初高中数学衔接教材 §2.3 方程与不等式(含答案).doc
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1、. 2.3 2.3 方程与不等式方程与不等式 2.3.1 2.3.1 二元二次方程组解法二元二次方程组解法 方程 22 260xxyyxy?是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最 高次数是 2 的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程二元二次方程。其中 2 x,2xy, 2 y叫做这个方程的二二 次项次项,x,y叫做一次项,6 叫做常数项。常数项。 我们看下面的两个方程组: 22 4310, 210; xyxy xy ? ? ? ? ? ? 22 22 20, 560. xy xxyy ? ? ? ? ? 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的, 第二个方程组是由两 个二
2、元二次方程组成的,像这样的方程组叫做二元二次方程组。 下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法。 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解。 例 1 解方程组 22 440, 220. xy xy ? ? ? ? 分析:二元二次方程组对我们来说较为生疏,在解此方程组时,可以将其转化为我们熟 悉的形式。注意到方程是一个一元一次方程,于是,可以利用该方程消去一个元,再代入 到方程, 得到一个一元二次方程, 从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题。 解:由,得 x2y2, 把代入,整理,得 8y28y0,即 y(y1)0。解得
3、y10,y21。 把 y10 代入,得 x12;把 y21 代入,得 x20。 所以原方程组的解是 1 1 2, 0 x y ? ? ? ? , ; 2 2 0, 1. x y ? ? ? ? ? 说明: 在解类似于本例的二元二次方程组时, 通常采用本例所介绍的代入消元法来求解。 例 2 解方程组 7, 12. xy xy ? ? ? ? 解法一:由,得7.xy? 把代入,整理,得 2 7120yy? 解这个方程,得 12 3,4yy?。 把 1 3y ?代入,得 1 4x ?;把 2 4y ?代入,得 2 3x ?。 . 所以原方程的解是 1 1 4, 3 x y ? ? ? ? , ; 2
4、 2 3, 4. x y ? ? ? ? 解法二:对这个方程组,也可以根据一元二次方程的根与系数的关系,把, x y看作一个 一元二次方程的两个根,通过解这个一元二次方程来求, x y。 这个方程组的, x y是一元二次方程 2 7120zz?的两个根, 解这个方程,得3z ?,或4z ?。 所以原方程组的解是 1 1 4, 3; x y ? ? ? ? ; 2 2 3, 4. x y ? ? ? ? 练习练习 1下列各组中的值是不是方程组 22 13, 5 xy xy ? ? ? ? 的解? (1) 2, 3; x y ? ? ? ? (2) 3, 2; x y ? ? ? ? (3) 1,
5、 4; x y ? ? ? ? (4) 2, 3; x y ? ? ? ? ? ? 2解下列方程组: (1) 22 5, 625; yx xy ? ? ? ? (2) 3, 10; xy xy ? ? ? ? ? (3) 22 1, 54 3; xy yx ? ? ? ? ? ? (4) 2 22 2 , 8. yx xy ? ? ? ? ? . x O 2 3 yx2x6 y y0 y0 y0 图 2.31 2.3.2 2.3.2 一元二次不等式解法一元二次不等式解法 二次函数 yx2x6 的对应值表与图象如下: 由对应值表及函数图象(如图 2.31)可知 当 x2,或 x3 时,y0,即
6、x2x60; 当 x2,或 x3 时,y0,即 x2x60; 当2x3 时,y0,即 x2x60。 这就是说,如果抛物线 y= x2x6 与 x 轴的交点是(2,0)与(3,0),那么一元二次方 程 x2x60 的解就是 x12,x23; 同样,结合抛物线与 x 轴的相关位置,可以得到一元二次不等式 x2x60 的解是 x 2,或 x3; 一元二次不等式 x2x60 的解是2x3。 上例表明:由抛物线与 x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二 次不等式的解集。 那么,怎样解一元二次不等式 ax2bxc0(a0)呢? 我们可以用类似于上面例子的方法, 借助于二次函数 yax2b
7、xc(a0)的图象来解一 元二次不等式 ax2bxc0(a0)。 为了方便起见,我们先来研究二次项系数 a0 时的一元二次不等式的解。 我们知道,对于一元二次方程 ax2bxc0(a0),设b24ac,它的解的情形按 照0,=0,0 分别为下列三种情况有两个不相等的实数解、有两个相等的实 数解和没有实数解,相应地,抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴分别有两个公共点、一 个公共点和没有公共点(如图 2.32 所示),因此,我们可以分下列三种情况讨论对应的一元 二次不等式 ax2bxc0(a0)与 ax2bxc0(a0)的解。 x 3 2 1 0 1 2 3 4 y 6 0 4 6 6 4
8、0 6 . (1)当 0 时,抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴有两个公共点(x1,0)和(x2,0), 方程 ax2bxc0 有两个不相等的实数根 x1和 x2(x1x2),由图 2.32可知 不等式 ax2bxc0 的解为 xx1, 或 xx2; 不等式 ax2bxc0 的解为 x1xx2。 (2)当 0 时,抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴有且仅有一个公共点,方程 ax2 bxc0 有两个相等的实数根 x1x2 b 2a ,由图 2.32可知 不等式 ax2bxc0 的解为 x b 2a ; 不等式 ax 2bxc0 无解。 (3)如果0,抛物线 yax2bxc(a0)与
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