3.极值点偏移类问题的另解.doc

1、. 设函数? ?lnf xxx?，已知? ? 12 f xf x?且 12 xx?.（辽宁 陈羽老师供题） 求证：（1）? ? 121 1xxf x?； （2）? ? 121 1xxe f x? ?. 证明：不妨令 12 xx? （1）易得 12 (0,1)xx ?、，且? ?1,0,1f xxx? 则有? ? 12111 1 11xxxxf x? ? ?. （2）易得? ? ? 1 ,0, 111 ,1 11 x x e f xg x xx eee ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则有? ? ? ? ? 12111 111xxef xf xe f x? ? ? ?. （无锡

2、王举） 函数? ?lnf xxaxb?，若? ?0f x ?有两个互异实数根 12 xx、，且 12 xx?. 求证： 1 12 2 1 b e xx aa ? ?. 证明：原命题等价于 12 1lnlnln2lnbaxxa? ?; 设 1122 lnlnxtxt?、，则有 12 12 tt xexe?、; 设? ?(,0) t h ttaeb tR a? ?，令? ?0h t ?，可得lnta? ?. 左边：构造函数? ? 1 ln1 F ttb ta ? ? ? ; 易证当?, lnta? ? ?时，? ? ?h tF t?; 当?ln , ln1taa? ?时，? ? ?h tF t?（

3、证明过程略）; 令? ?0F t ?两根为 34 tt?，则有 3142 tttt?; 则 1234 1 lnttttab? ?; 左边得证. . 右边：令? ?0h t ?，可得lnta? ?，? ? t htae?，?ln1ha?; 构造函数? ? 22 11 lnlnln1 22 M tta taab? ? ? ?; 易证当?, lnta? ? ?时，? ? ?h tM t?; 当?ln ,ta? ?时，? ? ?h tM t?（证明过程略）; 令? ?0M t ?两根为 56 tt?，则有 1526 tttt?; 则 1256 2lntttta? ?; 右边得证. 综上，原命题得证.

4、（无锡 王举） （中学数学解题交流群 南昌 李阳老师供题） 若? ?0 ax f xxea?存在两个零点? 1212 ,x xxx?，求证： 12 lnlnln1xxa? 证明：? ? ln 0 ax x f xxea x ?， 由于有两个零点? 1212 ,x xxx?，易得 1 0,a e ? ? ? ? ，且 12 1xex? 设? ? lnx g x x ?，则方程? ?g xa?的两根为? 1212 ,1x xxex? ? 构造? ? ? ? ? 11 ,1, 11 1 , xxe e ee e h x xe x ? ? ? ? ? ? ? ? ? 易得? ? ?g xh x?对任意? ?1,xee?恒成立（证明过程略） 设? ?h xa?的两根为? 3434 ,x xxx?，则有 4 132 1xxexx? ? 则有 31 24 xx ea xx ?，即 12 lnlnln1xxa? （无锡 王举）