3.不含参数的极值点偏移问题.doc

1、. 3 3 不含参数的极值点偏移问题不含参数的极值点偏移问题 函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多 元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等 式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数. 例 1：已知函数( )() x f xxexR ? ? ，如果 12 xx?，且 12 ( )()f xf x?. 证明： 12 2.xx? 构造函数( )(1)(1),(0,1F xfxfx x?， 则0) 1()1 ( )1 ( )( 2 1 ? ? x x e e x xfxfxF，

2、所以( )F x在(0,1x?上单调递增，( )(0)0F xF?， 也即(1)(1)fxfx?对(0,1x?恒成立. 由 12 01xx? ?，则 1 1(0,1x?， 所以 11112 (1 (1)(2)(1 (1)( )()fxfxfxf xf x?， 即 12 (2)()fxf x?，又因为 12 2,(1,)x x?，且( )f x在(1,)?上单调递减， 所以 12 2xx?，即证 12 2.xx? . 法法 2 2：由 12 ( )()f xf x?，得 12 12 xx xex e ? ?，化简得 21 2 1 xx x e x ? ?， 不妨设 21 xx?，由法一知， 12

3、 01xx? ?. 令 21 txx?，则 21 0,txtx? ?，代入式，得 1 1 t tx e x ? ?， 反解出 1 1 t t x e ? ? ， 则 121 2 2 1 t t xxxtt e ? ? ? ，故要证 12 2xx?， 即证 2 2 1 t t t e ? ? ? ， 又因为10 t e ? ?，等价于证明：2(2)(1)0 t tte?， 构造函数( )2(2)(1),(0) t G tttet?，则( )(1)1,( )0 tt G tteG tte?， 故( )G t?在(0,)t?上单调递增，( )(0)0G tG?， 从而( )G t也在(0,)t?上单

4、调递增，( )(0)0G tG?， 即证：式成立，也即原不等式即证：式成立，也即原不等式 X1+X2X1+X22 2 成立成立 . 2.已知函数( )ln , ( ) x f xxx g xx e? （1）记( )( )( )F xf xg x?，求证：函数( )F x在区间(1,)?内有且仅有一个零点； （2）用min , a b表示, a b中的最小值，设函数( )min ( ), ( )h xf x g x?，若关于x的方程( )h xc?（其中c为 常数）在区间(1,)?有两个不相等的实根 1212 ,()x x xx?，记( )F x在(1,)?内的零点为 0 x，试证明： 12 0

5、 2 xx x ? ? . 例 3：已知函数 2 ( )lnf xxxx?，正实数 12 ,x x满足 121 2 ( )()0f xf xx x?. 证明： 12 51 2 xx ? ?. 【解析】由 121 2 ( )()0f xf xx x?，得 22 1112221 2 lnln0xxxxxxx x? 从而 2 12121 21 2 ()()ln()xxxxx xx x?， 令 12 tx x?，构造函数( )lnttt? ?， 得 11 ( )1 t t tt ? ? ? ?，可知( ) t?在(0,1)上单调递减，在(1,)?上单调递增， 所以( )(1)1t?，也即 2 1212 ()()1xxxx?， 解得： 12 51 2 xx ? ?. . 例 4：已知函数? ?lnf xxx? （）求函数? ?f x的单调区间； （）若方程? ?f xm? (2)m ? ?有两个相异实根 1 x， 2 x，且 12 xx?，证明： 2 1 2 2x x?. 【答案】（）? ?yf x?在 (0,1)递增， ? ?yf x?在(1,+ )?递减；（）见解析 （2）由(1)可设 的两个相异实根分别为，满足 且， 由题意可知 又有(1)可知在递减 故 所以，令 .