极值点偏移(老师版).docx
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- 极值 偏移 老师 下载 _考试试卷_数学_高中
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1、. 一、极值点偏移的含义一、极值点偏移的含义 众所周知,函数)(xf满足定义域内任意自变量x都有)2()(xmfxf?,则函数)(xf关于 直线mx?对称;可以理解为函数)(xf在对称轴两侧,函数值变化快慢相同,且若)(xf为单 峰函数,则mx?必为)(xf的极值点. 如二次函数)(xf的顶点就是极值点 0 x,若cxf?)(的两 根的中点为 2 21 xx ? ,则刚好有 0 21 2 x xx ? ? ,即极值点在两根的正中间,也就是极值点没有偏 移. 若相等变为不等,则为极值点偏移:若单峰函数)(xf的极值点为m,且函数)(xf满足定 义域内mx?左侧的任意自变量x都有)2()(xmfx
2、f?或)2()(xmfxf?,则函数)(xf极值 点m左右侧变化快慢不同. 故单峰函数)(xf定义域内任意不同的实数 21,x x满足)()( 21 xfxf?, 则 2 21 xx ? 与极值点m必有确定的大小关系: 若 2 21 xx m ? ?,则称为极值点左偏左偏;若 2 21 xx m ? ?,则称为极值点右偏右偏.来源:学_科_网 Z_X_X_K 如函数 x e x xg?)(的极值点1 0 ?x刚好在方程cxg?)(的两根中点 2 21 xx ? 的左边,我们称之为极 值点左偏. . 二、极值点偏移问题的一般题设形式:二、极值点偏移问题的一般题设形式: 1. 若函数)(xf存在两
3、个零点 21,x x且 21 xx ?, 求证: 021 2xxx?( 0 x为函数)(xf的极值点) ; 2. 若函数)(xf中存在 21,x x且 21 xx ?满足)()( 21 xfxf?, 求证: 021 2xxx?( 0 x为函数)(xf的 极值点); 3. 若函数)(xf存在两个零点 21,x x且 21 xx ?,令 2 21 0 xx x ? ?,求证:0)( 0 ?xf; 4. 若函数)(xf中存在 21,x x且 21 xx ?满足)()( 21 xfxf?,令 2 21 0 xx x ? ?,求证:0)( 0 ?xf. 三、问题初现,形神合聚三、问题初现,形神合聚 函数
4、 x aexxxf?12)( 2 有两极值点 21,x x,且 21 xx ?. 证明:4 21 ? xx. 所以)2()2(xhxh?, . 所以)4()2(2)2(2)()( 22221 xhxhxhxhxh?, 因为2 1? x,24 2 ? x,)(xh在)2 ,(?上单调递减 所以 21 4xx?,即4 21 ? xx. 已知函数xxfln)(?的图象 1 C与函数)0( 2 1 )( 2 ?abxaxxg的图象 2 C交于QP,, 过PQ的中 点R作x轴的垂线分别交 1 C, 2 C于点NM,, 问是否存在点R, 使 1 C在M处的切线与 2 C在N处 的切线平行?若存在,求出R的
5、横坐标;若不存在,请说明理由. 四、招式演练四、招式演练 过点 作曲线 的切线 (1)求切线 的方程; (2) 若直线 与曲线 交于不同的两点 , , 求证: 【答案】(1) (2)见解析 【解析】 试题分析:(1) 先根据导数几何意义求切线斜率 , 再根据点斜式求切线方程 . 因为 ,不妨设 , 设 ,则 , 当 时, , 在 单调递增, 来源:学*科*网 Z*X*X*K 所以 ,所以当 时, 因为 ,所以 , 从而 , 因为 , 在 单调递减, 所以 , 即 极值点偏移问题在近几年高考及各种模考,作为热点以压轴题的形式给出,很多学生对待 此类问题经常是束手无策,而且此类问题变化多样,有些题
6、型是不含参数的,而更多的题型又 是含有参数的. 其实,此类问题处理的手段有很多,方法也就有很多,下面我们来逐一探索! 来源:Z。xx。k.Com 来源:学,科,网 来源:163文库 . 一、极值点偏移的判定定理一、极值点偏移的判定定理 对于可导函数)(xfy ?,在区间),(ba上只有一个极大(小)值点 0 x,方程0)(?xf的解分 别为 21,x x,且bxxa? 21 , (1)若)2()( 201 xxfxf?,则 0 21 )( 2 x xx ? ? ,即函数)(xfy ?在区间),( 21 xx上极(小) 大值点 0 x右(左)偏; (2)若)2()( 201 xxfxf?,则 0
7、 21 )( 2 x xx ? ? ,即函数)(xfy ?在区间),( 21 xx上极(小) 大值点 0 x右(左)偏. 证明:(1)因为对于可导函数)(xfy ?,在区间),(ba上只有一个极大(小)值点 0 x,则 函数)(xf的单调递增(减)区间为),( 0 xa,单调递减(增)区间为),( 0 bx,由于bxxa? 21 , 有 01 xx ?,且 020 2xxx?,又)2()( 201 xxfxf?,故 201 2)(xxx?,所以 0 21 )( 2 x xx ? ? ,即 函数极(小)大值点 0 x右(左)偏; (2)证明略. 左左快右慢(极值点左偏快右慢(极值点左偏 2 21
8、 xx m ? ?) 左慢右快(极值点右偏左慢右快(极值点右偏 2 21 xx m ? ?) . 左快右慢(极值点左偏左快右慢(极值点左偏 2 21 xx m ? ?) 左慢右快(极值点右偏左慢右快(极值点右偏 2 21 xx m ? ?) 二、运用判定定理判定极值点偏移的方法二、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述: (1)求出函数)(xf的极值点 0 x; (2)构造一元差函数)()()( 00 xxfxxfxF?; (3)确定函数)(xF的单调性; (4)结合0)0(?F,判断)(xF的符号,从而确定)( 0 xxf?、)( 0 xxf?的大小关系. 口诀:极值偏离对称轴口诀:
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