极值点偏移学生版.doc

1、. 极值点偏移专题 1、极值点偏移 以函数函数 2 xy ?为例，极值点为 0，如果直线1?y与它的图像相交，交点 的横坐标为1?和1，我们简单计算：0 2 11 ? ? .也就是说极值点刚好位于两个交点 的中点处，此时我们称极值点相对中点不偏移. 当然，更多的情况是极值点相对中点偏移，下面的图形能形象地解释这一点. 那么，如何判断一道题是否属于“极值点偏移”问题呢？其具体特征就是： 2、主元法破解极值点偏移问题 2016 年全国 I 卷的第 21 题是一道导数应用问题，呈现的形式非常简洁，考查了函数的双零点的问题，也是典 型的极值点偏移的问题, 是考生实力与潜力的综合演练场 所谓主元法就是在

2、一个多元数学问题中以其中一个为“主元” ，将问题化归为该主元的函数、方程或不等式等 问题，其本质是函数与方程思想的应用 例 1.（2016 全国 1-21）已知函数 2 ) 1()2()(?xaexxf x 有两个零点. (I)求a的取值范围； (II)设 21,x x是)(xf的两个零点，证明2 21 ? xx. . 变式、 （2010 年天津理科 21 题）已知函数( )() x f xxexR ? ? （）求函数( )f x的单调区间和极值； （）已知函数( )yg x?的图象与函数( )yf x?的图象关于直线1x ?对称，证明当1x ?时，( )( )f xg x? （）如果 12

3、xx?，且 12 ( )()f xf x?，证明 12 2xx? 通法提炼通法提炼 一般地，主元法破解极值点偏移问题思路是： 第一步：根据? ? 1212 f xf xxx?建立等量关系，并结合? ?f x的单调性，确定 12 ,x x的取值范围； 第二步：不妨设 12 xx?，将待证不等式进行变形，进而结合原函数或导函数的单调性等价转化 . 第三步：构造关于 1 x（或 2 x）的一元函数? ? ?21,2 ii T xf xfaxi?，应用导数研究其单调性，并 借助于单调性，达到待证不等式的证明 例 2.（2016 年绵阳二诊） 3、极值点偏移问题的不等式解法 （1）我们熟知平均值不等式：

4、, a bR? 22 2 11 22 abab ab ab ? ? ? 即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值” 等号成立的条件是a b? . （2）我们还可以引入另一个平均值：对数平均值： lnln ab ab ? ? 那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式 ,? ?ab ab， lnln2 abab ab ab ? ? 以下简单给出证明： . 不妨设ab?，设abx?，则原不等式变为： 2(1)1 1,ln 1 xx xx xx ? ? ? ? 那么例 2 还可以如下解答： 变式 1（2011 辽宁理）已知函数? ? 2 ln(2)f xxa

5、xa x?. (I)讨论)(xf的单调性； （II）设 a0，证明：当 a x 1 0?时，) 1 () 1 (x a fx a f?； （III）若函数? ?yf x?的图像与x轴交于,A B两点，线段AB中点的横坐标为 0 x，证明：? 0 0fx?. . 变式 2.(2010 天津理) 已知函数? ? x f xxe? ?xR?. （）求函数)(xf的单调区间和极值； （） 已知函数)(xgy ?的图象与函数)(xfy ?的图象关于直线1?x对称， 证明当1?x时，)()(xgxf?. （）如果 12 xx?，且? ? 12 f xf x?. 证明： 12 2xx?. 变式 2.（201

6、6 年资阳二诊） . 练习练习 （1）主元法破解极值点偏移问题：）主元法破解极值点偏移问题：(2) 极值点偏移问题的不等式解法极值点偏移问题的不等式解法. 1.（2014 年江苏省南通市二模第 20 题）设函数? ? x f xeaxa?，其图象与轴交于? 1,0 A x，? 2,0 B x两 点，且 12 xx? (1)求的取值范围； (2)证明： ? 12 0fx x?（? ?fx?为函数? ?f x的导函数） ； 2.（2011 年辽宁理科 21 题）已知函数 2 ( )ln(2)f xxaxa x? （1）讨论( )f x的单调性； （2）设0a ?，证明：当 1 0x a ?时， 1

7、1 fxfx aa ? ? ? ? ； （3）若函数( )yf x?的图象与轴交于,A B两点，线段AB中点的横坐标为 0 x，证明： 0 ()0fx? . 3.3.（2013 年湖南文科第 21 题）已知函数? ? 2 1 1 x x f xe x ? ? ? . (1)求? ?f x的单调区间； (2)证明:当? ? 1212 f xf xxx?时， 12 0xx?. 4.4.函数? ? 43 4 3 f xxx?与直线 1 3 ya a ? ? ? ? ? 交于 12 ( , ), (, )A x a B x a，证明： 12 2xx?. . 5（2015 长春四模题）已知函数( ) x f xeax?有两个零点 12 xx?，则下列说法错误的是 . A. ae? B. 12 2xx? C. 1 2 1x x ? D.有极小值点 0 x，且 120 2xxx? 6.（2014 江苏南通市二模）设函数? ? x f xeaxa? ?aR?，其图象与x轴交于? ? 12 ,0,0A xB x两 点，且 12 xx?. 证明： ? 12 0fx x?（? ?fx?为函数? ?f x的导函数）. 7.已知函数( )lnf xxx?与直线ym?交于 1122 ( ,), (,)A x yB x y两点. 求证： 12 2 1 0x x e ?