《极值点偏移问题的处理策略及探究》.doc

1、. 极值点偏移问题的处理策略及探究极值点偏移问题的处理策略及探究 所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得 函数图像没有对称性。若函数( )f x在 0 xx?处取得极值，且函数( )yf x?与直线yb?交 于 1 ( , )A x b, 2 (, )B x b两点，则AB的中点为 12 (, ) 2 xx Mb ? ，而往往 12 0 2 xx x ? ?.如下图所 示. 极值点没有偏移极值点没有偏移 此类问题在近几年高考及各种模考， 作为热点以压轴题的形式给出， 很多学生对待此类 问题经常是束手无策。而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多

2、的题型又是 含有参数的。 不含参数的如何解决？含参数的又该如何解决， 参数如何来处理？是否有更方 便的方法来解决？其实，处理的手段有很多，方法也就有很多，我们先来看看此类问题的基 本特征，再从几个典型问题来逐一探索！ 【问题特征】 【处理策略】 一、不含参数的问题. 例 1.（2010 天津理）已知函数( )() x f xxexR ? ? ，如果 12 xx?，且 12 ( )()f xf x? ， . 证明： 12 2.xx? 【解析】法一：( )(1) x fxx e?，易得( )f x在(,1)?上 单 调 递 增 ， 在(1,)?上 单 调 递 减 ，x?时 ， ( )f x ?，(

3、0)0f?，x?时，( )0f x ?， 函 数( )f x在1x ?处取得极大值(1)f， 且 1 ( 1 ) f e ?,如图所示. 由 1212 ( )(),f xf xxx?，不妨设 12 xx?，则必有 12 01xx? ?， 构造函数( )(1)(1),(0,1F xfxfx x?， 则 2 1 ( )(1)(1)(1)0 x x x F xfxfxe e ? ?，所以( )F x在(0,1x?上单调递增， ( )(0)0F xF?，也即(1)(1)fxfx?对(0,1x?恒成立. 由 12 01xx? ?，则 1 1(0,1x?， 所以 11112 (1 (1)(2)(1 (1)

4、( )()fxfxfxf xf x?，即 12 (2)()fxf x?， 又因为 12 2,(1,)x x?，且( )f x在(1,)?上单调递减， 所以 12 2xx?，即证 12 2.xx? 法二：欲证 12 2xx?，即证 21 2xx?，由法一知 12 01xx? ?，故 12 2,(1,)x x?， 又因为( )f x在(1,)?上单调递减，故只需证 21 ()(2)f xfx?，又因为 12 ( )()f xf x?， 故也即证 11 ( )(2)f xfx?，构造函数( )( )(2),(0,1)H xf xfx x?，则等价于证明 ( )0H x ?对(0,1)x?恒成立. 由

5、 22 1 ( )( )(2)(1)0 x x x H xfxfxe e ? ? ?，则( )H x在(0,1)x?上单调递增，所以 ( )(1)0H xH?，即已证明( )0H x ?对(0,1)x?恒成立，故原不等式 12 2xx?亦成立. 法三：由 12 ( )()f xf x?，得 12 12 xx xex e ? ?，化简得 21 2 1 xx x e x ? ?， 不妨设 21 xx?，由法一知， 12 1oxx? ?.令 21 txx?，则 21 0,txtx? ?，代入?式， . 得 1 1 t tx e x ? ?，反解出 1 1 t t x e ? ? ，则 121 2 2

6、 1 t t xxxtt e ? ? ? ，故要证： 12 2xx?， 即证： 2 2 1 t t t e ? ? ? ，又因为10 t e ? ?，等价于证明：2(2)(1)0 t tte?， 构造函数( )2(2)(1),(0) t G tttet?，则( )(1)1,( )0 tt G tteG tte?， 故( )G t?在(0,)t?上单调递增，( )(0)0G tG?， 从而( )G t也在(0,)t?上单调递 增，( )(0)0G tG?，即证?式成立，也即原不等式 12 2xx?成立. 法四：由法三中?式，两边同时取以e为底的对数，得 2 2121 1 lnlnln x xxx

