初高中衔接-第四讲-不等式.doc

1、. 第第四讲四讲 不不 等等 式式 初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法 高中阶段将进一步学 习一元二次不等式和分式不等式等知识 本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知 识 一、一、一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法 1 形如 2 0(0) (0)axbxca?或其中的不等式称为关于x的一元二次不等式 【例【例 1】解不等式 2 60xx? 分析：分析：不等式左边可以因式分解，根据“符号法则 - 正正(负负)得正、正负得负” 的原则，将其转化为一元一次不等式组 解：解：原不等式可以化为：(3)(2)0xx?， 于是： 30 20 x x ? ? ? ? 或

2、30 20 x x ? ? ? ? 33 32 22 xx xx xx ? ? ? ? ? ? ? ? 或或 所以，原不等式的解是32xx? ?或 说明：说明：当把一元二次不等式化为 2 0(0)axbxc?或的形式后，只要左边可以分 解为两个一次因式，即可运用本题的解法 【例【例 2】解下列不等式： (1) (2)(3)6xx? (2) (1)(2)(2)(21)xxxx? 分析：分析：要先将不等式化为 2 0(0)axbxc?或的形式，通常使二次项系数为正数 解：解：(1) 原不等式可化为： 2 120xx?，即(3)(4)0xx? 于是： 3030 34 4040 xx x xx ? ?

3、 ? ? ? ? ? 或 所以原不等式的解是34x? ? (2) 原不等式可化为： 2 40xx?，即 2 40(4)0xxx x? 于是： 00 04 4040 xx xx xx ? ? ? ? ? 或或 所以原不等式的解是04xx?或 2一元二次不等式 2 0(0)axbxc?或与二次函数 2 (0)yaxbxca?及 一元二次方程 2 0axbxc?的关系(简称：三个二次) . 以二次函数 2 6yxx?为例： (1) 作出图象； (2) 根 据 图 象 容 易 看 到 ， 图 象 与x轴 的 交 点 是 ( 3,0),(2,0)?，即当32x ? ? 或时，0y ?就是说对应的 一元二

4、次方程 2 60xx?的两实根是32x ? ? 或 (3) 当32xx? ?或时，0y ?，对应图像位于x轴的 上方就是说 2 60xx?的解是32xx? ?或 当32x? ?时，0y ?，对应图像位于x轴的下方就是说 2 60xx?的解 是32x? ? 一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： (1) 将二次项系数先化为正数； (2) 观测相应的二次函数图象 如果图象与x轴有两个交点 12 ( ,0),(,0)xx，此时对应的一元二次方程有两个不相等 的实数根 12 ,x x(也可由根的判别式0? ?来判断) 那么(图 1)： 2 12 0 (0) axbx

5、caxxxx?或 2 12 0 (0) axbxcaxxx? 如果图象与x轴只有一个交点(,0) 2 b a ?，此时对应的一元二次方程有两个相等的实 数根 2 2 x b xx a ? ?(也可由根的判别式0? ?来判断) 那么(图 2)： 2 0 (0) 2 b axbxcax a ? ? 2 0 (0) axbxca?无解 如果图象与x轴没有交点， 此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式 0? ?来判断) . 那么(图 3)： 2 0 (0) axbxcax?取一切实数 2 0 (0) axbxca?无解 如果单纯的解一个一元二次不等式的话，可以按照一下步骤处理： (1)

6、化二次项系数为正； (2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根 12 ,x x那么“0?”型的解 为 12 xxxx?或(俗称两根之外)；“0?”型的解为 12 xxx?(俗称两根之间)； (3) 否则，对二次三项式进行配方，变成 2 22 4 () 24 bacb axbxca x aa ? ?，结合 完全平方式为非负数的性质求解 【例【例 3】解下列不等式： (1) 2 280xx? (2) 2 440xx? (3) 2 20xx? 解：解：(1) 不等式可化为(2)(4)0xx? 不等式的解是24x? ? (2) 不等式可化为 2 (2)0x? 不等式的解是2x ? (3)

7、 不等式可化为 2 17 ()0 24 x ? 【例【例 4】已知对于任意实数x， 2 2kxxk?恒为正数，求实数k的取值范围 解：解：显然0k ?不合题意，于是： 222 000 1 11( 2)4010 kkk k kkkk ? ? ? ? ? ? ? ? 或 【例【例 5】已知关于x的不等式 22 (1)30kxkx? ?的解为13k? ?，求k的值 分析：分析：对应的一元二次方程的根是1?和3，且对应的二次函数的图象开口向上根据 一元二次方程根与系数的关系可以求解 解：解：由题意得： 2 0 1 131 3 ( 1) 3 k k k k k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

