2.极值点偏移问题的不等式解法.doc

1、. 极值点偏移问题的不等式解法 我们熟知平均值不等式：, a bR? 22 2 11 22 abab ab ab ? ? ? 即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值” 等号成立的条件是a b? . 我们还可以引入另一个平均值：对数平均值： lnln ab ab ? ? 那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式 ,? ?ab ab， lnln2 abab ab ab ? ? 以下简单给出证明： 不妨设ab?，设abx?，则原不等式变为： 2(1)1 1,ln 1 xx xx xx ? ? ? ? 以下只要证明上述函数不等式即可. 以下我们来看看对数不

2、等式的作用. 题目题目 1： （2015 长春四模题）已知函数( ) x f xeax?有两个零点 12 xx?，则下列说法错误的是 A. ae? B. 12 2xx? C. 1 2 1x x ? D.有极小值点 0 x，且 120 2xxx? 【答案】C 【解析】函数( )f x导函数： ( ) x fxea? 有极值点lnxa?，而极值(ln )ln0faaaa?，ae? ?，A 正确. ( )f x有两个零点： 1 1 0 x eax?， 2 2 0 x eax?，即： 11 lnlnxax? 22 lnlnxax? -得： . 1212 lnlnxxxx? 根据对数平均值不等式： 12

3、12 12 12 1 2lnln xxxx x x xx ? ? ? ? 12 2xx?，而 1 2 1x x?， 1 2 1x x? B 正确，C 错误 而+得： 121 2 2lnln2lnxxax xa?，即 D 成立. 题目题目 2： （2011 辽宁理）已知函数? ? 2 ln(2)f xxaxa x?. 若函数? ?yf x?的图像与x轴交于,A B两点，线段AB中点的横坐标为 0 x，证明：? ? 0 0fx? 【解析】原题目有 3 问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去 证明第三问： 设 11 ( , ()A x f x， 22 (, ()B xf x，

4、 12 xx?，则 12 0 2 ? ? xx x， 2 111 ln(2)0xaxa x? 2 222 ln(2)0xaxa x? -得： 12121212 lnln()()(2)()0xxa xxxxa xx?，化简得： 12 1212 1 0 ()(2)lnln xx a xxaxx ? ? ? 而根据对数平均值不等式： 1212 12 lnln2 xxxx xx ? ? ? 等式代换到上述不等式 12 0 120 11 ()(2)22(2) xx x a xxaaxa ? ? ? 根据： 00 2(2)0axa x?（由得出）式变为： 2 0000 2(2)10(21)(1)0axa

5、xxax? ? 0 (21)0x ?， 0 1 x a ?， 0 x在函数单减区间中，即： 0 ()0fx? . 题目题目 3：(2010 天津理)已知函数? ? x f xxe? ?xR?.如果 12 xx?，且? ? 12 f xf x?. 证明： 12 2xx?. 【解析】原题目有 3 问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去 证明第三问： 设 12 ()()f xf xc?，则 1 1 x x c e ?， 2 2 x x c e ?， 12 ()xx?两边取对数 11 lnlnxxc? 22 lnlnxxc? -得： 12 12 1 lnln xx xx ? ?

6、 ? 根据对数平均值不等式 1212 12 1 2lnln xxxx xx ? ? ? 12 2xx? 题目题目 4： （2014 江苏南通市二模）设函数? ? x f xeaxa? ?aR?，其图象与x轴交于 ? ? 12 ,0,0A xB x两点，且 12 xx?. 证明： ? 12 0fx x?（? ?fx?为函数? ?f x的导函数）. 【解析】根据题意： 1 1 0 x eaxa?， 2 2 0 x eaxa?移项取对数得： 11 ln(1)lnxxa? 22 ln(1)lnxxa? -得： 1212 ln(1)ln(1)xxxx?，即： 12 12 (1)(1) 1 ln(1)ln

7、(1) xx xx ? ? ? 根据对数平均值不等式： . 12 12 12 (1)(1) (1)(1)1 ln(1)ln(1) xx xx xx ? ? ? 1212 (1)(1)1ln(1)(1)0xxxx? ?，+得： 1212 2lnln(1)(1)2lnxxaxxa? 根据均值不等式： 12 12 ln 2 xx x xa ? ? 函数( )f x在(,ln )a?单调递减 12 ()0fx x? 题目题目 5：已知函数( )lnf xxx?与直线ym?交于 1122 ( ,), (,)A x yB x y两点. 求证： 12 2 1 0x x e ? 【解析】由 11 ln?xxm

8、， 22 ln?xxm，可得： 1 1 ln m x x ?， 2 2 ln m x x ? -得： 2112 12 121212 lnln () lnlnlnlnlnln ? ? ? xxxxm xxm xxxxxx +得： 21 12 12 (lnln) lnln mxx xx xx ? ? 根据对数平均值不等式 12 12 12 () 2lnln ? ? ? xxm xx xx 利用式可得： 12 1212 (lnln) 2lnlnlnln mxxm xxxx ? ? 由题于ym?与lnyxx?交于不同两点，易得出则0m ? 上式简化为: . 2 12 ln()2lnx xe? ? 12 2 1 0?x x e