7、x x ?，也即 21 21 lnln 1 xx xx ? ? ? ，从而 2 2121212 1212 2 212111 1 1 lnln ()lnln 1 x xxxxxxx xxxx x xxxxxx x ? ? ? ? ? ， 令 2 1 (1) x tt x ?，则欲证： 12 2xx?，等价于证明： 1ln 2 1 t t t ? ? ? ?， 构造 (1)ln2 ( )(1)ln ,(1) 11 tt M tt t tt ? ? ? ，则 2 2 1 2 ln ( ) (1) ttt M t t t ? ? ? ? ， 又令 2 ( )1 2 ln ,(1)tttt t? ?，

8、则() 22 ( l n1 ) 2 (1 l n )ttttt? ? ?， 由于1lntt? ? 对(1,)t? ?恒成立， 故( )0t?，( ) t?在(1,)t?上单调递增， 所以( )(1)0t?， 从 而( )0M t?， 故( )M t在(1,)t?上 单 调 递 增 ， 由 洛 比 塔 法 则 知 ： 1111 (1)ln(1)ln )1 lim( )limlimlim(ln)2 1(1) xxxx ttttt M tt ttt ? ? ? ? ，即证( )2M t ? ，即证 ?式成立，也即原不等式 12 2xx?成立. 【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单

9、变元不等式，方法一、二利 用构造新的函数来达到消元的目的，方法三、四则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都 换成新变元来表示，从而达到消元的目的. 二、含参数的问题. 例 2.已知函数 x aexxf?)(有两个不同的零点 12 ,x x，求证：2 21 ? xx. 【解析】思路 1：函数( )f x的两个零点，等价于方程 x xea ? ?的两个实根，从而这一问题 . 与例 1 完全等价，例 1 的四种方法全都可以用； 思路 2：也可以利用参数a这个媒介去构造出新的函数.解答如下： 因为函数( )f x有两个零点 12 ,x x， 所以 ? ? ? ? ? )2( ) 1 ( 2 1 2 1

10、 x x aex aex ， 由)2() 1 (?得：)( 21 21 xx eeaxx?， 要证明 12 2xx?，只要证明 12 ()2 xx a ee?， 由)2() 1 (?得： 12 12 () xx xxa ee?，即 12 12 xx xx a ee ? ? ? ， 即证： 12 12 12 ()2 xx xx ee xx ee ? ? ? 2 1 1 )( 21 21 21 ? ? ? ? ? ? xx xx e e xx， 不妨设 12 xx?，记 12 txx?，则0,1 t te?， 因此只要证明： 1 2 1 t t e t e ? ? ? 0 1 ) 1(2 ? ?

11、? ? t t e e t， 再次换元令xtxetln, 1?，即证 2(1) ln0(1,) 1 x xx x ? ? ? ? 构造新函数 2(1) ( )ln 1 x F xx x ? ? ? ，0) 1 (?F求导 2 22 14(1) ( )0 (1)(1) x F x xxx x ? ? ? ，得)(xF在), 1 ( ?递增，所以0)(?xF，因此原不 等式 12 2xx?获证. 【点评】含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元 12 ,x x的基础上，又多了一个参数， 故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或 者以参数为媒介，构造出一个变元

12、的新的函数。 例 3.已知函数( )lnf xxax?，a为常数，若函数( )f x有两个零点 12 ,x x， 试证明： 2 12 .x xe? 【解析】法一：消参转化成无参数问题： ln ( )0lnln x f xxaxxae?， 12 ,x x是方程( )0f x ?的两根，也是方 程 ln ln x xae?的两根，则 12 ln,lnxx是 x xae?，设 1122 ln,lnux ux? ， ( ) x g xxe?，则 12 ( )()g ug u?，从而 2 1 21212 lnln22x xexxuu?，此问题等价转化成为例 1，下略. 法二：利用参数a作为媒介，换元后构

13、造新函数： 不妨设 12 xx?， 1122 ln0,ln0xaxxax?， 12121212 lnln(),lnln()xxa xxxxa xx?， 12 12 lnlnxx a xx ? ? ? ，欲证明 2 1 2 x xe?，即证 12 lnln2xx?. . 1212 lnln()xxa xx?，即证 12 2 a xx ? ? ， 原命题等价于证明 12 1212 lnln2xx xxxx ? ? ? ，即证： 112 212 2() ln xxx xxx ? ? ? ，令 1 2 ,(1) x tt x ?， 构造 2(1) ln, 1 )1( t tg tt t ? ? ? ，

