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类型极值点偏移问题6.doc

  • 上传人(卖家):secant
  • 文档编号:93902
  • 上传时间:2019-02-05
  • 格式:DOC
  • 页数:3
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    关 键  词:
    极值 偏移 问题 下载 _考试试卷_数学_高中
    资源描述:

    1、. 极值点偏移极值点偏移问题问题(6) 泰勒展开(本质回归) 杨春波(高新区枫杨街 郑州外国语学校,河南 郑州 450001) 这一讲我们回到极值点偏移的直观图形上来, 揭示极值点偏移问题的高等数学背景 以 极小值点的偏移为例进行说明,如下左图为极小值点 0 x左偏,右图为极小值点 0 x右偏 f x ( ) x x2x1+x2 2 x0x1 f x ( ) x1 x0 x1+x2 2 x2 x 极值点发生偏移,直观表现为函数图象在极值点左右两侧(包含极值点 0 x的一个邻域 ? 00 ,xx xx?)的增减速度不同 如上左图,导函数? ?fx?(曲线上一动点? ?, x f x处切线的斜率)

    2、一直在增加,但增 加得越来越慢;如上右图,导函数? ?fx?也一直在增加,但增加得越来越快 一阶导数? ?fx?增加的速度(快慢)用什么来表示(刻画、衡量)? 用二阶导数? ?fx?的大小来表示(类似于加速运动中速度增加的快慢由加速度的大小 来决定样) 左图中,? ?fx?增加即? ?fx?单调递增,得? ?0fx?;? ?fx?增加得越来越慢,则 ? ?fx ?的绝对值越来越小,又 ? ?0fx ?,故 ? ?fx ?单调递减 右图中,? ?fx?增加即? ?fx?单调递增,得? ?0fx?;? ?fx?增加得越来越快,则 ? ?fx ?的绝对值越来越大,又 ? ?0fx ?,故 ? ?fx

    3、 ?单调递增 二阶导数? ?fx?的单调性用什么来表示? 当然是三阶导数? ?fx?的正负!左图中,? ?0fx?;右图中,? ?0fx? 于是,极小值点的偏移方向(左偏还是右偏)可用三阶导函数? ?fx?的正负(符号) 来判定若? ?0fx?,则极小值点左偏;若? ?0fx?,则极小值点右偏 同样的分析,可以知道极大值点的偏移方向也可用三阶导数? ?fx?的正负来判定,结 . 论是:若? ?0fx?,则极大值点右偏;若? ?0fx?,则极大值点左偏过程交给读者, 提醒:分析时应注意? ?0fx? 以上只是直观(或者说非常粗略)的分析,下面拟用高等数学中的泰勒展开式进行严格 证明,算作极值点偏

    4、移问题的另一种本质回归 为 了 讨 论 问 题 的 方 便 , 不 妨 假 设 区 间I上 的 可 导 函 数? ?yf x?满 足 ? ? 1212 fxfxxx?,且在区间? 12 ,x x内只有一个极小值点 0 x,即当? 10 ,xx x?时, 有? ?0fx?;当? 02 ,xx x?时,有? ?0fx?于是,判断极值点左偏还是右偏,即比较 0 x与 12 2 xx? 的大小关系,这可通过 12 2 xx f ? ? ? ? 的正负得到 记 12 2 xx m ? ?,将? ? 1 f x和? 2 f x分别在xm?处泰勒展开得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 23 1 11

    5、11 26 fmf f xf mfmxmxmxm ? ?, ? ? ? ? ? ? ? ? 23 2 2222 26 fmf f xf mfmxmxmxm ? ?, 其中? 11, x m?,? 22 ,m x? 注意到? 12 xmxm?,且? ? 12 f xf x?,以上两式相减得 ? ? ? ? 3 12 12 12 0 62 ffxx fmxx ? ? ? ? ? , 即? ? ? ? ? 2 1212 68 ffxx fm ? ? ? 所以, 若当? 12 ,xx x?时, 恒有? ?0fx?, 则? ? 1 0f?,? 2 0f?,? ?0fm?, 得 12 0 2 xx mx

    6、? ?,即极小值点左偏;若当? 12 ,xx x?时,恒有? ?0fx?,同理可得 ? ?0fm ?,有 12 0 2 xx mx ? ?,即极小值点右偏 极大值点的情形,推导过程同上,但结果却恰好相反,不再详述至此,我们得到极值 点偏移问题的如下判定定理: ? ?0fx ?极小值点左偏(极大值点右偏) ; ? ?0fx ?极小值点右偏(极大值 点左偏) . 注注 1:从推导过程不难发现,这只是一个充分性判定定理(而非必要) ,使用时应注意; 注注 2:此定理直接用来判定极值点的偏移方向,即得到 12 xx?与 0 2x的大小关系,对于 1 x, 2 x的其它不等式的证明或将无能为力 下面就用

    7、这个判定定理再解前面举过的例题 再解例再解例 1:? ? x f xxe?,? ? ?3 x fxx e?;若3x ?,则 ? 1212 max,32xxx x? ?;若3x ?,则? ?0fx?,极大值点1x ?左偏,有 12 2xx? 再解例再解例 2:? ? 2 21 x fxxea x?, ? ?1 x fxex?;若1x ? ?,由 ? ?20fa? 知,可设 12 12xx? ?,则 12 2xx?;若1x ? ?,则? ?0fx?,极小 值点1x ?右偏,有 12 2xx? 再解例再解例 4:(2)? ? x f xeax?,? ?0 x fxe?, 则极小值点 0 x右偏, 有

    8、 120 2xxx?; (3)? ?lnh xxx?,? ? 3 2 0hx x ? ?,则极小值点1x ?左偏,有 12 2xx? 再解例再解例 6:? ?lng xxx?,? ? 2 1 0gx x ? ?,则极小值点 1 x e ?左偏,有 2 ab e ? 再解例再解例 8:? ?2lnf xxax?,? ? 3 4 0fx x ?,则极大值点 2 x a ?左偏,有 12 4 xx a ?,则 122 46 2xxx aa ? 再解例再解例 10:? ? 2 ln2f xxaxa x?,? ? 3 2 0fx x ?,则极大值点 1 x a ?左偏, 有 12 2 xx a ? 更多例子恕不一一再解

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