4.含参数的极值点偏移问题.doc

1、. 4 4 含参数的极值点偏移问题含参数的极值点偏移问题 含参数的极值点偏移问题， 在原有的两个变元 12 ,x x的基础上， 又多了一个参数， 故思路很自然的就会想到： 想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的 函数.21m 例 1. 已知函数 x aexxf?)(有两个不同的零点 12 ,x x，求证：2 21 ? xx. 不 妨 设 12 xx?，记 12 txx?，则0,1 t te?， 因此只要证明： 1 2 1 t t e t e ? ? ? 0 1 ) 1(2 ? ? ? ? t t e e t， 再次换元令xtxetln, 1

2、?，即证), 1 (, 0 1 ) 1(2 ln? ? ? ?x x x x 构造新函数 2(1) ( )ln 1 x F xx x ? ? ? ，0) 1 (?F 求导 2 22 14(1) ( )0 (1)(1) x F x xxx x ? ? ? ，得)(xF在), 1 ( ?上递增， 所以0)(?xF，因此原不等式 12 2xx?获证. . 例 2. 已知函数( )lnf xxax?，a为常数，若函数( )f x有两个零点 12 ,x x，证明： 2 12 .x xe? 法二：利用参数a作为媒介，换元后构造新函数： 不妨设 12 xx?， 1122 ln0,ln0xaxxax?， 12

3、121212 lnln(),lnln()xxa xxxxa xx?， 12 12 lnlnxx a xx ? ? ? ，欲证明 2 1 2 x xe?，即证 12 lnln2xx?. 1212 lnln()xxa xx?，即证 12 2 a xx ? ? ， 原命题 等价于 证明 12 1212 lnln2xx xxxx ? ? ? ， 即证： 112 212 2() ln xxx xxx ? ? ? ， 令 1 2 , (1) x tt x ?， 构造 2(1) ln, 1 )1( t tg tt t ? ? ? ，此问题等价转化成为例 1 中思路 2 的解答，下略. 法三：直接换元构造新函

4、数： 1222 1211 lnlnln , ln xxxx a xxxx ?设 2 12 1 ,(1) x xx tt x ?， 则 11 21 11 lnlnln , lnln txtx xtxtt xx ? ? ?， 反解出： 1211 lnlnln ln,lnlnlnlnln 111 tttt xxtxtxt ttt ? ? ， 故 2 1212 1 lnln2ln2 1 t x xexxt t ? ? ? ，转化成法二，下同，略. . 例 3.已知 21,x x是函数axexf x ?)(的两个零点，且 21 xx ?. （1）求证：2 21 ? xx； （2）求证：1 21 ?xx.

5、 (2)要证：1 21 ?xx，即证：1 2 21 ? ? a ee xx ，等价于 2 12 )( 12 21 xx ee ee xx xx ? ? ?， 也即 2 12 2 )( 1 )( 12 21 xxee ee xx xx ? ? ? ? ，等价于 2 12 2 )( 1 ) 1( 12 12 xxe e xx xx ? ? ? ? ? ，令0 12 ?xxt 等价于)0( 1 ) 1( 22 ? ? t te e t t ，也等价于，等价于即证：01 2 ? t t eet 令)0( 1)( 2 ?teetth t t ，则) 2 1 ( 2 1 )( 2222 tt t tt e

6、 t eeeteth?， 又令)0( 2 1)( 2 ?te t t t ?，得0 22 1 )( 2 ? t e t t?，)(t?在), 0( ?单调递减， 0)0()(?t，从而0)(? ? t h，)(th在), 0( ?单调递减，0)0()(? hth，即证原不等式成立. 【点评】从消元的角度，消掉参数a，得到一个关于 21,x x的多元不等式证明，利用换元思想，将多元不等 . 式变成了一元不等式，并通过构造函数证明相应不等式. 例 4.已知函数( )(0) ax f xxea?，若存在 1212 ,()x x xx?，使 12 ( )()0f xf x?，求证： 1 2 x ae

7、x ?. 再证： 1 2 x ae x ?. 111 222 ln xaxax xaxx ?， 而 12 0xex?， 2 ln1x ? 11 22 ln1 xaxae ae xx ?.证毕. . 例 5：设函数( )() x f xeaxa aR?的图像与x轴交于 1212 ( ,0), (,0)()A xB xxx?两点， （1）证明：0)( 21 ?xxf； （2）求证： 1 212 x xxx?. （2）证明：由 1 2 1 2 (1) (1) x x ea x ea x ? ? ? ? ? ，易知 21 1xx?且ae?， 从而 1 12 2 1 2 1 1 x xx x xe e

