初中地理洛必达法则.ppt
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1、洛必达法则洛必达法则 型型一、一、 0 0 型型二、二、 型极限型极限型或型或三、可化为三、可化为 0 0 如果函数 ,其分子、 分母都趋于零或都趋于无穷大. 那么,极限 可能存在,也可能不 存在.通常称这种极限为未定型. )( )( lim )( xg xf x ax 时或当)( )( )( xax xg xf 并分别简记为 .这节将介绍一种计算 未定型极限的有效方法洛必达 法则. 型型或 0 0 )HospitalL ( 一、一、 ,0)(lim, 0)(lim ) 1 ( xgxf axax 型 0 0 定理4.4 如果f(x)和g(x)满足下列条件: ,且存在 与可以除外的某邻域内在点
2、 0)(, )()(),( )2( xg xgxfaxa ,或无穷大存在)( )( )( lim ) 3( xg xf ax . )( )( lim )( )( lim xg xf xg xf axax 那么 由于 可知x=a或者是f(x), g(x)的连续点,或者是f(x),g(x)的可去间断点. 0)(lim 0)(lim xgxf axax ,证 如果x=a为f(x),g(x)的连续点,则可知必有f(a)=0, g(a)=0.从而 . )()( )()( )( )( agxg afxf xg xf 由定理的条件可知,在点a的某邻域内以a及x为 端点的区间上,f(x),g(x)满足柯西中值
3、定理条件. 因此 . , )( )( )()( )()( )( )( 之间与在xa g f agxg afxf xg xf . )( )( lim )( )( lim )( )( lim )( )( lim xg xf g f g f xg xf axaaxax ,因此时,必有当aax 如果x=a为f(x)和g(x)的可去间断点,可以构造新 函数F(x),G(x). , , 0 , ),( )( ax axxf xF . , 0 , ),( )( ax axxg xG 仿上述推证可得 . )( )( lim )( )( lim )( )( lim )( )( lim xg xf xG xF x
4、G xF xg xf axaxaxax 定理4.5 如果f(x)和g(x)满足下列条件: ,0)(lim0)(lim ) 1 ( xgxf xx , 0)()()(| )2(xgxgxfx存在,且和足够大时,当 ,那么或为无穷大存在)( )( )( lim ) 3( xg xf x 证明时,只要令 就可利用定理4.4的结论得 出定理4.5. t x 1 型,有时的对于 0 0 x . )( )( lim )( )( lim xg xf xg xf xx 那么 . ee lim ax ax ax 求 )( )ee ( lim ee lim axax ax ax ax ax 例1 为 型,由洛必达
5、法则有 0 0 解 .e 1 e lim a x ax . cotarc 1 lim x x x 求 )cot(arc ) 1 ( lim cotarc 1 lim x x x x xx 例2 为 型,由洛必达法则有 0 0 解 . 1 1 1 1 lim 2 2 x x x . sin 2ee lim 0 xx x xx x 求 ) 0 0 ( cos1 2ee lim sin 2ee lim 00 型 xxx x xx x xx x 例3 为 型,由洛必达法则有 0 0 解 ) 0 0 ( sin ee lim 0 型 x xx x . 2 cos ee lim 0 x xx x . 81
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