初中高中衔接12二次函数-基本知识,基本公式,基本方法.doc
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1、. 4.二次函数二次函数 初中数学里,二次函数是重点内容,是(河南省)中考的压轴题,是热点;高中数学里, 二次函数是基础内容,相关知识要求熟练掌握这本没有什么毛病,但问题在于初高中数学 对二次函数的着力点不同:中考不要求记忆顶点坐标公式,不要求掌握两根式(解析式的一 种形式) ,不常求解二次函数在给定范围上的最值问题(绝不是重点) ,殃及的还有一元二次 方程的韦达定理 (不要求记忆) 而这些在高中老师眼里统统都是常识, 必须熟练, 熟练, 再熟练!二次函数虽是中考压轴题,但也只是一个载体(仅提供点的坐标关系) ,在此基础 上讨论几何图形的相关问题,最终还是几何,二次函数也就是个空壳儿 4.1
2、基本知识,基本公式,基本基本知识,基本公式,基本方法方法 在学习高中数学之前,有必要复习关于二次函数的基本知识、基本公式和基本方法必 修 1 里常将其他函数(根式函数,指数函数,对数函数等)与二次函数复合,求解值域,判 断单调性、奇偶性等,最终均又回到二次函数的相关问题,所以二次函数是基本功 1.基本知识基本知识 二次函数 2 ()0yaxbxc a?的图象是抛物线,对称轴为直线 2 b x a ? ?,顶点坐标 为 2 4 , 24 bacb aa ? ? ? ? ,a的符号决定开口方向当判别式 2 40bac? ?时,函数图象与 x轴有两个不同的交点,0 2 b a ? ? ? ? ? ?
3、 ;当 2 40bac? ?时,函数图象与x轴相切于点 ,0 2 b a ? ? ? ? 函数图象与y轴总交于点(0, )c 2.基本公式基本公式 形如 2 yaxbxc?(a,b,c是常数,0a ?)的函数叫做x的二次函数这表明 所有二次函数的解析式都可写成 2 yaxbxc?的形式,故称其为一般式我们可对它做 如下变形: 22 222 22 bbbb a xxca xxca aaa yaxbx a c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 4 24 bacb a x aa ? ? ? ? , 这个变形叫做配方记 2 b h a ? ?, 2 4 4 acb k a ? ?
4、,则上式即 ? 2 ya xhk?, 其中?, h k就是二次函数图象的顶点,故这种形式的解析式称为顶点式由顶点式发现,二 . 次函数? 2 ya xhk?的图象可由 2 yax?的图象平移得到(h决定图象的左右平移,k 决定图象的上下平移) ,故它们的图象只是位置不同而已(形状、大小完全相同) 在 顶 点 式 中 ,令 2 2 4 0 24 bacb ya x aa ? ? ? ? , 得 2 2 2 4 24 bbac x aa ? ? ? ? , 当 2 40bac? ?时,得 2 4 22 bbac x aa ? ? ?,则 2 1 4 2 bbac x a ? ? ?, 2 2 4
5、2 bbac x a ? ? ?, 这就是一元二次方程的求根公式,而且 22 12 44 22 bbacbbacb xx aaa ? ? ? ? ?, ? 22 22 12 2 4 44 224 bbac bbacbbacc x x aaaa ? ? ? ? ?, 这就是一元二次方程的韦达定理(根与系数的关系) 进一步有 ? 222 121212 bc yaxbxca xxa xxxxx xa xxxx aa ? ? ? ? ? , 这也是二次函数解析式的一种形式,称为两根式 从两根式里我们清楚地看到(当 2 40bac? ?时)二次函数的图象与 x 轴交于两点 ? 1,0 x和? 2,0 x
6、,它们之间的距离 222 12 444 22 bbacbbacbac xx aaaa ? ? ? ?, 或者 ? 2 2 22 12121212 44 4 bcbac xxxxxxx x aaa ? ? ? ? 3.基本方法基本方法 上面的推导过程用到了配方法、 十字相乘法和一些乘法公式, 其中配方配方是一种很重要的 代数变形手段,1.1 节就已领略到了高中,将圆的一般方程化为标准方程时需要配方,不 等式的证明有时也要配方 课堂例题课堂例题 例例 1 若二次函数 2 253yxx?与x轴交于点? 1,0 x,? 2,0 x,求下列代数式的值: (1) 12 xx?; (2) 22 12 11
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