点 Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行 四边形时，满足条件的点P的坐标为_ _ 第2题图 （6,-16）或 课后精练 3 3 (2019高新区二模)如图， 在平面直角坐标系中， 二次函数 yax 2bx 3的图象经过点 A(1， 0)， C(2， 0)，与 y 轴交于点 B，其对称轴与 x 轴交于点 D. (1)求二次函数的表达式及其顶点的坐标； (2)若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD，求1 2PBPD 的最小值； (3)M(x， t)为抛物线对称轴上一个动点， 若平面内存 在点 N，使得以 A，B，M，N 为顶点的四边

10、形为菱形，则 这样的点 N 共有 个 第3题图 课后精练 解： (1)二次函数 yax 2bx 3的图象经过 点 A(1，0)，C(2，0)， ab 30， 4a2b 30，解得 a3 2 ， b 3 2 . 二次函数的表达式为 y 3 2 x 2 3 2 x 3. y 3 2 x 2 3 2 x 3 3 2 x1 2 29 8 3， 抛物线的顶点坐标为 1 2， 9 8 3 . 课后精练 (2)如图， 连接 AB， 作 DHAB 于 H， 交 OB 于 P， 此时1 2PBPD 最小 理由：OA1，OB 3， tanABOOA OB 3 3 .ABO30 . PH1 2PB. 1 2PBPD

11、PHPDDH. 此时1 2PBPD 最短(垂线段最短) 在 RtADH 中， AHD90 ，AD3 2，HAD60 ， DHAD sin 603 3 4 . 1 2PBPD 的最小值为 3 3 4 . 答案图 课后精练 (3)以 A 为圆心，AB 为半径画弧，因为 ABAD，故 此时圆弧与对称轴有两个交点， 且 AMAB， 即 M 点存在两 个，所以满足条件的 N 点有两个； 以 B 为圆心，AB 为半径画弧，因为 AB1 2，故此时 圆弧与对称轴有两个交点，且 BMAB，即 M 点有两个，所 以满足条件的 N 点有两个； 线段 AB 的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时 AMBM，因为 M

12、点有一个，所以满足条件的 N 点有一个 综上，满足条件的 N 点共有 5 个 故答案为：5. 课后精练 4 4(2019武汉模拟)如图1，抛物线yax22axc与x 轴交于A(3，0)，B两点，与y轴交于点C，ABC的面积为6， 抛物线顶点为M. (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，直线ykxk3与抛物线交于P，Q两点(P点 在Q点左侧)，问在y轴上是否存在点N，使四边形PMQN为矩形？ 若存在，求N点坐标，若不存在，请说明理由 图 1 图 2 课后精练 解： (1)抛物线对称轴为直线 x2a 2a1， A(3， 0)， B(1，0)AB4. SABC1 2ABOC6，OC3. C

13、(0，3)，c3. 将 B(1，0)代入 yax 22ax3，得 3a30， 解得 a1， 抛物线的解析式为 yx 22x3. 课后精练 (2)y 轴上存在点 N，使四边形 PMQN 为矩形 连接 PN，MN，MN 交 PQ 于点 S，设 N(0，n)， 四边形 PMQN 为矩形， MNPQ， SPSQSMSN. 点 M(1，4)，点 N 在 y 轴上， S 1 2， n4 2 . 由 yx22x3， ykxk3， 整理得 x 2(2k)xk0， 设方程两根为 xP，xQ，则 xPxQk2， S 1 2， n4 2 也为 PQ 中点， 1 2(x PxQ)1 2. 课后精练 xPxQ1，即 k

