2.极值点偏移判定定理应用.doc

1、. 2 2 极值点偏移判定定理应用极值点偏移判定定理应用 例 1：已知函数)()(Rxxexf x ? ? . (1)求函数)(xf的单调区间和极值； (2)若 21 xx ?，且)()( 21 xfxf?，证明：2 21 ? xx. 1 2 ?x，12 2 ? x，)(xf在) 1 ,(?上单调递增， 21 2xx?，2 21 ? xx. . 例 2：函数 34 3 4 )(xxxf?与直线) 3 1 (?aay交于),( 1 axA、),( 2 axB两点. 证明：2 21 ? xx. . 例 3：已知函数 2 ( )lnf xx x ?，若 1 x? 2 x，且)()( 21 xfxf?

2、，证明：4 21 ? xx. 【解析】由函数 2 ( )lnf xx x ?单调性可知：若)()( 21 xfxf?，则必有 21 2xx?，。 所以24 1? ? x， 而)4ln( 4 2 ln 2 )4()( 1 1 1 1 11 x x x x xfxf? ? ?， 令)4ln(ln 4 22 )(xx xx xh? ? ?，则 0 )4( )2(8 )4( )4()4(2)4(2 4 11 )4( 22 )( 22 2 22 2222 22 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? xx x xx xxxxxx xxxx xh 所以函数)(xh在)2 , 0(为减函数，所以0)2(

3、)(? hxh， 所以0)4()( 11 ?xfxf即)4()( 11 xfxf?，所以)4()( 22 xfxf?，所以4 21 ? xx. . 例 4： 已知函数? ? 2 2 x a g xex?， 其中,2.71828aR e?为自然对数的底数，? ?f x是? ?g x的导函数. （）求? ?f x的极值； （）若1a ? ?，证明：当 12 xx?，且? ? 12 f xf x?时， 12 0xx?. 【答案】(1) 当0a ?时， ? ?f x无极值; 当0a ?时, ? ?f x有极小值?lnlnfaaaa? ? ?;(2) 详见解析. 【解析】试题分析：（）求出函数的导数，解

4、关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函 数的极值即可；21 教育网 （）求出函数 f（x）的导数，设函数 F（x）=f（x）f（x），求出函数的导数，根据函数的单调性 证明即可 试题解析： （）? ? ? x f xg xeax?的定义域为?,? ?， ? ? x fxea? 当0a ?时， ? ?0fx?在?,x? ? ?时成立 ? ?f x? 在?,? ?上单调递增， ? ?f x无极值. 当0a ?时， ? ?0 x fxea?解得?lnxa? 由? ?0fx? 得?lnxa?；由? ?0fx? 得?lnxa? 所以? ?f x在?,lna?上单调递减，在?ln,a?上单调递

5、增， 故? ?f x有极小值?lnlnfaaaa? ? ?. （）当1a ? ?时， ? ? x f xex?的定义域为?,? ?， ? ?1 x fxe?， 由? ?10 x fxe? ?，解得0x ?.当x变化时， ? ?fx?， ? ?f x变化情况如下表： x ?,0? 0 ?0,? ? ?fx ? ? 0 + ? ?f x 单调递减 极小值 单调递增 12 xx?，且? ? 12 f xf x?，则 12 0xx?（不妨设 12 xx?） . . 例 5：已知函数? ? 2 lnf xxax?，其中aR? （1）若函数? ?f x有两个零点，求a的取值范围； （2）若函数? ?f x

6、有极大值为 1 2 ?，且方程? ?f xm?的两根为 12 ,x x，且 12 xx?，证明： 12 4xxa?. 【答案】（1） 1 0 2 a e ?;（2）见解析. （1）当0a ?时， ? ?0fx?函数? ?f x在?0,?上单调递增，不可能有两个零点 （2）当0a ?时， ? ? 1 0, 2 fxx a ? x 1 0, 2a ? ? ? ? 1 2a 1 , 2a ? ? ? ? ? ? ?fx ? ? 0 - ? ?f x 极大值 ? ?f x的极大值为 111 ln 222 f aa ? ? ? ? ? ，由 11 ln0 22a ? ? ? ? ? 得 1 0 2 a e ?； 因为 ? 22 ln0 aaaa f eeaeaae ? ? ? ?， 所以? ?f x在 1 , 2 a e a ? ? ? ? ? 必存在一个零点； 显然当x?时， ? ?0f x ?， 所以? ?f x在 1 , 2a ? ? ? ? ? 上必存在一个零点； .