初中高中衔接1数与式-代数变形与求值.doc

1、. 1.数与式数与式 1.1 代数代数变形变形与与求值求值 代数，顾名思义，就是用字母代表数 用字母代表数，有什么好处？ 好处就是可以反映一般的规律 很多公式，用字母表示尤为方便很多问题，引入字母可使解题变得简练用字母代替 数，是代数的核心 总体来说，中考对“代数”的要求不高但高中数学里，代数变形与运算却是基础而重 要的内容，集合、函数、数列、不等式、解析几何等章节中大量涉及数与式的“运算” ，具 体体现在以下几个方面： （1）含参的集合问题中对代数变形的要求； （2）含参的方程与不等式的求解； （3）函数的单调性、奇偶性问题中对代数变形的要求； （4）对数运算； （5）向量的运算； （6）立

2、体几何中有关长度，角度，距离的计算； （7）数列求和等问题的计算； （8）解析几何中复杂而又富于技巧性的运算； （9）导数与定积分的计算 我们在初中已经学习过下面的乘法公式： 平方差公式平方差公式 22 ()()ab abab? 完全平方公式完全平方公式 222 ()2abaabb?， 222 ()2abaabb? 这两个公式的证明很容易，就是多项式乘法的简单应用： 2222 ()()ab abaabbabab?， 22222 ()()()2abab abaabbabaabb?， 22222 ()()()2abab abaab babaabb? 公式中的字母a，b可以是具体的数，也可以是单项式

3、、多项式、分式、无理式等，只 要符合公式的结构特征，就可以利用公式（字母的任意性字母的任意性，整体思想，整体思想） 于是，在公式 222 ()2abaabb?中，用b?代替b，即得 222222 ()()2 ()()2ababaabbaabb? ? ?（公式间的联系公式间的联系） 注： 本节课的定位是复习过渡， 平方差公式与完全平方公式应该是每个初中生都非常熟 悉的， 这里旧事重提， 但我们也品出了新的味道公式中字母的任意性和公式与公式间的 内在联系到了高中，不仅掌握的知识需要增多，眼界与理解能力也要随之提高对于旧的 知识，老的问题，若能有新的发现，新的感悟，这也是水平 我们还可以证明如下诸多

4、乘法公式： 立方和公式立方和公式 ? 2233 abaabbab? . 立方差公式立方差公式 _ 33 ab?（交给学生填空） 两数和的立方公式两数和的立方公式 ? 3 322333 333abaa babbabab ab? 两数差的立方公式两数差的立方公式 ? 3 ab?_（交给学生填空） 三数和的完全平方公式三数和的完全平方公式 ? 2 222 222abcabcabbcca? 注：空白处留时间让学生独立完成，观察学生是猜想，重新推导，还是利用公式间的联 系进行代换填空刚提的新观点，这里就立刻检验学生是否接受吸收了向学生强调，这些 公式不仅要会推导，还得熟记它们的形式，逐步达到灵活运用的地

5、步 立方差公式在后续证明函数 3 yx?的单调性时会用到 拓展公式拓展公式 1 ? 222 222 1 2 abcabbccaabbcca ? ? ? 拓展公式拓展公式 2 ? 333222 3abcabcabcabcabbcca? ? ? 2221 2 abcabbcca ? ? ? 注：这两个拓展公式视学生情况决定是否补充本节课的主要内容（公式）到这里就结 束了，可以提醒学生课下多推，多看，多变，熟练公式下节课提问（默写）公式，提问（默 写）不是目的，督促大家熟练掌握才是目标 课堂课堂例题例题 例例 1 若2xy?，2yz?，14xz?，求 22 xz?的值 解解：考察平方差公式 ? ?

6、? 22 56xzxzxzxzxyyz? ? 例例 2 已知实数x满足 2 310xx? ?，求 2 2 1 x x ?和 3 3 1 x x ?的值 解解：考察完全平方公式，立方和公式，两数和的立方公式 由 2 310xx? ?知0x ?，将其变形为 1 30x x ? ?，即 1 3x x ? 所以 2 2 2 11 27xx xx ? ? ? ? ， 32 32 111 118xxx xxx ? ? ? ? ? 还可直接将 1 3x x ?立方，得 3 33 33 1111 2739xxxx xxxx ? ? ? ? ，则 3 3 1 18x x ? 或者将 1 3x x ?与 2 2

7、1 7x x ?相乘得 . 233 233 11111 213xxxxx xxxxx ? ? ? ? ，则 3 3 1 18x x ? 例例 3 化简 （1）32 252 674 394 5?；（2）108 3+2 2? 解解： （1）考察含根式的完全平方公式的配凑 以3 2 2?为例，它会是? 2 ? ?展开后的结果呢？以“二倍项2 2”为突破口 2 22 12? ? ?，而恰好有 ? 2 2 123?，至此发现 ? 22 2 3 2 212 12212? ? ? 其他类似，所以 32 252 674 394 5? ? 2222 12233225? 122332255 1? ? ? ? （2

8、）考察含根式的完全平方公式的配凑，与（1）类似 ? 22 108 3+2 21081218 8 24242? 例例 4 对任意的实数a，试比较? 22 1111aaaaaa?与 1 的大小关系 解解：考察立方和公式，立方差公式，平方差公式，搭配技巧 ? 22 1111aaaaaa? ? 22336 11111111aaaaaaaaa? ? 注：若学生没有观察出“一四项” “二三项”结合用立方差（和）公式，而是直接“一 二项” “三四项”结合用平方差公式再展开也可以，即 原式 ? ? 222 222222246 111111aaaaaaaaa ? ? ? ? ? 例例 5 已知 x 为任意实数，

9、20 2018 x a ?，19 2018 x b ?，21 2018 x c ?，求代数 式 222 abcabbcca?的值 解解：考察拓展公式 1 的变形 ? 222 222 1 2 ? ? ? abcabbccaabbcca 由已知得1ab?，2bc? ?，1ca?，则 222 abcabbcca? 222 1 (222222) 2 abcabbcca? . 222 1 ()()() 3 2 abbcca? 例例 6 求证：连续四个自然数的乘积再加 1 必为完全平方数 证明证明：考察完全平方公式，搭配技巧，整体思想 假设这四个连续的自然数为n，1n?，2n?，3n?，则 ?1231n

10、nnn? ?3121n nnn? ? ? 22 3321nnnn? ? 22 222 3+23131nnnnnn? ? 课后作业课后作业 1.设 1 32 x ? ? ， 1 32 y ? ? ，求代数式 22 xxyy xy ? ? 的值 【难度，考察完全平方公式】 2.若2?ab，3?ab，则 22 ?ab_， 44 ?ab_， 33 ?ab_ 【难度，考察完全平方公式，立方差公式，两数差的立方公式】 3.求值： （1）52 652 6?； （2） 3 75 2? 【难度，考察完全平方公式，完全立方公式】 4.若1xy?，求 33 3xyxy?的值 【难度，考察两数和的立方公式，立方和公式】 5.若 2222 1acbd?，1adbc?，求abcd?的值 【难度，考察完全平方公式】 6.求值： 2 2 2 20171 1 2017 20182018 ? 【难度，考察三数和的完全平方公式】