1.1初识极值点偏移.doc

1、. 专题专题 1.1 1.1 初识极值点偏移初识极值点偏移 一、极值点偏移的含义一、极值点偏移的含义 众所周知，函数)(xf满足定义域内任意自变量x都有)2()(xmfxf?，则函数)(xf关于直线 mx?对称；可以理解为函数)(xf在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若)(xf为单峰函数，则mx? 必为)(xf的极值点. 如二次函数)(xf的顶点就是极值点 0 x，若cxf?)(的两根的中点为 2 21 xx ? ，则刚 好有 0 21 2 x xx ? ? ，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.21 教育网 若相等变为不等， 则为极值点偏移： 若单峰函数)(xf的极值点为m， 且

2、函数)(xf满足定义域内mx? 左侧的任意自变量x都有)2()(xmfxf?或)2()(xmfxf?，则函数)(xf极值点m左右侧变化快慢 不同. 故单峰函数)(xf定义域内任意不同的实数 21,x x满足)()( 21 xfxf?， 则 2 21 xx ? 与极值点m必有确 定的大小关系： 若 2 21 xx m ? ?，则称为极值点左偏左偏；若 2 21 xx m ? ?，则称为极值点右偏右偏. 如函数 x e x xg?)(的极值点1 0 ?x刚好在方程cxg?)(的两根中点 2 21 xx ? 的左边，我们称之为极值点左 偏. . . 二、极值点偏移问题的一般题设形式：二、极值点偏移问

3、题的一般题设形式： 1. 若函数)(xf存在两个零点 21,x x且 21 xx ?，求证： 021 2xxx?（ 0 x为函数)(xf的极值点）； 2. 若函数)(xf中存在 21,x x且 21 xx ?满足)()( 21 xfxf?，求证： 021 2xxx?（ 0 x为函数)(xf的极 值点）； 3. 若函数)(xf存在两个零点 21,x x且 21 xx ?，令 2 21 0 xx x ? ?，求证：0)( 0 ?xf； 4. 若函数)(xf中存在 21,x x且 21 xx ?满足)()( 21 xfxf?，令 2 21 0 xx x ? ?，求证：0)( 0 ?xf. 三、问题初

4、现，形神合聚三、问题初现，形神合聚 函数 x aexxxf?12)( 2 有两极值点 21,x x，且 21 xx ?. 证明：4 21 ? xx. 所以)2()2(xhxh?， 所以)4()2(2)2(2)()( 22221 xhxhxhxhxh?， 因为2 1? x，24 2 ? x，)(xh在)2 ,(?上单调递减 所以 21 4xx?，即4 21 ? xx. 已知函数xxfln)(?的图象 1 C与函数)0( 2 1 )( 2 ?abxaxxg的图象 2 C交于QP,，过PQ的中点R 作x轴的垂线分别交 1 C， 2 C于点NM,， 问是否存在点R， 使 1 C在M处的切线与 2 C在

5、N处的切线平行？ . 若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由. 四、招式演练四、招式演练 过点作曲线的切线 （1）求切线的方程； （2）若直线与曲线交于不同的两点，求证： 【答案】（1）（2）见解析 【解析】 试题分析：（1）先根据导数几何意义求切线斜率，再根据点斜式求切线方程 . 因为，不 妨设， 设，则， 当时，在单调递增， 所以，所以当时， 因为，所以， 从而，因为，在单调递减，所以，即 极值点偏移问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经 常是束手无策，而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的. 其实， 此类问题处理的手段有很多，方法也就有很多，下面我们来逐一探索！21 世纪教育网版权所有