2014年“北约”“华约”自主招生模拟试题-数学.doc

1、. 20142014 年“北约” “华约”自主招生模拟试题年“北约” “华约”自主招生模拟试题 数学数学（满分（满分 150150 分）分） 第一部分：填空题（共第一部分：填空题（共 5 5 小题小题 每题每题 1010 分）分） 1. 若tan2?,则 22 4sin3sincos5cos?= 1 . 2. 在复数集 C 内,方程 2 2(5)60xi x?的解为 . 3. 设 8219 )22015()22015(?x，求数 x 的个位数字. 4. 设 |100600,AnnnN?，则集合 A 中被 7 除余 2 且不能被 57 整除的数的个数 为_70_. 5. 设 P 是抛物线 2 4

2、40yyx?上的动点,点 A 的坐标为(0, 1)?,点 M 在直线 PA 上, 且分PA所成的比为 2:1,则点 M 的轨迹方程是 9y-12x-4=0 . 第二部分：解答题（共第二部分：解答题（共 5 小题小题 每题每题 20 分）分） 1 设集合? 1 2 log32Axx ? ? ? ? ? ? ? ， 2 1 a Bx xa ? ? ? ? ? 若AB ? ?，求实数a的取值 范围 -1a0 或 0a3 2. 为了搞好学校的工作， 全校各班级一共提了 P)( ? ?NP条建议.已知有些班级提出了相同 的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证 该

3、校的班级数不多于 1 2 ?P 个 . 3. 设平面向量( 3, 1)a ?, 13 ( ,) 22 b ?.若存在实数(0)m m?和角(,) 2 2 ? ? ? ? ?, 使向量 2 (tan3)cab?,tandmab? ?,且cd?. (I)求函数( )mf?的关系式; (II)令tant?,求函数( )mg t?的极值. 4. 已知双曲线的两个焦点分别为 1 F, 2 F,其中 1 F又是抛物线 2 4yx?的焦点,点 A( 1,2)?, B(3,2)在双曲线上. (I)求点 2 F的轨迹方程; (II)是否存在直线yxm?与点 2 F的轨迹有且只 有两个公共点?若存在,求实数m的值

4、,若不存在,请说明理由. 5. 已知 a， b 均为正整数， 且 ,sin)(), 2 0( 2 sin, 22 22 ? ? ?nbaA ba ab ba n n ? ? ?其中 求证： 对一切*N?n， n A均为整数 . 参考答案参考答案 一、一、 选择题选择题 1. 由tan2?,得sin2cos?,有 22 sin4cos?,即 22 1 cos4cos?. 则 2 1 cos 5 ?,原式= 2222 16cos6cos5cos5cos1?. 2. 设xabi?, a bR?,代入原方程整理得 22 (2256)(45 )0abababab i? ? ? 有 22 22560 45

5、0 abab abab ? ? ? ? ,解得 1 1 a b ? ? ? ? 或 3 2 3 2 a b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,所以1xi? ?或 33 22 xi?. 3. 直接求 x 的个位数字很困难，需将与 x 相关数联系，转化成研究其相关数. 【解】令)22015()22015(,)22015()22015( 82198219 ?yxy则 )22015()22015( 8219 ?，由二项式定理知，对任意正整数 n. )2201515(2)22015()22015( 22 ? ?n n nnn C 为整数，且个 位数字为零. 因此，xy?是个位数字为零的整数.再对 y

6、 估值， 因为 2 . 0 25 5 22015 5 220150? ? ? ， 且 1988 )22015()22015(?， 所以. 4 . 02 . 02)22015(20 1919 ? y 故 x 的个位数字为 9. 【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题. 4. 解：被7除余2的数可写为72k ?. 由10072k ?600.知14k85. 又若某个k使72k ?能被 57 整除，则可设72k ?=57n. 即 5722 8 77 nn kn ? ?. 即2n?应为 7 的倍数. 设72nm?代入，得5716km?. 14571685m?. m=0,