14、此问题等价转化成为例 2 中思路二的解答，下略. 法三：直接换元构造新函数： 1222 1211 lnlnln , ln xxxx a xxxx ?设 2 12 1 ,(1) x xx tt x ?， 则 11 21 11 lnlnln , lnln txtx xtxtt xx ? ? ?， 反解出： 1211 lnlnln ln,lnlnlnlnln 111 tttt xxtxtxt ttt ? ? ， 故 2 1212 1 lnln2ln2 1 t x xexxt t ? ? ? ，转化成法二，下同，略. 例 4.设函数( )() x f xeaxa aR?，其图像与x轴交于)0 ,(,

15、)0 ,( 21 xBxA两点，且 21 xx ?.证明： 12 ()0fx x?. 【解析】由( ),( ) xx f xeaxa f xea?，易知：a的取值范围为 2 (,)e ?，( )f x在 (,ln )a?上单调递减，在(ln ,)a ?上单调递增. 法一：利用通法构造新函数，略； 法二：将旧变元转换成新变元： 1 2 1 2 0, 0, x x eaxa eaxa ? ? ? ? ? 两式相减得： 21 21 xx ee a xx ? ? ? ， 记 21 ,(0) 2 xx tt ? ?，则 12 12212 12 2 21 ()(2() 22 xx xxxx tt xxee

16、e fetee xxt ? ? ? ? ? ? ， 设( )2(),(0) tt g tteet ? ?，则( )2 ()0 tt g tee?，所以( )g t在(0,)t?上单 调递减，故( )(0)0g tg?,而 12 2 0 2 xx e t ? ?，所以 12 ()0 2 xx f ? ?， 又( ) x fxea?是R上的递增函数，且 12 12 2 xx x x ? ?，0)( 21 ?xxf. 容易想到，但却是错解的过程： . 欲证：0)( 21 ?xxf， 即要证： 12 ()0 2 xx f ? ?， 亦要证 12 2 0 xx ea ? ?， 也即证： 12 2xx e

17、a ? ?， 很 自 然 会 想 到 ： 对 11 22 11 22 0,(1), 0,(1), xx xx eaxaea x eaxaea x ? ? ? ? ? ? ? 两 式 相 乘 得 ： 12 2 12 (1)(1) xx ea xx ? ?， 即 证 ： 12 (1)(1)1xx?. 考 虑 用 基 本 不 等 式 2 12 12 2 (1)(1)() 2 xx xx ? ?， 也即只要证： 12 4xx?.由于 12 1,lnxxa?.当取 3 ae? 将得到 2 3x ?，从而 12 4xx?.而二元一次不等式 12 4xx?对任意 2 (,)ae?不恒成 立，故此法错误. 【

18、迷惑】 此题为什么两式相减能奏效， 而变式相乘却失败？两式相减的思想基础是什么？其 他题是否也可以效仿这两式相减的思路? 【解决】此题及很多类似的问题，都有着深刻的高等数学背景. 拉格朗日中值定理：若函数( )f x满足如下条件： （1）函数在闭区间 , a b上连续； （2）函数在开区间( , )a b内可导， 则在( , )a b内至少存在一点?， 使得 ( )( ) ( ) f bf a f ba ? ? ? ? . 当( )( )f bf a?时，即得到罗尔中值定理. 上述问题即对应于罗尔中值定理， 设函数图像与x轴交于 12 ( ,0), (,0),A xB x两点，因此 21 21

19、12 21 ()( )(e)() 000 2 xx AB f xf xea xx k xx ? ? ? ， 21 21 xx ee a xx ? ? ? ， 由于 12 ( )()0f xf x?，显然 11 ( )( )0f xf x?与 11 ( )( )0f xf x?，与已知 12 ( )()0f xf x?不是充要关系，转化的过程中范围发生了改变. 例 5.（11 年，辽宁理） 已知函数 2 ( )ln(2) .f xxaxa x? （I）讨论( )f x的单调性； （II）设0a ?，证明：当 1 0x a ?时， 11 ()()fxfx aa ?； （III）若函数( )yf x?的图像与x轴交于,A B两点，线段AB中点的横坐标为 0 x，证明： 0 ()0fx?. . 【解析】 （I）易得：当0a ?时，( )f x在(0,)?上单调递增；当0a ?时，( )f x在 1 (