8、 ? ? 说明说明： 本例也可以根据方程有两根1?和3， 用代入法得： 22 ( 1)(1)( 1)30kk?， 22 33(1)30kk?，且注意0k ?，从而1k ? . 二、二、简单分式不等式的解法简单分式不等式的解法 【例【例 6】解下列不等式： (1) 23 0 1 x x ? ? ? (2) 2 3 0 1 x xx ? ? ? 分析：分析：(1) 类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不 等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等 式直接转化为整式不等式求解 (2) 注意到经过配方法，分母实际上是一个正数 解：解

9、：(1) 解法(一) 原不等式可化为： 33 230230 3 122 10102 11 xxxx x xx xx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 或或 解法(二) 原不等式可化为： 3 (23)(1)01 2 xxx? ? ? (2) 22 13 1()0 24 xxx? ? 原不等式可化为：303xx? ? 【例【例 7】解不等式 1 3 2x ? ? 解：解：原不等式可化为： (35)(2)0 135355 30002 202223 xx xx xx xxxx ? ? ? ? ? ? ? ? 或 说明：说明：(1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为

10、0 (2) 本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号： 22 2020 15 32 55 3(2)13(2)123 33 xx xx xx xxxxx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 或或或 三、含有字母系数的一元二次不等式三、含有字母系数的一元二次不等式 一元一次不等式最终可以化为 (0)axb a?的形式 (1) 当0a ?时，不等式的解为： b x a ?； (2) 当0a ?时，不等式的解为： b x a ?； (3) 当0a ?时，不等式化为：0 xb?； 若0b ?，则不等式的解是全体实数； 若0b ?，则不等式无解 【例【例 8】求关于x的不等式

11、2 22m xmxm?的解 解：解：原不等式可化为：(2)2m mxm? . (1) 当202mm?即时，1mx ?，不等式的解为 1 x m ?； (2) 当202mm?即时，1mx ? 02m?时，不等式的解为 1 x m ?； 0m ?时，不等式的解为 1 x m ?； 0m ?时，不等式的解为全体实数 (3) 当202mm?即时，不等式无解 综上所述：当0m ?或2m ?时，不等式的解为 1 x m ?；当02m?时，不等式的解 为 1 x m ?；当0m ?时，不等式的解为全体实数；当2m ?时，不等式无解 【例【例 9】已知关于x的不等式 2 2kkxx?的解为 1 2 x ? ?

12、，求实数k的值 分析：分析： 将不等式整理成axb?的形式， 可以考虑只有当0a ?时， 才有形如 b x a ?的解， 从而令 1 2 b a ? ? 解：解：原不等式可化为： 2 (1)2kxk? ? ? 所以依题意： 2 101 3 321 21 212 kk k k k k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 或 . A 组组 1解下列不等式： (1) 2 20xx? (2) 2 3180xx? (3) 2 31xxx? (4) (9)3(3)x xx? 2解下列不等式： (1) 1 0 1 x x ? ? ? (2) 31 2 21 x x ? ? ? (3) 2

13、 1 x ? ? (4) 2 21 0 21 xx x ? ? ? 3解下列不等式： (1) 22 222xxx? (2) 2 111 0 235 xx? 4已知不等式 2 0xaxb?的解是23x?，求, a b的值 5解关于x的不等式(2)1mxm? ? 6已知关于x的不等式22kxkkx?的解是1x ?，求k的值 7已知不等式 2 20xpxq?的解是21x? ?，求不等式 2 20pxqx?的解 B 组组 1已知关于x的不等式 2 0mxxm?的解是一切实数，求m的取值范围 2若不等式 2 23 1 xx kk ? ? ?的解是3x ?，求k的值 3解关于x的不等式 22 56xaxa

14、? 4a取何值时，代数式 2 (1)2(2)2aa?的值不小于 0？ 5 已 知 不 等 式 2 0axbxc?的 解 是x?， 其 中0?， 求 不 等 式 2 0cxbxa?的解 练练 习习 . 第第四讲四讲 不等式答案不等式答案 A 组组 1 1 (1)0 (2)36 (3)1 (4)3 2 xxxx? ? ? 2 11 (1)11 (2)3 (3)20 (4) 22 xxxxxxx? ? ? ?或或或 3(1) 无解 (2) 全体实数 45,6ab? 5(1)当2m ?时， 1 2 m x m ? ? ? ；(2)当2m ?时， 1 2 m x m ? ? ? ；(3) 当2m ?时，x取全体实 数 61k ? ? 71x ? B 组组 1 1 2 m ? ? 25k ? 3(1) 0a ?时， 78 aa x?；(2) 0a ?时，无解；(3) 0a ?时， 87 aa x? ? 451aa? ?或 5 11 xx ? ?或