极值点偏移问题2.doc
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- 极值 偏移 问题 下载 _考试试卷_数学_高中
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1、. 极值点偏移问题(极值点偏移问题(2) 函数的选取(操作细节) 杨春波(高新区枫杨街 郑州外国语学校,河南 郑州 450001) 例例 4 已知函数? ? x f xeax?有两个不同的零点 12 ,x x,其极值点为 0 x (1)求 a 的取值范围; (2)求证: 120 2xxx?; (3)求证: 12 2xx?; (4)求证: 1 2 1x x ? 解解: (1)? ? x fxea?,若0a ?,则? ?0fx?,? ?f x在 R 上单增,? ?f x至多有 1 个零点,舍去;故必有0a ?,易得? ?f x在?,lna?上单减,在?ln , a ?上单增,要 使? ?f x有两
2、个不同的零点,则有?ln0faae?(严格来讲,还需补充两处变化趋 势的说明:当x?时,? ?f x ?;当x?时,? ?f x ?) (2)由所证结论知这是? ?f x的极值点偏移问题,选取函数? ?f x来做下面按对称化 构造的三个步骤来写,其中 0 lnxa? 由(1)知? ?f x在? 0 ,x?上单减,在? 0, x ?上单增,可设 102 xxx?; 构造函数? ? ? 0 2F xf xfxx?,则 ? ? ? 0 2 0 22 xxx F xfxfxxeea ? ?, 当 0 xx?时 , 有? ? 0 2 220 xxx Fxe ea ? ?, 则 ? ?F x 在? 0 ,
3、x?上 单 增 , 得 ? ? 0 0F xF x?,即? ? 00 2f xfxxxx?; 将 1 x代入中不等式得? ? 1201 2f xf xfxx?,又 20 xx?, 010 2xxx?, ? ?f x在? 0, x ?上单增,故 201 2xxx?, 120 2xxx? (3) 由所证结论可以看出, 这已不再是? ?f x的极值点偏移问题 谁的极值点会是1x ? 呢?回到题设条件:? ?0 x xx e f xeaxeaxa x ?,记函数? ? x e g x x ?,则有 ? ? 12 g xg xa?求导得? ? ? 2 1 x ex gx x ? ?,则1x ?是 ? ?
4、g x的极小值点,我们选取函 . 数? ?g x来证(3)中结论 12 2xx?,也可证(4)中结论 1 2 1x x ? ? ?g x在?,0?上单减,在?0,1上单减,在?1,?上单增;? ?g x的符号与x的符 号相同;当x?时,? ?0g x ?;当0x ? ?时,? ?g x ?;当0x ? ?时, ? ?g x ?;当x?时,? ?g x ? ?g x的图象如下(由图象亦可得ae? ) , 由? ? 12 g xg xa?可设 12 01xx? ?; x y y=a e 1 x2x1 O 构造函数? ? ?2G xg xgx?,则 ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2222 11
5、 21 22 xx xx exexee G xgxgxx xx xx ? ? ? ? ? ? ? ? , 当01x?时,10x? ?,但因式 ? 2 22 2 xx ee x x ? ? ? 的符号不容易看出,引进辅助函数 ? ? 2 x e x x ?, 则? ? ? 3 2 x ex x x ? ? ?, 得 ? ?x? 在?0,2上单减, 当?0,1x?时,?21,2x? ?, 即022xx?,则? ?2xx?,即 ? 2 22 0 2 xx ee x x ? ? ? ,? ?0G x?,得? ?G x在 ?0,1上单减,有? ? ?10G xG? ,即? ?201g xgxx?; 将
6、1 x代入中不等式得? ? 121 2g xg xgx?, 又 2 1x ?, 1 21x?,? ?g x在 ?1,?上单增,故 21 2xx?, 12 2xx? . (4)同上; 构造函数? ? ? 1 G xg xg x ? ? ? ? ,则 ? ? ? ? ? 1 1 22222 1 1 1 1111 1 x x x x xexe e ex x G xgxg xxxxx x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 当01x?时 ,10x? ?, 但 因 式 1 x x exe?的 符 号 不 容 易 看 出 , 引 进 辅 助 函 数 ? ? 1 x x xexe?, 则?
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