1.4极值点偏移第二招--含参数的极值点偏移问题.doc

1、. 专题专题 1.4 1.4 极值点偏移第二招极值点偏移第二招-含参数的极值点偏移问题含参数的极值点偏移问题 含参数的极值点偏移问题， 在原有的两个变元 12 ,x x的基础上， 又多了一个参数， 故思路很自然的就会想到： 想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的 函数.21cnjycom 例 1. 已知函数 x aexxf?)(有两个不同的零点 12 ,x x，求证：2 21 ? xx. 不 妨 设 12 xx?，记 12 txx?，则0,1 t te?， 因此只要证明： 1 2 1 t t e t e ? ? ? 0 1 ) 1(2 ?

2、? ? ? t t e e t， 再次换元令xtxetln, 1?，即证), 1 (, 0 1 ) 1(2 ln? ? ? ?x x x x 构造新函数 2(1) ( )ln 1 x F xx x ? ? ? ，0) 1 (?F 求导 2 22 14(1) ( )0 (1)(1) x F x xxx x ? ? ? ，得)(xF在), 1 ( ?上递增， 所以0)(?xF，因此原不等式 12 2xx?获证. 例 2. 已知函数( )lnf xxax?，a为常数，若函数( )f x有两个零点 12 ,x x，证明： 2 12 .x xe? . 法二：利用参数a作为媒介，换元后构造新函数： 不妨设

3、 12 xx?， 1122 ln0,ln0xaxxax?， 12121212 lnln(),lnln()xxa xxxxa xx?， 12 12 lnlnxx a xx ? ? ? ，欲证明 2 1 2 x xe?，即证 12 lnln2xx?. 1212 lnln()xxa xx?，即证 12 2 a xx ? ? ， 原命题 等价于 证明 12 1212 lnln2xx xxxx ? ? ? ， 即证： 112 212 2() ln xxx xxx ? ? ? ， 令 1 2 , (1) x tt x ?， 构造 2(1) ln, 1 )1( t tg tt t ? ? ? ，此问题等价转

4、化成为例 1 中思路 2 的解答，下略. 法三：直接换元构造新函数： 1222 1211 lnlnln , ln xxxx a xxxx ?设 2 12 1 ,(1) x xx tt x ?， 则 11 21 11 lnlnln , lnln txtx xtxtt xx ? ? ?， 反解出： 1211 lnlnln ln,lnlnlnlnln 111 tttt xxtxtxt ttt ? ? ， 故 2 1212 1 lnln2ln2 1 t x xexxt t ? ? ? ，转化成法二，下同，略. 例 3.已知 21,x x是函数axexf x ?)(的两个零点，且 21 xx ?. （1

5、）求证：2 21 ? xx； （2）求证：1 21 ?xx. . (2)要证：1 21 ?xx，即证：1 2 21 ? ? a ee xx ，等价于 2 12 )( 12 21 xx ee ee xx xx ? ? ?， 也即 2 12 2 )( 1 )( 12 21 xxee ee xx xx ? ? ? ? ，等价于 2 12 2 )( 1 ) 1( 12 12 xxe e xx xx ? ? ? ? ? ，令0 12 ?xxt 等价于)0( 1 ) 1( 22 ? ? t te e t t ，也等价于，等价于即证：01 2 ? t t eet 令)0( 1)( 2 ?teetth t t

6、 ，则) 2 1 ( 2 1 )( 2222 tt t tt e t eeeteth?， 又令)0( 2 1)( 2 ?te t t t ?，得0 22 1 )( 2 ? t e t t?，)(t?在), 0( ?单调递减， 0)0()(?t，从而0)(? ? t h，)(th在), 0( ?单调递减，0)0()(? hth，即证原不等式成立. 【点评】从消元的角度，消掉参数a，得到一个关于 21,x x的多元不等式证明，利用换元思想，将多元不等 式变成了一元不等式，并通过构造函数证明相应不等式. 例 4.已知函数( )(0) ax f xxea?，若存在 1212 ,()x x xx?，使

