极值点偏移问题4.doc

1、. 极值点偏移问题（极值点偏移问题（4） 比值代换（解题方法） 杨春波（高新区枫杨街 郑州外国语学校，河南 郑州 450001) 本讲我们来重新审视极值点偏移问题，并给出新的解题方法 极值点偏移问题的一般形式是：已知函数? ?f x的极值点为 0 x，两相异实数 12 ,x x满足 ? ? 12 f xf x?，求证：? ? 120 2xxx? ?或? ? 2 1 20 x xx? ?或其他关于 12 ,x x的不等式从 代数层面来看， 极值点偏移问题是条件不等式证明： 在等量条件? ? 12 f xf x?的约束下求 证 12 ,x x的二元不等式一个自然的想法是：能否将双变量的条件不等式化

2、为单变量的函数 不等式呢？ 答案是肯定的，以笔者的学习经验为线索，我们先看一个例子 引例引例 已知函数? ?lnf xxx?， 设 12 0xx?， 求证： ? ? 12 1 22 1212 1 f xf xx xxxx ? ? ? 证明证明： ? ? ? 121212 11 2222 12121212 lnlnf xf xxxxxxx xxxxxxxx ? ? ? 112112 2222 12121212 lnlnlnln 1 10 xxxxxx xxxxxxxx ? ? ? ? ? ? ? 2 11 11222 1 122 22 122 1 2 lnln0ln0 1 xx xxxxxx x

3、x xxx x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 令 1 2 1 x t x ?，即证 2 2 ln0 1 tt t t ? ? ? 设? ? 2 2 ln 1 tt g tt t ? ? ? ，?1,t?，则? ? ? ? ? ? 3 2 22 22 11211 0 11 ttttt g t t tt t ? ? ? ， 得? ?g t在?1,?上单减，有? ? ?10g tg?，得证 上述证法通过代数变形，将所证的双变量 12 ,x x的不等式化为单变量 1 2 x t x ?的函数不等 式，从而得证能否一开始就做这个代换呢？ 令 1 2 1 x t x ?，则 12 x

4、tx?，将之代入式得 . ? 222 222 2 22222 2 lnlnlnln 0 11 txtxxtt t xxtxxtxtx ? ? ? ? 22 1ln 0ln0 111 t ttt t ttt ? ? ? ， 即为式， 2 x也被消掉了！这样一种比值代换在极值点偏移问题中也大有可为，下面就用 这种方法再解前面举过的例子 再解例再解例 1（3） ：可设 12 01xx? ?，? ? 12 f xf x?即 12 12 xx xex e ? ?，取自然对数得 1122 lnlnxxxx?令 2 1 1 x t x ?，则 21 xtx?，代入上式得 1111 lnlnlnxxtxtx?

5、， 得 1 ln 1 t x t ? ? ， 2 ln 1 tt x t ? ? 所以 ? 12 1 ln21 2ln0 11 ttt xxt tt ? ? ? ，构造函数可 证，交给读者 再解例再解例 3：? ? 12 f xf x?即 1122 lnlnxxxx?，令 2 1 1 x t x ?，则 21 xtx?，代入上式 得? 1111 lnlnlnxxtxtx?，得 1 ln ln 1 tt x t ? ? 所以 12121 2 12 ln lnln22lnln2ln2 1 tt x xxxxtt et ? ? ? ? ? ? ? ?21 ln0 1 t t t ? ? ? ，同前，

6、交给读者 再解练习再解练习 1： 由题意得 12 12 lnlnxx xx ?， 2 1 1 x t x ?， 代入解得 1 ln ln 1 t x t ? ? ， ln1 11 1 t tt xet ? ? （1）? 121 ln 12ln 11 ln2 1 t xxt xet t ? ? ? ?1 ln 1ln1 ln210tttt? ，构造函数可证，交给读者 （2） ? 2 1212 212ln lnln2ln2ln0 11 tt x xexxtt tt ? ? ? ，同前 再解例再解例 4：? ?0lnlnlnln xx f xeaxeax aexaxxxa? ?， 则? ? 12 0

7、f xf x?即 1122 lnlnlnxxxxa? （3） 12 2xx?的证法同本节例 1； . （4） 1 2 1x x ?即 ? ? 2 2 lnln1 11ln0 1 1 tttt tt tt t ? ? ? ? ? ，可证，交给读者 再解例再解例 5：仿例 1、4 得 12 111111 22ln0 lnln2 tt tt xxtttt ? ? ? ? ，可证 再解例再解例 7：令1 b t a ?，则?lnlnlntaa ataa ta? ?，?lnlnln1tatat? ?， 得 ln ln1 1 t a t ? ? ， ln 1 1 t t ae ? ? ? （2）? ln

8、121 ln1ln2 1 t aba tt t ? ? ? ?1 ln1ln1 ln210tttt? ，同前可证 （3）? 11111ln 2ln1ln1ln2ln 21 tt aatt abatatt ? ? ? ? ?1 ln1ln1 1 ln20ttttt? ，可证 再 解 例再 解 例8 ：? ? 12 f xf x?即 1122 2ln2lnxaxxax?， 令 2 1 1 x t x ?， 则 1111 2 l n2 l n2 l nxa xtxa t x?，得 1 2ln 1 t ax t ? ? 所证结论等价于 ? ? 12 312ln 261 26ln0 11 2 tt ax