7、1.于是所求的个数为70 5. 设点 P 00 (,)x y,M( , )x y,有 0 2 0 3 x x ? ? ?, 0 2 ( 1) 3 y y ? ? ? ?,得 0 3xx?, 0 32yy? 而 2 000 440yyx?,于是得点 M 的轨迹方程是 2 91240yx?. 二、二、 解答题解答题 . 1. 解：?13Axx? ?，? ? 30Bx xaxa? 当0a ?时，?03Bxaxa?，由AB ? ?得03a?； 当0a ?时，?30Bx axa?，由AB ? ?得1a ? ?； 当0a ?时， ? 2 0Bx x?，与AB ? ?不符 综上所述，? ?1,00,3a?

8、? 2. 证明：假设该校共有m个班级，他们的建议分别组成集合 m AAA, , 21 ?。这些集合中没 有两个相同（因为没有两个班级提出全部相同的建议） ，而任何两个集合都有相同的元素， 因此任何一个集合都不是另外一个集合的补集。这样在 m AAA, , 21 ?中至多有 A（所有 P 条建议所组成的集合）的 1 22 2 1 ? ? PP 个子集，所以.2 1? ? P m 3. 解:(I)由cd?, 13 3 10 22 a b? ?,得 2 (tan3) tan c dabmab? ? = 22 3 (tan3tan )0mab?,即 22 3 (tan3tan )m ab?,得 3 1

9、 (tan3tan )() 422 m ? ?. (II)由tant?,得 3 1 ( )(3 ), 4 mg ttt tR? 求导得 2 3 ( )(1) 4 mg tt?,令 ( ) 0g t ?,得 1 1t ? ?, 2 1t ? 当(, 1)t? ? ?, ( ) 0g t ?,( )g t为增函数;当( 1,1)t? ?时, ( ) 0g t ?,( )g t为减函数; 当(1,)t?时, ( ) 0g t ?,( )g t为增函数. 所以当1t ? ?,即 4 ? ? ?时,( )mg t?有极大值 1 2 ;当1t ?,即 4 ? ?时,( )mg t?有极小 值 1 2 ?.

10、 4解:(I) 1(1,0) F, 12 2 2AFBF?,设 2( , ) F x y则 1212 20AFAFBFBFa?,去掉绝对值号有两种情况,分别得 2 F的轨迹 方程为1x ?和 22 (1)(2) 1 84 xy? ?(0,4yy?) (II)直线 1 l:1x ?, 2 l:yxm?,D(1,4),椭圆 Q: 22 (1)(2) 1 84 xy? ? . 若 2 l过点 1 F或 D,由 1 F,D 两点既在直线 1 l上,又在椭圆 Q 上,但不在 2 F的轨迹上, 知 2 l与 2 F的轨迹只有一个公共点,不合题意. 若 2 l不过 1 F,D 两点(1,3mm? ?).则

11、2 l与 1 l必有一个公共点 E,且点 E 不在椭圆 Q 上, 所以要使 2 l与 2 F的轨迹有且只有两个公共点,必须使 2 l与 Q 有且只有一个公共点, 把yxm?代入椭圆的方程并整理得 22 3(104 )2810xm xmm? ? 由0? ?,得1 2 3m? ?. 5. 【思路分析】由?nsin联想到复数棣莫佛定理，复数需要?cos，然后分析 An与复数的 关系. 【证明】因为.sin1cos, 2 0, 2 sin 22 22 2 22 ba ba ba ba ab ? ? ? ? ? ? ?所以且 显然 n in)sin(cossin?为的虚部，由于 n i)sin(cos? .)( )( 1 )2( )( 1 ) 2 ( 2 22 22 222222 22 n nn n bia ba abiba ba i ba ab ba ba ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以.)()sin(cos)( 222nn bianinba?从而 nn n bianbaA 222 )(sin)(?为?的虚部. 因为, a b为整数，根据二项式定理， n bia 2 )( ?的虚部当然也为整数，所以对一切*N?n， n A为整数. 【评述】把 n A为与复数 n i)sin(cos?联系在一起是本题的关键