极值点偏移问题8.doc

1、. 拐点偏移问题拐点偏移问题 杨春波（高新区枫杨街 郑州外国语学校，河南 郑州 450001) 新乡市 2017 届高三第二次模拟考试理科数学的导数大题如下： 题目题目 已知函数 ( ) 2 2ln311f xxxx=- （1）求曲线 ( ) yf x=在点 ( )() 1,1f处的切线方程； （2） 若关于x的不等式 ( ) ()() 2 32132axaxf x ?+-恒成立， 求整数a的最小值； （3）若正实数 12 ,x x满足 ( )()( )() 22 121212 4124fxfxxxxx+=，证明： 12 2xx+? 其中第（3）问等价于这样一个问题： 已知函数 ( ) 2 2

2、lnf xxxx=+，若正实数 12 ,x x满足 ( )( )12 4f xf x+=，证明： 12 2xx+? 先来看参考答案的证法： ( )( )12 4f xf x+=即 22 111222 2ln2ln4xxxxxx+=，整理得 ()()() 2 12121212 42lnxxxxx xx x+=+-， 令 1 2 0tx x?，记函数 ( ) lng ttt= -，则? ? 11 1 t g t tt ? ? ?，可知 ? ?g t在?0,1上单调 递减，在?1,?上单调递增，所以 ( ) g t的最小值为? ?11g?，则 ()( )1 21 21 2 ln1x xx xg x

3、xg t-=?， 得( )() 2 1212 6xxxx+?，又 12 0xx+，因此 12 2xx+?成立 答案的证法简单、快捷上述证法在面对双变量等式 22 111222 2ln2ln4xxxxxx+= 时，既没有“单变量化” ，也没有采用“主元法” ，而是瞄准所证结论，配凑出 ()() 2 1212 xxxx+，将剩余无关的式子统统放到一边，发现可将其看作 1 2 x x的函数，从 而用函数的视角求得最小值，进行“局部放缩” ，最终获证 答案的证法技巧性较强，可能难以想到，于是笔者努力去揭示题目的深层含义，试图给 出更一般的证法 注意到 ( ) 12f=，则 ( )( )( )12 21

4、f xf xf+=，想证 12 2xx+?，即 12 1 2 xx+ ，这或 许 和 函 数 的 中 心 对 称 性 有 关 ： 若 点( ) 1,2是 ( ) f x图 象 的 对 称 中 心 ， 则 由 . ( )( )( )12 21f xf xf+=可推得 12 2xx+=；现证 12 2xx+?，说明点( ) 1,2不是 ( ) f x图 象的对称中心，曲线? ?yf x?在穿过点( ) 1,2后发生了偏移，如图 1（示意图） x y 4 f 2-x() f x ( ) f x2? ? f x1? ? x2 2-x1 x1 1 2 O 图 1 求导得 ( ) 2 210fxx x =

5、+ ，则 ( ) f x在( ) 0,+?上单调递增； ( ) 2 2 2fx x =-+， 则 ( ) 10f=，高等数学里，称点( ) 1,2是 ( ) f x图象的拐点类似于“极值点偏移”问题， 不妨将此问题命名为“拐点偏移” ，仍可用“对称化构造”的策略来处理 另证另证：若 12 ,x x都大于 1，则 ( )( )( )12 214f xf xf+=，与题设矛盾；同理 12 ,x x也 不能都小于 1于是可设 12 01xx， ( )()122121 2212xxxxf xfx+驰?驰? ( )()( )()111 1 4242f xfxf xfx?鄢+-， 构造函数 ( )( )(

6、) 2F xf xfx=+-， ( 0,1x，则 ( )( )()() 22 2212 21 2 Fxfxfxxx xx 骣骣 ? 琪琪=-=+-+-+ 琪琪 - 桫桫 () () 1 4 110 2 x xx 骣 琪 =-? 琪 - 桫 ， 得 ( ) F x在( 0,1上单增，有 ( )( )( ) 1214xFFf?=，得证 笔者认为上述证法更具有一般性，笔者也相信： “拐点偏移”将会是一个新的命题热点， 仿照“极值点偏移”的命题思路， “拐点偏移”的试题将如雨后春笋般破土而出 最后附几张对比图来帮助读者快速理解“极值点偏移”和“拐点偏移” . 1.极值点偏移（? 0 0fx?） 无偏移

7、 偏移之后 x f x ( ) x0x2x1 x f 2x0x? f x ( ) x0x22x0-x1x1 ? ? 12120 2f xf xxxx? ? ? 12201 2fxfxxxx? 120 2xxx? 2.拐点点偏移（? 0 0fx?） 无偏移 偏移之后 x y f x ( ) x2 f(x2) x1 f(x1) x0 f(x0) O x y 2f x0? ?f 2x0x? f x ( ) x22x0-x1 f(x2) x1 f(x1) x0 f(x0) O ? ? 120 2f xf xf x? ? ? 120201 22f xf xf xxxx? 120 2xxx? 120 2xxx? 点评点评：极值点偏移关联于函数的轴对称性，拐点偏移关联于函数的中心对称性；不发生 偏移时，又可分别对应二次函数与三次函数，妙哉！