专题2.1 一元二次方程根的判别式（精讲深剖）-拾阶而上之初高中数学衔接读本（解析版）.doc

1、. 第二章一元二次方程第二章一元二次方程 第第 1 讲讲 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式-精讲深剖精讲深剖 现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断 式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着重要应用本专题将对一 元二次方程根的判别式、根与系数的关系等进行讲述。 【知识梳理】【知识梳理】 一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式 一元二次方程 2 0 (0)axbxca?，用配方法将其变形为： 2 2 2 4 () 24 bbac x aa ? ? (1) 当 2 40bac?时，右端是正数因此，

2、方程有两个不相等的实数根： 22 12 44 , 22 bbacbbac xx aa ? ? ? ? (2) 当 2 40bac?时，右端是零因此，方程有两个相等的实数根： 1,2 2 b x a ? ? (3) 当 2 40bac?时，右端是负数因此，方程没有实数根学科！网 由于可以用 2 4bac?的取值情况来判定一元二次方程的根的情况因此，把 2 4bac?叫做一元二次方 程 2 0 (0)axbxca?的根的判别式，表示为： 2 4bac? ? 【精讲深剖精讲深剖】 一元二次方程根的判别式即是判定方程根的情况的充分条件，也是求解方程根 的一般方法。 【典例解析】典例解析】1.判定下列关

3、于 x 的方程的根的情况（其中 a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的 实数根 （1）x23x30； （2）x2ax10； （3） x2ax(a1)0； （4）x22xa0 【解析】（1）324 1 330， 方程没有实数根 （2）该方程的根的判别式 a24 1 (1)a240， 所以方程一定有两个不等的实数根; 2 1 4 2 aa x ? ?， 2 2 4 2 aa x ? ? （3）由于该方程的根的判别式为 a24 1 (a1)a24a4(a2)2， . 所以，当 a2 时，0， 所以方程有两个相等的实数根：x1x21； 当 a2 时，0， 所以方程有两个不相等的实数根： x11，x

4、2a1 来源:Z.xx.k.Com 【解题反思】在第 3，4 小题中，方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程 中，需要对 a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论分类讨论分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非 常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题 【变式训练】【变式训练】 1.已知关于x的一元二次方程 2 320xxk?，根据下列条件，分别求出k的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根； (3)方程有实数根； (4) 方程无实数根 【解析】 2 ( 2)4 34 12kk? ? ? ? ? (1) 1

5、4120 3 kk?； (2) 1 4120 3 kk?； (3) 3 1 0124?kk； (4) 3 1 0124?kk 【点评】本题已知根的情况，运用根的判别式，求方程中参数的取值范围。需要逆向思考，体现了思维的 灵活性。 2.（1）判断直线1yx=+与抛物线 2 31yxx=-+的交点个数； （2）若直线2yxm=+与抛物线 2 yx=有两个不同的交点，求m的范围。 【分析】有题意，曲线交点个数可转化为对应方程组的解的个数，可借助根的判别式进行解决； . （2）由 2 2yxm yx =+ = ，代入消元得； 2 2x mx+=， 整理得； 2 20xxm-=， 由题意可得； 2 (

6、2)4 10mD= -+ 创，解得1m -， 即当1m -时，直线2yxm=+与抛物线 2 yx=有两个不同的交点。来源:163文库 【点评】判断两曲线交点个数问题时，基本方法为直接求解法，判别式法即图像法。而判别式法在解决二 次曲线交点个数问题时更为高效。 3已知关于x的一元二次方程? 22 31220xkxkk?. （1）求证：不管k为何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形 ABC 的一边长6a ?,另两边长, b c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长. 【答案】 （1）? 2 10k?； （2）16或 22. 【分析】 （1）计算出“根的判别式的值”，然后通过配方可知无论 k

7、去何值，的值恒大于或等于 0，由此 可得结论； （2）因为题目中没有告诉等腰ABC 中边a是腰还是底，故要分两种情况讨论：当a为腰时，则bc、中 有一边为腰，即原方程有一根为 6，代入方程可解得 k 的值，进一 步可求得方程的另一根，从而可求ABC 的周长；当a为底时，则bc、都为腰，此时原方程有两个相等的实数根，则=0，由此可求出 k 的值， 代入原方程求解，从而可求ABC 的周长.来源:163文库 【解析】(1)在方程? 22 31220xkxkk? 中， =? ? 2 2 314 122kkk? ? ? ? = 22 961 88kkkk? ?= 2 21kk?=? 2 1k ?， 无论

8、 k为何值，?0 ，来源:学.科.网 不管 k为何值，原方程总有实数根； . 当6a ?为底时，则, b c两边均为腰，即原方程有两个相等的实数根， 所以 2 (1)0k?，解得1k ?， 此时原方程为： 2 440xx?，解得： 12 2xx? 即, b c两边均为 2，因为226?，此时, ,a b c三边围不成三角形，此种情况不成立； 综合可得的周长为 16 或 22 【点评】 问题从一元二次根的判别式“”入手， 通过化简、 配方法等将“”表达式转化为可判断其符号 的形式，从而就可以判断原一元二次方程根的情况了； （2）这类问题通常要分“已知边是等腰三角形的腰 和底”两种情况分别讨论，同时要特别注意在涉及三角形三边的问题中，求出三边后，一定要用三角形三 边间的关系进行检验，看能否围成三角形. 来源:163文库 给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的学 习；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到 的高度，而是继续不断的攀登。-高斯 .