9、axtt tt ? ? ? ， 可证 行文至此，相信读者已经领略到比值代换的威力用比值代换解极值点偏移问题方便、 快捷，只需通过一个代换就可双元化单元，变为单变量的函数不等式，易证那是不是可以 就此忘掉前面三讲的内容呢？只需比值代换，就可偏移无忧？ 这里，笔者必须指出，前面再解的过程中有意地略去了一些例子（不知细心的你是否发 现） ，这就补上，请读者明察 试试再解例再解例 2：? ? 22 21012 xx f xxea xa xx e? ?ln2ln1ln 2ln 22ln1lnaxxxxxxa? ? ，所以 ? 111222 ln 22ln1ln 22ln1lnxxxxxxa?， 令 2

10、1 1 x t x ?， 则 21 xtx?，代入上式并不能用t表示 1 x 试试 再 解 例再 解 例6 ：? ? 12 h xh x?即? 2222 112211 lnlnlnlnxxxxt xtx?， 得 . 2 1 2 ln ln 1 tt x t ? ? ? 2 22222 121 2 22ln 1ln 1ln2 1 1 tt xxtxt et ? ? 证明不易 试试再解练习再解练习 2：? ?01lnln1 xx f xeaxaea xxax?，所以 ? 112211 ln1ln1ln1xxxxtxtx?并不能用t表示 1 x （ 注 ： 文 章 发 出 后 ， 浙 江 郑 海 明

11、 提 醒 ， 原 式 可 变 形 为 ? ? 1122 1ln11ln1?xxxx， 将? ? 12 11，?xx看作整体， 令 2 1 1 1 ? ? ? x t x 即可， 感谢！ ） 这是比值代换的败笔，又是最精彩之处没有任何一种方法是万能的，我们不仅要熟悉 它的优势，熟练它的操作，还要清醒地认识到它的缺陷，运用时要注意哪些问题，这其实是 为了更好的运用 就比值代换法解极值点偏移问题来看： 代换 2 1 x t x ?对单一的对数式ln x最 有效；若稍微复杂一点就可能失效，关键是看代换后能否顺利解出 1 x的值（用t表示） ；有 时转化后的函数不等式比较复杂（可证但不易） ，这样就失去

12、了比值代换的便捷 最后，我们来看比值代换的另一个应用 例例 9 （2014 天津理 20）设? ? x f xxaeaR? ?，xR?已知函数? ?yf x?有 两个零点 12 ,x x，且 12 xx? （1）求a的取值范围； （2）证明： 2 1 x x 随着a的减小而增大； （3）证明： 12 xx?随着a的减小而增大 解解： （1）? ?0 x f xxae?即 x axe?，由题意得直线ya?与函数 x yxe?的图象 有 2 个不同的交点，由下图易知 1 0a e ?； x y y=a y = x ex x2 x1 1/e 1 O . （2）函数? ?yf x?的零点即直线ya?与

13、函数 x x y e ?图象的交点的横坐标，如上图， 有 12 01xx? ? 由 x x y e ?在?0,1上单调递增， 在?1,?上单调递减可知， 当a减小时， 1 x随之减小， 2 x随之增大，则 2 1 x x 增大，即 2 1 x x 随着a的减小而增大 （3）由? ?0 x f xx ae? ?得lnlnxax?，则 1122 lnlnlnxxxxa? 设 2 1 1 x t x ? ?， 则 21 xtx?， 1111 lnlnlnxxtxtx?， 得 1 ln 1 t x t ? ? ， 所 以 ? ? 121 1 l n 1 1 tt xxtx t ? ? ? 令? ? ?

14、1 lnt 1 t g t t ? ? ? ，?1,t?，则? ? ? 2 1 2ln 1 tt t g t t ? ? ? ? ，令? ? 1 2lnh ttt t ? ?， 得? ? 2 1 01 t h tt t ? ? ? ? ， 则? ?h t在?1,?上 单 调 递 增 ， 故 当1t ?时 ， 有 ? ? ?10h th? ，则? ?0g t?，? ?g t在?1,?上单调递增 于是， 12 xx?随着t的增大而增大，由（2）知t随着a的减小而增大，所以 12 xx?随着 a的减小而增大 练习练习 4 关于函数? ? 2 lnf xx x ?，下列说法错误的是 （A）2x ?是? ?f x的极小值点 （B）函数? ?yf xx?有且只有一个零点 （C）存在正实数k，使得? ?f xkx?恒成立 （D）对任意两个正实数 12 ,x x，且 12 xx?，若? ? 12 f xf x?，则 12 4xx? 练习练习 5 设函数? ? x f xxae? ?有两个零点 12 ,x x，且 12 xx?，记? ? 12 11 g a xx ?，证 明：? ?g a为定义域上的减函数