极值点偏移与对数平均不等式.docx

1、. 1. 已知( )ln()f xxmmx?. （1）求( )f x的单调区间； （2）设1m ?， 12 ,x x为函数( )f x的两个零点，求证： 12 0xx?. 【试题来源】 （2017 年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科） ） 【考点】对数平均不等式与极值点偏移 【解析】 （1）( )f x的定义域为(,)m? 因为( )ln()f xxmmx?，所以 1 ( )fxm xm ? ? ， 当0m?时， 1 ( )0fxm xm ? ? 恒成立，( )f x的单调增区间为(,)m?，无减区间； 当0m ?时， 1 () 1 ( ) m xm m fxm xmxm ? ? ? 令(

2、)0fx?，得 1 xmm m ? ? ? 所以当 1 mxm m ? ?时，( )0fx?，( )f x单调递增， 当 1 xm m ? ?时，( )0fx?，( )f x单调递减， 所以当0m ?时，( )f x的单调增区间为 1 (,)mm m ?，减区间为 1 (,)m m ?. （2） （思路 1） （解析由蒋虎老师提供） 11 ln()0xmmx? 22 ln()0xmmx? 作差： 1212 ln()ln()()xmxmm xx? 所以 1212 1212 ()()1 ln()ln()ln()ln() xxxmxm mxmxmxmxm ? ? ? 12 () ()xmxm? 所以

3、 12 2 1 () ()xmxm m ? +： 1212 ln()ln()()xmxmm xx? 所以 1212 ln()()()xm xmm xx? 由得： 12 2 1 ln()()ln2lnxm xmm m ? ? 即： 12 ()2lnm xxm? . 所以 12 2ln 0 m xx m ? ?，所以 12 0xx? （思路 2）由（1）可知，当0m ?时，( )f x的单调增区间为 1 (,)mm m ?，减区间为 1 (,)m m ?. 不妨设 12 mxx?，由条件可知 11 22 ln() ln() xmmx xmmx ? ? ? ? ，即： 1 2 1 2 mx mx x

4、me xme ? ? ? ? ? ， 构造函数( ) mx g xex?，( ) mx g xex?与ym?图象两交点的横坐标为 12 ,x x， 由( )1 mx g xme?可得， ln 0 m x m ? ? 又因为 lnm m m ? ? ?（ 22 ln lnln(1) m mmmmm m m ? ? ? ? ?） 所以( ) mx g xex?在区间 ln (,) m m m ? ?上单调递减，在区间 ln (,) m m ? ?上单调递增. 可知 12 lnm mxx m ? ?，要证 12 0xx?， 只需证 12 2lnm xx m ? ?，即证： 21 2lnln (,)

5、mm xx mm ? ? 考虑到( )g x在 ln (,) m m ? ?上单调递增，只需要证明 21 2ln ()() m g xgx m ? ? 又因为 21 ()( )g xg x?，所以只需要证明 11 2ln ()() m g xgx m ? ? 令 2ln 2ln2ln ( )( )()2 mxm mx mm h xg xgxexe mm ? ? ?， 则 2ln 2ln2ln2 ( )2()222220 m mxm mxmxm mx e h xmemem em em m e ? ? ?， 即( )h x单调递增，又 ln2lnln lnln2ln ()20 mmm mmm hmeme mmm ? ? 结合 1 lnm mx m ? ?知 1 ( )0h x?，即 11 2ln ()() m g xgx m ? ?成立，即 12 0xx?成立.