极值点偏移问题（）1.docx

1、. 极值点偏移问题极值点偏移问题 【类型一：【类型一： 12 xxa?类类】 1. （2013 年高考湖南文）年高考湖南文）已知函数 2 1 ( ) 1 x x f xe x ? ? ? . ()求( )f x的单调区间； ()证明:当 1212 ( )()()f xf xxx?时， 12 0xx?. 解: () . )1 23 )1 2)1 ()1)11( )( 22 2 22 2 x xx xe x xexxex xf x xx ? ? ? ? ? ? （ （ ;)(, 0)( 0-02422单调递增时，（当xfyxfx? 单调递减）时，当)(, 0)( 0xfyxfx?. 所以,）上单调

2、递减，上单调递增；在，在（?00-)(xxfy. ()由()知，只需要证明:当 x0 时( )()f xfx?即可. 1)1( 11 1 1 1 )()( 2 222 xex x e e x x e x x xfxf x x xx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 1)21 ()( 0,1)1 ()( 22 ? xx exxgxxexxg令. , 04)21 ()( 1)21 ()( 222 ? xxx xeexxhexxh令 0)0()(0)(?hxhxhy）上单调递减，在（ 0)0()(0)(?gxgxgy）上单调递减，在（ . 0001)1( 1 2 2 ? ? ? ? y

3、xxex x e y x x 时）上单调递减，但，在（ )()(0)()(xfxfxfxf? . 0)()( 212121 ?xxxxxfxf时，且所以，当 2. (2010 年天津卷年天津卷)已知函数( )() x f xxexR ? ? （）求函数( )f x的单调区间和极值； （）已知函数( )yg x?的图象与函数( )yf x?的图象关于直线1x ?对称，证明当1x ?时， ( )( )f xg x?； （）如果 12 xx?，且 12 ( )()f xf x?，证明 12 2xx?. （）解：( )(1) x fxx e? . 令( )fx?=0,解得1x ? 当x变化时，( )f

4、x?，( )f x的变化情况如下表 x (,1?) 1 (1,?) ( )fx? + 0 - ( )f x 极大值 所以( )f x在(,1?)内是增函数，在(1,?)内是减函数。 函数( )f x在1x ?处取得极大值(1)f且(1)f= 1 e （）证明：由题意可知( )(2)g xfx?,得 2 ( )(2) x g xx e ? ? 令( )( )( )F xf xg x?,即 2 ( )(2) xx F xxexe ? ? 于是 22 ( )(1)(1) xx F xxee ? ? 当1x ?时，220x?,从而 2 10 x e ? ? ?，又0 x e?，所以( )0F x?,从

5、而函数 F（x）在1,+)是增 函数 又 11 (1)01Feex ? ?，所以时，有 ( )(1)0F xF?,即( )( )f xg x?. （)证明： （1） 若 12121212 (1)(1)0,( )(),1.xxf xf xxxxx?由（ ）及则与矛盾 （2）若 12121212 (1)(1)0,( )(),.xxf xf xxxxx?由（ ）及得与矛盾 根据（1） （2）得 1212 (1)(1)0,1,1.xxxx?不妨设 由（）可知， 22 ()()f xg x?，则 22 (2)()fxg x?，所以 12 ( )(2)f xfx?. 因为 2 1x ?，所以 2 21x?

6、，又由（）可知函数( )f x在区间（-，1）内事增函数，所以 12 2xx?, 即 12 2xx?. 本题第二问的设置，实质上是降低了难度。通过本题可以得出，极值点偏移问题也可以看成是做对称函数本题第二问的设置，实质上是降低了难度。通过本题可以得出，极值点偏移问题也可以看成是做对称函数 的问题。下面多个问题都可以这样做的问题。下面多个问题都可以这样做. 类题：类题：已知函数 12 ( )ln ,01f xxxxx?， 12 ( )()f xf x?. 证明： 12 2 1xx e ?. 证明：构造函数 2 ( )( )()g xf xfx e ?， . 3. （反解表示类或构造函数单调性）（