7、12 ( )()0f xf x?，求证： 1 2 x ae x ?. . 再证： 1 2 x ae x ?. 111 222 ln xaxax xaxx ?， 而 12 0xex?， 2 ln1x ? 11 22 ln1 xaxae ae xx ?.证毕. 【招式演练】【招式演练】 设函数( )() x f xeaxa aR?的图像与x轴交于 1212 ( ,0), (,0)()A xB xxx?两点， （1）证明：0)( 21 ?xxf； （2）求证： 1 212 x xxx?. . （2）证明：由 1 2 1 2 (1) (1) x x ea x ea x ? ? ? ? ? ，易知 21

8、 1xx?且ae?， 从而 1 12 2 1 2 1 1 x xx x xe e ex ? ? ? ? ，令 12 1,1xx?，则 lnln 1e? ? ? ? ? ? ? ? ， 由于 1 212 1x xxx?，下面只要证明： 1 1,(01)? ? ? ? ?， 结合对数函数lnyx?的图像可知， 只需证： 11 ( ,ln),(,ln)? ? 两点连线的斜率要比( ,ln),( ,ln)?两 点连线的斜率小即可， 又因为 lnln 1k ? ? ? ? ? ，即证：， 令 1 ( )2ln0,(01)g? ? ?，则 2 22 12(1) ( )10g ? ? ? ? ? ? ? ?

9、， ( )g?在(0,1)上单调递减，( )(1)0gg?， 原不等式 1 212 x xxx?成立. 设函数 2 ( )lnf xax bx?，其图像在点(2,(2)Pf处切线的斜率为3?. 当2a ?时，令( )( )g xf xkx?，设 1212 ,()x x xx?是方程( )0g x ?的两个根， 0 x是 12 ,x x的等差中项，求证： 0 ()0g x?( )g x?为函数( )g x的导函数）. . 设 函 数 2 1 ( )2 ln(0)f xa xaax a x ?，函数( )fx?为( )f x的导函数，且 1122 ( , ( ), (, ()A x f xB xf

10、 x是( )f x的 图像上不同的两点，满足 12 ( )()0f xf x?，线段AB中点的横坐标为 0 x，证明： 0 1.ax ? 【解析】 12 012 12 1 2 xx axxx aa ? ? ?，又依题意 2 1 ( )()0fxa x ?， 得( )f x在定义域上单调递增，所以要证 0 1ax ?，只需证 212 2 ()()()f xf xfx a ?， 即 22 2 ()()0fxf x a ? 不妨设 12 xx?，注意到 1 ( )0f a ?，由函数单调性知，有 12 11 ,xx aa ?， 构造函数 2 ( )()( )F xfxf x a ?，则 3 22

11、24(1) ( )( )() (2) ax F xfxfx axax ? ? ? ? ， 当 1 x a ?时，( )0F x?，即( )F x单调递减，当 1 x a ?时， 1 ( )( )0F xF a ?，从而不等式式成立，故原 不等式成立. 已知函数)(ln 1 )(Rax x axf?. （1）若2?a，求函数)(xf在), 1 ( 2 e上的零点个数； （2）若)(xf有两零点 21,x x（ 21 xx ?），求证：132 1 21 ? ?a exx. . 【点评】1.方程的变形方向： 21,x x是函数)(xf的两个零点，1 是该函数的极值点. 21,x x是函数)(xh 的

12、两个零点， 1?a e是该函数的极值点.www.21-cn- 2.难点13 1 21 ? ?a exx的证明依赖利用2 21 ? xx放缩. 已知函数 . （）讨论的单调性； （）设，证明：当时， ； （）设是的两个零点，证明 . 【答案】（）在上单调递减，在上单调递增；（）当时，；（） 证明过程见解析 . （ ） 令 ，则 . 求导数，得 ， 当时，在上是减函数. 而， ， 故当时， （）由（）可知，当时，函数至多有一个零点， 故，从而的最小值为，且， 不妨设，则， ， 由（）得 ， 从而，于是， 由（）知， . 点晴:本题考查函数导数的单调性.不等式比较大小，函数的零点问题：在（）中通过求

13、导，并判断导数 的符号，分别讨论的取值，确定函数的单调区间（）通过构造函数，把不等式证 明问题转化为函数求最值问题，求函数当时的最大值小于零即可 （）要充分利用（） （） 问的结论.21 教育网 已知函数? ? 2 1 4ln 2 f xxmx?（0m ?）. （）若1m ?，求函数? ?f x的单调递增区间； . （）若函数? ? ? ?4g xf xmx?，对于曲线? ?yg x?上的两个不同的点? 11 ,M x g x， ? 22 ,N xg x，记直线MN的斜率为k，若? 0 kg x ? ? ， 证明： 120 2xxx?. 【答案】（1）?0,2（2）见解析 由 题 设 得 ?

