初中高中衔接第一讲 数与式的运算.doc
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1、. 第一讲第一讲 数与式的运算数与式的运算 在初中,我们已学习了实数,知道字母可以表示数用代数式也可以表示数,我们把实数和代 数式简称为数与式代数式中有整式(多项式、单项式) 、分式、根式它们具有实数的属性, 可以进行运算在多项式的乘法运算中,我们学习了乘法公式(平方差公式与完全平方公式) , 并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运 算, 因此本节中将拓展乘法公式的内容, 补充三个数和的完全平方公式、 立方和、 立方差公式 在 根式的运算中,我们已学过被开方数是实数的根式运算,而在高中数学学习中,经常会接触到被 开方数是字母的情形, 但在初中却没有涉
2、及, 因此本节中要补充 基于同样的原因, 还要补充 “繁 分式”等有关内容 一、乘法公式一、乘法公式 【公式【公式 1】cabcabcbacba222)( 2222 ? 证明证明: 2222 )(2)()()(ccbabacbacba? cabcabcbacbcacbaba222222 222222 ? ?等式成立 【例例 1】计算: 22 ) 3 1 2(?xx 解解:原式= 22 3 1 )2(?xx 9 1 3 22 3 8 22 )2( 3 1 2 3 1 2)2(2) 3 1 ()2()( 234 222222 ? ? xxxx xxxxxx 说明说明:多项式乘法的结果一般是按某个字
3、母的降幂或升幂排列 【公式【公式 2】 3322 )(babababa?(立方和公式立方和公式) 证明证明: 3332222322 )(bababbaabbaabababa? 说明说明:请同学用文字语言表述公式 2. 【例例 2】计算:)( 22 bababa? 解解:原式= 333322 )()()()(bababbaaba? 我们得到: 【公式【公式 3】 3322 )(babababa?(立方差公式立方差公式) 请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系,公式 1、2、3 均称为乘法公式乘法公式 【例例 3】计算: . (1))416)(4( 2 mmm? (2)) 4 1 10 1 25
4、 1 )( 2 1 5 1 ( 22 nmnmnm? (3))164)(2)(2( 24 ?aaaa (4) 22222 )(2(yxyxyxyx? 解解: (1)原式= 333 644mm? (2)原式= 3333 8 1 125 1 ) 2 1 () 5 1 (nmnm? (3)原式=644)()44)(4( 63322242 ?aaaaa (4)原式= 2222222 )()()(yxyxyxyxyxyx? 6336233 2)(yyxxyx? 说明说明: (1)在进行代数式的乘法、除法运算时,要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结 构 (2)为了更好地使用乘法公式,记住 1、2、3、4
5、、?、20 的平方数和 1、2、3、4、?、 10 的立方数,是非常有好处的 【例例 4】已知013 2 ? xx,求 3 3 1 x x ?的值 解解:013 2 ? xx? 0?x 3 1 ? x x 原式=18)33(33) 1 )( 1 () 1 1)( 1 ( 22 2 2 ? x x x x x x x x 说明说明: 本题若先从方程013 2 ? xx中解出x的值后, 再代入代数式求值, 则计算较烦琐 本 题是根据条件式与求值式的联系,用整体代换的方法计算,简化了计算请注意整体代换法本 题的解法,体现了“正难则反”的解题策略,根据题求利用题知,是明智之举 【例例 5】已知0?cb
6、a,求 111111 ()()()abc bccaab ?的值 解解:bacacbcbacba?, 0? ?原式= ab ba c ac ca b bc cb a ? ? ? ? ? ? abc cba ab cc ac bb bc aa 222 )()()(? ? ? ? ? ? ? ? abccabccabbababa3)3(3)( 32233 ? abccba3 333 ? ,把代入得原式=3 3 ? abc abc 说明说明:注意字母的整体代换技巧的应用 引申引申:同学可以探求并证明: )(3 222333 cabcabcbacbaabccba? . 二、根式二、根式 式子(0)a a
7、 ?叫做二次根式,其性质如下: (1) 2 ()(0)aa a? (2) 2 |aa? (3) (0,0)abab ab? (4) (0,0) bb ab a a ? 【例例 6】化简下列各式: (1) 22 ( 32)( 31)? (2) 22 (1)(2) (1)xxx? 解解:(1) 原式=| 32| 31| 2331 1? ? ? (2) 原式= (1)(2)23 (2) |1|2| (1)(2)1 (1x2) xxxx xx xx ? ? ? ? 说明说明:请注意性质 2 |aa?的使用:当化去绝对值符号但字母的范围未知时,要对字母的 取值分类讨论 【例例 7】计算(没有特殊说明,本
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