7、反解表示类或构造函数单调性） 已知函数， 若方程有两个不同的根， 求证： 证明：法证明：法 1 1： 2 1 ( )(0) x fxx x ? ?， 01x?时，( )0fx?；1x ?时，( )0fx?； ( )f x在（0,1）上递减，在(1,)?递增. 方程有两个不同的根，则可不妨设 12 01xx? ? 若 2 2x ?，则必有 12 2xx?，故只需证 12 012xx? ?时，有 12 2xx? 设函数( )(12)yg xx?的图象和( )(01)yf xx?的图象关于1x ?对称， 设( )g xa?的解为 2 x?，则有 21 2xx ? ? 只需证明( )(12)yg xx

8、?的图象恒在( )(12)yf xx?的图象的上方，即可得到 22 xx ? ，即有 12 2xx? 法法 2： 2 1 ( )(0) x fxx x ? ?， 01x?时，( )0fx?；1x ?时，( )0fx?； ( )f x在（0,1）上递减，在(1,)?递增. 方程有两个不同的根，则可不妨设 12 01xx? ? 法法 3： 1 ( )lnf xx x ?( )f xa? 12 ,x x 12 2xx? ( )f xa? 12 ,x x ( )f xa? 12 ,x x 12 12 11 ln,ln,xaxa xx ? . 所以， 所以， ，所以 令，则， 令， 所以在上递增，即 因

9、为，所以，即 类题类题 1：已知且为实数，所以函数 （I）当时，求函数的单调区间； （II）若函数有两个不同的零点 （i）求实数的取值范围； （ii）求证： 12 12 2112 11 lnln xx xx xxx x ? ? 1212 12 1 12 2 lnln ln xxxx x x x xx x ? ? ? 1 2 1 1 2 1 ln x x x x x ? ? 2 1 2 1 2 1 ln x x x x x ? ? 12 21 12 11 22 11 lnln xx xx xx xx xx ? ? 1 2 ,01 x tt x ? ? 12 11 1 1 lnlnln t t t

10、t xx ttt ? ? ? 1 ( )2lng ttt t ? ? 2 22 12(1) ( )10 t g t ttt ? ? ? ( )g t(0,1)t?( )(1)0g tg? 1 2lntt t ? ln0t ? 1 2 ln t t t ? ? 12 2xx? 1a ? ?0a ? 2 3 ( )ln(1) 22 ax f xxax a ? 0a ?( )f x ( )f x 1212 ,()x x xx? a 12 +2x x ? . 类题类题 2：*已知为实数，函数 （I）讨论函数的单调性； （II）若函数有两个不同的零点 （i）求实数的取值范围； （ii）求证： （e 为自

11、然对数的底数）. a( )ln1f xxax? ( )f x ( )f x 1212 ,()x x xx? a 112 1 1,+2xxx e ?且 . 4. 已知直线与函数的图象相切，且. （1）求实数的值； （2）若在曲线上存在两个不同的点关于轴的对称点均在直线 上 ，证明：. 解： （1）设与的图象相切于点 ， 则根据题意可得即 ， 又， 由可得， （2）点点关于轴的对称点为在直线上 ， 法法 1：整体变量法：整体变量法 两式相加得， 两式相减得，. 由以上两式可得（反解出（反解出） ， 即，不妨设 :1l yx?( )eax bf x ? ?(1)ef? , a b ( )ymf x?

12、 1122 ( ,( ), (,()A x mf xB x mf xy l 12 4xx? :1l yx?( )eax bf x ? ? 00 (,()xf x ( )eax bfxa ? ? 0 00 ()1 ()1 fx f xx ? ? ? ? ? 0 0 0 e1 e1 axb axb a x ? ? ? ? ? ? ? 0 1 1x a ? 1 e1 a b a ? ? ? (1)fe?ee a b a ? ? 1,0.ab? 1122 ( ,( ), (,()A x mf xB x mf xy 1122 (,( ),(,()x mf xx mf x? l 12 12 e1, e1

13、xx mx mx? ? ? 12 21 (e +e )2 () xx mxx? 12 21 (ee )() xx mxx? 21 xx? 2121 2121 212121 eee1 2()() eee1 xxxx xxxx xxxxxx ? ? ? ? ? 2121 2121 212121 eee1 ()()2 eee1 xxxx xxxx xxxxxx ? ? ? ? ? 21 0txx? . 要证，即证，即证， 即证，即证. 设， 令，则，在上单调递增，又 当时，恒成立，在上单调递增， 又，即，即 . 法法 2：构造函数法构造函数法 12 12 1 11 xx ee xxm ? ? ? 上