14、? ? 12 0 12 g xg x gx xx ? ? ? ? ? 12 12 4 lnlnxx xx ? ? ? ? ? 12 1 4 2 m xxm?. 又 12 12 8 2 xx gm xx ? ? ? ? ? ? ? ? 12 4 2 xx m ? ?， ? 12 0 2 xx gxg ? ? ? ? ? ? ? ? 12 1212 4 lnln8xx xxxx ? ? ? ? ? 21 21 2121 24 lnln xx xx xxxx ? ? ? ? ? . . 不妨设 12 0xx?， 2 1 x t x ?，则1t ?，则 ?21 ln 1 t t t ? ? ? (1)

15、t ?. 令? ? ?21 ln 1 t h tt t ? ? ? (1)t ?，则，所以? ?h t在?1,?上单调递增，所以 ? ? ?10h th?， 故. 又因为 21 0xx?，因此? 12 0 0 2 xx gxg ? ? ? ? ?，即 ? 12 0 2 xx ggx ? ? ? ? ? ? ?. 又由? ? 4 4gxmxm x ?知? ?g x?在?0,?上单调递减， 所以 12 0 2 xx x ? ?，即 120 2xxx?. 已知函数? ?1n(1)f xx?， 2 1 ( ) 2 g xxx? （）求过点?1,0?且与曲线? ?yf x?相切的直线方程； （）设? ?

16、 ? ?h xaf xg x?，其中a为非零实数，? ?yh x?有两个极值点 12 ,x x，且 12 xx?，求a的取 值范围； （）在（）的条件下，求证：? 21 20h xx? 【答案】（1）10xey? ?（2）见解析 . ? 0 00 ln11 11 x xx ? ? ? ，解得 0 1xe? ? 切线的斜率为 1 e ，切线方程为10xey? ? （）? ? ? ?h xaf xg x? ? 2 1 ln1 2 axxx? ? ? ? 2 1 1 11 xaa h xx xx ? ? ? ? ， 1x ? ? 当10a? ?时，即1a ?时， ? ?0h x?， ? ?h x在?

17、1,? ?上单调递增； 当01a?时，由? ?0h x?得， 1 1xa?， 2 1xa?，故? ?h x在? ? 1,1 a? ?上单调递增，在 ? 1, 1aa?上单调递减，在? ? 1,a?上单调递增； 当0a ?时，由? ?0h x?得， 0 1xa?， ? ?h x在? ? 1, 1aa?上单调递减，在? ? 1,a?上 单调递增 当01a?时， ? ?h x有两个极值点，即 1 1xa?， 2 1xa?，即a的范围是(0,1) . 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数? ? ? ?h xf xg x?.根据差函数导函数 符号，确定差函数单调性，利用单调性得不

18、等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一 般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元 函数.21 世纪教育网版权所有 已知函数? ?lnf xx?. （1）证明：当1x ?时， ? ? ? 21 10 x x f x ? ? ?； （2） 若函数? ? ? 2 g xf xxax? ?有两个零点 1 x， 2 x（ 12 xx?， 0a ?） ， 证明： 12 2 1 3 xx ga ? ? ? ? ? ?. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 试题解析： . （1）欲证 ? ? ? 21 10 x x f x ? ? ?证? ? ?21 ln0 1 x K xx x ? ? ? ， ， ? ?K x? 在?1,?上递增， ? ? ?10K xK? （2）1x ?， ?21 ln 1 x x x ? ? ? ， 令? ?12lns xxx? ? ?，易知? ?s x在?0,?递减， ? ?10s?， 01x?， ? ?0s x ?， ? ?h x ?， 1x ?， ? ?0s x ?， ? ?h x ?， ? ? ?1h xh?， 1x ?， ? ?0h x ?， 0x ?， ? ?h x ?， 要合题意，如图，01a?，10a?，右大于左，原题得证 .