8、ex ? ? ? ? ，令 12 1,1xx?，则 lnln 1e? ? ? ? ? ? ? ? ， 由于 1 212 1x xxx?，下面只要证明： 1 1,(01)? ? ? ? ?， 结合对数函数lnyx?的图像可知， 只需证： 11 ( ,ln),(,ln)? ? 两点连线的斜率要比( ,ln),( ,ln)?两 点连线的斜率小即可， 又因为 lnln 1k ? ? ? ? ? ，即证：， 令 1 ( )2ln0,(01)g? ? ?，则 2 22 12(1) ( )10g ? ? ? ? ? ? ? ?， ( )g?在(0,1)上单调递减，( )(1)0gg?， . 原不等式 1 2

9、12 x xxx?成立. 例 6：设函数 2 ( )lnf xax bx?，其图像在点(2,(2)Pf处切线的斜率为3?. 当2a ?时，令( )( )g xf xkx?，设 1212 ,()x x xx?是方程( )0g x ?的两个根， 0 x是 12 ,x x的等差中项，求证： 0 ()0g x?( )g x?为函数( )g x的导函数）. 设 函 数 2 1 ( )2 ln(0)f xa xaax a x ?，函数( )fx?为( )f x的导函数，且 1122 ( , ( ), (, ()A x f xB xf x是( )f x的 图像上不同的两点，满足 12 ( )()0f xf

10、x?，线段AB中点的横坐标为 0 x，证明： 0 1.ax ? 【解析】 12 012 12 1 2 xx axxx aa ? ? ?，又依题意 2 1 ( )()0fxa x ?， 得( )f x在定义域上单调递增，所以要证 0 1ax ?，只需证 212 2 ()()()f xf xfx a ?， 即 22 2 ()()0fxf x a ? 不妨设 12 xx?，注意到 1 ( )0f a ?，由函数单调性知，有 12 11 ,xx aa ?， 构造函数 2 ( )()( )F xfxf x a ?，则 3 22 24(1) ( )( )() (2) ax F xfxfx axax ?

11、? ? ? ， 当 1 x a ?时，( )0F x?，即( )F x单调递减，当 1 x a ?时， 1 ( )( )0F xF a ?，从而不等式式成立，故原 不等式成立. . 例 7：已知函数)(ln 1 )(Rax x axf?. （1）若2?a，求函数)(xf在), 1 ( 2 e上的零点个数； （2）若)(xf有两零点 21,x x（ 21 xx ?），求证：132 1 21 ? ?a exx. 【点评】1.方程的变形方向： 21,x x是函数)(xf的两个零点，1 是该函数的极值点. 21,x x是函数)(xh 的两个零点， 1?a e是该函数的极值点.www.21-cn- 2.

12、难点13 1 21 ? ?a exx的证明依赖利用2 21 ? xx放缩. . 例 8：已知函数 . （）讨论的单调性； （）设，证明：当时， ； （）设是的两个零点，证明 . 【答案】（）在上单调递减，在上单调递增；（）当时，；（） 证明过程见解析 （ ） 令 ，则 . 求导数，得 ， 当时，在上是减函数. 而， ， 故当时， （）由（）可知，当时，函数至多有一个零点， 故，从而的最小值为，且， 不妨设，则， ， 由（）得 ， 从而，于是， . 由（）知， . 点晴:本题考查函数导数的单调性.不等式比较大小，函数的零点问题：在（）中通过求导，并判断导数 的符号，分别讨论的取值，确定函数的单调

13、区间（）通过构造函数，把不等式证 明问题转化为函数求最值问题，求函数当时的最大值小于零即可 （）要充分利用（） （） 问的结论.21 教育网 例 9：已知函数? ? 2 1 4ln 2 f xxmx?（0m ?）. （）若1m ?，求函数? ?f x的单调递增区间； （）若函数? ? ? ?4g xf xmx?，对于曲线? ?yg x?上的两个不同的点? 11 ,M x g x， ? 22 ,N xg x，记直线MN的斜率为k，若? 0 kg x ? ? ， 证明： 120 2xxx?. 【答案】（1）?0,2（2）见解析 . 由 题 设 得 ? ? ? 12 0 12 g xg x gx x

14、x ? ? ? ? ? 12 12 4 lnlnxx xx ? ? ? ? ? 12 1 4 2 m xxm?. 又 12 12 8 2 xx gm xx ? ? ? ? ? ? ? ? 12 4 2 xx m ? ?， ? 12 0 2 xx gxg ? ? ? ? ? ? ? ? 12 1212 4 lnln8xx xxxx ? ? ? ? ? 21 21 2121 24 lnln xx xx xxxx ? ? ? ? ? . 不妨设 12 0xx?， 2 1 x t x ?，则1t ?，则 ?21 ln 1 t t t ? ? ? (1)t ?. 令? ? ?21 ln 1 t h tt t ? ? ? (1)t ?，则，所以? ?h t在?1,?上单调递增，所以 ? ? ?10h th?， . 故. 又因为 21 0xx?，因此? 12 0 0 2 xx gxg ? ? ? ? ?，即 ? 12 0 2 xx ggx ? ? ? ? ? ? ?. 又由? ? 4 4gxmxm x ?知? ?g x?在?0,?上单调递减， 所以 12 0 2 xx x ? ?，即 120 2xxx?.