初高中数学衔接教材 §3.2 三角形(含答案).doc

1、. 3.2 3.2 三角形三角形 3 32 21 1 三角形的“四心”三角形的“四心” 三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题。 如图 3.2-1 ，在三角形ABC?中，有三条边,AB BC CA，三个角CBA?,，三 个顶点, ,A B C，在三角形中，角平分线、中线、高（如图 3.2-2）是三角形中的三种重要线 段。 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心三角形的重心。三角形的重心在三角形三角形的重心在三角形 的内部，恰好是每条中线的三等分点的内部，恰好是每条中线的三等分点。 例 1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比

2、为 2：1。 已知:D、E、F 分别为ABC?三边 BC、CA、AB 的中点， 求证:AD、BE、CF 交于一点，且都被该点分成 2：1。 证明连结 DE，设 AD、BE 交于点 G， ?D、E 分别为 BC、AE 的中点，则 DE/AB，且 1 2 DEAB=， GDE?GAB?，且相似比为 1：2， GEBGGDAG2,2?。 设 AD、CF 交于点G，同理可得，2,2 .AGG D CGG F= 则G与G重合，?AD、BE、CF 交于一点，且都被该点分成2:1。 三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心三角形的内心。三角形的内心在三角形的内部，三角形的内心在三角形的内部， 它到三角

3、形的三边的距离相等它到三角形的三边的距离相等。 （如图 3.2-5） 例 2 已知ABC?的三边长分别为,BCa ACb ABc=，I 为 图 3.2-1 图 3.2-2 图 3.2-3 图 3.2-4 图 3.2-5 . ABC?的内心，且 I 在ABC?的边BCACAB、上的射影分别为DEF、 、，求证： 2 bca AEAF +- =。 证明:作ABC?的内切圆， 则DEF、 、分别为内切圆在三边上的切点， AFAE,?为圆的从同一点作的两条切线， AFAE ?， 同理，BD=BF，CD=CE。 CDBDCEAEBFAF?abc AEAFAEAF22? 即 2 bca AEAF +- =

4、。 例 3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形。 已知:O 为ABC?的重心和内心。 求证: ABC?为等边三角形。 证明:如图，连 AO 并延长交 BC 于 D。 O 为三角形的内心，故 AD 平分BAC?， DC BD AC AB ?（角平分线性质定理） O 为三角形的重心，D 为 BC 的中点，即 BD=DC。 1? AC AB ，即ABAC=。 同理可得，AB=BC。 ABC?为等边三角形。 三角形的三条高所在直线相交于一点， 该点称为三角形的垂心。 锐角三角形的垂心一定 图 3.2-6 图 3.2-7 图 3.2-8 . 在三角形的内部，直角三角形的垂心为它的直

5、角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部。 （如图 3.2-8） 例 4 求证：三角形的三条高交于一点。 已知:ABC?中，于于EACBEDBCAD?,AD 与 BE 交于 H 点。 求证:ABCH ?。 证明:以 CH 为直径作圆， ,EACBEDBCAD于于? ?90HECHDC ED、?在以 CH 为直径的圆上，DEHFCB?。 同理，E、D 在以 AB 为直径的圆上， 可得BADBED?。BCFBAD?， 又ABD?与BCF?有公共角DBF?，?90ADBBFC，即ABCH ?。 过不共线的三点 A、B、C 有且只有一个圆，该圆是ABC?的外接圆，圆心 O 为三角形 的外心。三角形的外心

6、到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点。 练习练习 1 1.求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形。 2 （1）若?ABC 的面积为 S，且三边长分别为abc、 、，则?的内切圆的半径 是 。并请说明理由。 （2）若?tR三边长分别为abc、 、（其中c为斜边长） ，则?的内切圆的半径 是 。 并请说明理由。 . 3.2.2 3.2.2 几种特殊的三角形几种特殊的三角形 等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一。因而在等腰ABC?中，三角 形的内心 I、重心 G、垂心 H 必然在一条直线上。 例 5 在ABC?中，3,2.ABACBC?求:（1）ABC?的面积

7、及AC边上的高BE； （2）ABC?的内切圆的半径r； （3）ABC?的外接圆的半径R。 解:（1）如图，作ADBC?于D。 ,ABACD?为BC的中点， 22 22 ?BDABAD, 22222 2 1 ? ?ABC S 又BEACS ABC ? ? 2 1 ,解得 4 2 3 BE ?。 （2）如图，I为内心，则I到三边的距离均为r，连,IA IB IC， IACIBCIABABC SSSS ? ?， 即 111 2 2 222 AB rBC rCA r? ? ?， 解得 2 2 r ?。 （3）ABC?是等腰三角形，?外心O在AD上，连BO， 则OBDR ?t中，,ODADR? 222,

8、 OBBDOD? 图 3.2-10 图 3.2-13 图 3.2-11 图 3.2-12 . 222 (2 2)1 ,RR?解得 9 2 . 8 R ? 在ABCR ?t中，A?为直角，垂心为直角顶点 A， 外心 O 为斜边 BC 的中点，内心 I 在三角形的内部， 且内切圆的半径为 2 bca+- （其中, ,a b c分别为三角形的三边 BC,CA,AB 的长） ，为什么？ 该直角三角形的三边长满足勾股定理： 222 ACABBC+=。 例 6 如图， 在ABC?中， AB=AC， P 为 BC 上任意一点。 求证：PCPBABAP? 22 。 证明：过 A 作BCAD ?于 D。 在AB