14、21，解得 k1. 直线 PQ 的解析式为 yx2. 解方程组 yx22x3， yx2， 得 x 1 51 2 ， y1 55 2 ， 或 x 2 51 2 ， y2 55 2 ， P 51 2 ， 55 2 ，Q 51 2 ， 55 2 . n4 55 2 55 2 5.n1. 点 N 坐标为(0， 1)时， 四边形 PMQN 为矩形 答案图 课后精练 5 5(2019长安区一模)如图，抛物线yax2bx 4(a0)与x轴交于A(1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C， 连接BC，点P是抛物线上第一象限内一动点，过点P作PEx轴 于点E，交BC于点D，连接PC. (1)求抛物线的解析式；

15、 (2)将PCD沿直线CP翻折，点D的对应点为Q.试问四边形 CDPQ是否能为菱形？如果能，请求出此时点P的坐标；如果不 能，请说明理由 第5题图 课后精练 解：(1)将 A(1，0)，B(4，0)两点代入 yax 2 bx4，得 ab40， 16a4b40，解得 a1， b3. 抛物线解析式为 yx 23x4. 课后精练 (2)四边形 CDPQ 能为菱形，如图 1， 当点 Q 落在 y 轴上时，四边形 CDPQ 是菱形 理由：由轴对称的性质知 CDCQ，PQPD， PCQPCD， 当点 Q 落在 y 轴上时，CQPD， PCQCPD. PCDCPD.CDPD. CDDPPQQC. 四边形 C

16、DPQ 是菱形 图1 课后精练 过 D 作 DGy 轴于点 G， 易知直线 BC 的解析式为 yx4. 设 P(n，n 23n4)， 则 D(n，n4)，G(0，n4)， 在 RtCGD 中， CD 2CG2GD24(n4)2n22n2， 而|PD|n 23n4(n4)|n24n|， PDCD，n 24n 2n， n 24n 2n. 解方程，得 n4 2或 0(不符合条件，舍去)， 解方程，得 n4 2或 0(不符合条件，舍去)， 课后精练 当 n4 2时，P(4 2，5 22)，如图 1； 当 n4 2时，P(4 2，5 22)，如图 2. 综上所述，四边形 CDPQ 能为菱形，此时点 P

17、的 坐标为(4 2，5 22)或(4 2，5 22) 图1 图2 课后精练 6 6(2019铜仁节选)如图，已知抛物线 yax 2 bx1 与 x 轴的交点为 A(1，0)，B(2，0)，且 与 y 轴交于 C 点 (1)求该抛物线的表达式； (2)已知点 P 是直线 y1 2x1 上的动点，点 Q 为抛物线上的动点， 点 C1为点 C 关于 x 轴的对称点， 当以 C，C1，P，Q 为顶点的四边形为平行四边形时， 求出相应的点 P 和点 Q 的坐标 第6题图 课后精练 解：(1)将 A(1，0)，B(2，0)分别代入抛物 线 yax 2bx1 中，得 ab1， 4a2b1， 解得 a1 2，

18、 b1 2. 该抛物线的表达式为 y1 2x 21 2x1. 课后精练 (2)由题意，C(0，1)，C1(0，1)，以 C， C1，P，Q 为顶点的四边形为平行四边形，分以 下两种情况： C1C 为边，则 C1CPQ，C1CPQ， 设 P m，1 2m1 ，Q m，1 2m 21 2m1 ， 1 2m 21 2m1 1 2m1 2， 解得 m14， m22， m32， m40(舍去) P1(4，3)，Q1(4，5)；P2(2，0)，Q2(2， 2)；P3(2，2)，Q3(2，0) 课后精练 C1C 为对角线， C1C 与 PQ 互相平分，C1C 的中点为(0，0)， PQ 的中点为(0，0)， 设 P m，1 2m1 ，则 Q m，1 2m 21 2m1 . 1 2m1 1 2m 21 2m1 0，解得 m 10(舍去)，m22. P4(2，0)，Q4(2，0) 综上所述，点 P 和点 Q 的坐标为：P1(4，3)，Q1(4，5)或 P2(2， 0)，Q2(2，2)或 P3(2，2)，Q3(2，0)或 P4(2，0)，Q4(2，0)