14、式等价于 1 1 x e xm ? ? ? 有两个零点，下面证明 令，则， 当 时，；当 时，；当 时， 所以( )g x在(,1)?上递减，在(1,2)上递减，在(2,)?上递增 又时，时，时，且， 要使得 1 1 x e xm ? ? ? 有两个零点，必有 不好算？不好算？怎么办？怎么办？ 法法 3：以上同法以上同法 2 令01t? ?， 22 (2)(2) 11 tt ee gtgt tt ? ? ? 22 2 (1)(1) 1 tt etet t ? ? ? ? 22 2 (1)(1) 1 tt eett t ? ? ? ? 令 2 ( )(1)(1) t h tett?，则 2 (

15、)(1 2 ) 1 t h tet?， 2 ( )40 t h tte?，( )h t?在(0,1)上单调递减，( )(0)0h th? 所以 2 ( )(1)(1) t h tett?在(0,1)上单调递减，( )(1)20h th? ? ? 21 4xx? 21 21 21 e1( )24 e1 xx xx xx ? ? ? ? ? 21 21 21 e1( )2 e1 xx xx xx ? ? ? ? ? 2121 21 (e1)()2(e1) xxxx xx ? ?(e1)2(e1) tt t? ( )(e1)2(e1),0 tt g ttt?( )ee1,0 tt g ttt? (

16、)( )ee1 tt h tg tt?( )e0 t h tt?( )g t ?(0,)?(0)0 g? ? (0,)t?( )0g t?( )g t(0,)? (0)0g?( )0,g t ? 2121 21 (e1)()2(e1) xxxx xx ? ? 21 21 21 e1( )2 e1 xx xx xx ? ? ? ? ? 21 4xx? 12 12 e1, e1 xx mx mx? ? ? 12 ,x x 12 4xx? e ( ) 1 x g x x ? ? 2 e (2) ( ) (1) x x g x x ? ? ? 1x ?( )0g x?12x?( )0g x?2x ?(

17、 )0g x? 1x ?( )0g x ?1x ? ?( )g x ?1x ? ?( )g x ?= (2)gge? 极小 12 ,x x 12 12xx? 2111 ()(4)( )(4)g xgxg xgx? 11 4 11 ee 1(4) 1 xx xx ? ? ? 11 4 11 ee 1(4) 1 xx xx ? ? ? . 又 2 2 0 1 t e t ? ? ? ，所以(2)(2)0, (2)(2)gtgtgtgt? 令 1 2tx?，则 11 (22)2(2)gxgx? ?，即 112 (4)( )()gxg xg x? 又( )g x在(2,)?上递增，且 12 42,2x

18、x?， 所以 12 4xx?，即 12 4xx? 类题： （类题： （2016 高考全国高考全国 I 理科）理科）已知函数 2 ( )(2)e(1) x f xxa x?有两个零点. （1）求a的取值范围； （2）设 1 x， 2 x是( )f x的两个零点，求证： 12 2xx? 解：法 1： （1）由题意? ?1 e21 x fxxa x?=1e2 x xa?. 当20a，即0a时，e20 x a?恒成立.令? ?0fx?，则1x ?， 所以? ?f x的单调增区间为?1,?.同理可得? ?f x的单调减区间为?,1? 当20a ?，即0a ?时，令? ?0fx?，则1x ?或?ln2a?

19、 （）当?ln21a?，即 e 2 a ? ?时，令? ?0fx?，则1x ?或?ln2xa?， 所以? ?f x的单调增区间为?,1?和?ln2,a?.同理? ?f x的单调减区间为?1,ln2a?； （）当?ln21a?，即 2 e a ? ?时， 当1x?时，1 0x? ?， 1 e2ee0 x a?，所以? ?0fx?.同理1x ?时，? ?0fx? 故? ?f x的单调增区间为?,? ?； （）当?ln21a?，即 e 0 2 a?时.令? ?0fx?，则?ln2xa?或1x ?， 所以? ?f x的单调增区间为?,ln2a?和?1,?，同理? ?f x的单调减区间为?ln2,1a? 综上所述， 当 e 2 a ? ?时，? ?f x的单调增区间为?,1?和?ln2,a?， 单调减区间为?1,ln2a?； 当 e 2 a ? ?时，? ?f x的单调增区间为?,? ?； 当 e 0 2 a?时，? ?f x的单调增区间为?,ln2a?和?1,?，单调减区间为?