9、DR ?t中， 222 ADABBD=-。 在APDR ?t中， 222 APADDP=-。 )()( 22222 DPBDDPBDABDPBDABAP? DCBDBCADACAB?,?。 PCDPCDDPBD?。 PCPBABAP? 22 。 正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点 称为正三角形的中心。 例 7 已知等边ABC?和点 P， 设点 P 到三边 AB， AC， BC 的距离分别为 123 ,h h h，ABC? 的高为h，“若点 P 在一边 BC 上，此时 3 0h =，可得结论： 123 hhhh+=。” 请直接应用以上信息直接应用以上信息

10、解决下列问题： 当（1）点 P 在ABC?内（如图 b） ， （2）点在ABC?外(如图 c)，这两种情况时，上述 图 3.2-14 图 3.2-15 . 结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立， 123 ,h h h与h之间有什么样的关系，请 给出你的猜想（不必证明） 。 解:（1）当点 P 在ABC?内时， 法一法一 如图，过 P 作B C分别交,AB AM AC于,B M C， 由题设知AMPDPE=+， 而AMAMPF=-， 故PDPEPFAM+=， 即 123 hhhh+=。 法二法二 如图，连结 PA、PB、PC， PBCPACPABABC SSSS ? ?， PFBCPEA

11、CPDABAMBC? 2 1 2 1 2 1 2 1 ， 又ABBCAC=，PFPEPDAM?， 即 123 hhhh+=。 （2） 当点 P 在ABC?外如图位置时， 123 hhhh+=不成立， 猜想： 123 hhhh+-=。 注意：当点 P 在ABC?外的其它位置时，还有可能得到其它的结论， 如 123 hhhh-+=， 123 hhhh-=（如图 3.2-18，想一想为什么？）等。 在解决上述问题时， “法一”中运用了化归的数学思想方法,“法二” 中灵活地运用了面积的方法。 练习练习 2 1.直角?的三边长为 3，4，x,则x=_。 2.等腰?有两个内角的和是 100 ，则它的顶角的

12、大小是 _。 3.满足下列条件的ABC?，不是直角三角形的是（ ） A. 222 bac=- B.CBA? C.5:4:3:?CBA D.: :12:13:5a b c= 图 3.2-16 图 3.2-18 . 4.已知直角三角形的周长为33?，斜边上的中线的长为 1，求这个三角形的面积。 5.证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量。 . 图 3.2-20 图 3.2-19 图 3.2-21 图 3.2-22 习题习题 3.2 A 组组 1.已知：在ABC?中，AB=AC，120 , o BACAD?为 BC 边上的高，则下列结论中，正确 的是（ ） A. 3 2 ADAB?

13、 B. 1 2 ADAB? C.ADBD? D. 2 2 ADBD? 2.三角形三边长分别是 6、8、10，那么它最短边上的高为（ ） A6 B4.5 C2.4 D8 3.如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半， 那么这个等腰三角形的顶角等于_。 4.已知:, ,a b c是ABC?的三条边，7,10ab?，那么c的取值范围是_。 5.若三角形的三边长分别为 1、a、8，且a是整数，则a的值是_。 B 组组 1.如图 3.2-19，等边ABC?的周长为 12，CD 是边 AB 上的中线，E 是 CB 延长线上一点， 且 BD=BE，则CDE?的周长为（ ） 。 A64 3? B18 12 3?

14、 C62 3? D184 3? 2.如图 3.2-20，在ABC?中，2CABCA? ? ?，BD 是边 AC 上的高，求DBC?的度 数。 . 3.如图 3.2-21，ABCR ?t，,90?BM 是 AC 的中点， AM=AN， MN/AB， 求证： MN=AB。 4.如图 3.2-22，在ABC?中，AD 平分BAC?，AB+BD=AC。求:BC?的值。 5.如图 3.2-23，在正方形 ABCD 中，F 为 DC 的中点，E 为 BC 上一点，且 1 4 ECBC=， 求证： ? ?90EFA。 图 3.2-23 . C 组组 1.已知 24 1,2 ,2,1kbk ackack? ?

15、，则以abc、 、为边的三角形是（ ） A等边三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D形状无法确定 2.如图3.2-24， 把A B C?纸片沿DE折叠， 当点A落在四边形BCDE内部时， 则A?与12? ? 之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ） 。 A12A? ? ? B212A? ? ? C312A? ? ? D32( 12)A? ? ? 3.如图 3.2-25，已知 BD 是等腰ABC?底角平分线，且 AB=BC+CD，求证： ? ?90C。 4.如图 3.2-26，在等腰BCARt?中90oC?，D 是斜边 AB 上任一点，AECD?于 E， BFC

16、D?交 CD 的延长线于 F，CHAB?于 H，交 AE 于 G。求证：BD=CG。 图 3.2-25 图 3.2-26 图 3.2-24 . 答案：答案： 练习练习 1 1证略 2.（1） 2S abc? ； （2） 2 abc? 。 练习练习 2 15 或7 2.20o或80o 3.C 4设两直角边长为, a b，斜边长为 2， 则13ab? ?， 且 22 4ab?， 解得3ab ?，3 2 1 ab 2 1 ?S。 5.可利用面积证。 习题习题 3.2 A 组 1B 2. D 3.120o 4.317c? 5.8 B 组组 1A 2.18o 3连BM，证AMNMAB?。 4.在 AC 上取点 E，使 AE=AB，则AEDABD?，BAED? ?。又 BD=DE=EC， ,:2:1.CEDCBC? 5可证FCEADF?，因而AFD?与CFE?互余，得90oEFA?。 C 组组 1C。不妨设ac?，可得 22222 1,1,akckabc?，为直角三角形。 2B 3。在 AB 上取 E 使 BE=BC，则BEDBCD?，且 AE=ED=DC， 2180,90 . oo CBEDAABCC? ? ? ? ? 4先证明CBFACE?，得 CE=BF，再证BDFCGE?，得 BD=CG。