2014北京大学秋令营数学试题（部分含答案）.doc

1、小编微信：AA-teacher；QQ 教研群 391979252（海量资料）微信公众号：数学第六感 小编微信：AA-teacher；QQ 教研群 391979252（海量资料）微信公众号：数学资料库 2014 年年北京大学北京大学秋令营数学试题秋令营数学试题 2014 年 11 月 14 日 18:3022:30 1、已知ABC 满足 AB+AC=2R，其中 R 是外接圆的半径，且A 为钝角；A 与三角 形外接圆圆心的连线交 BC 于点 D，若ABD 的内切圆半径为 1，求ADC 的内切圆 半径。 2、证明：若 a,b 是正整数，则? ? ? ? ? 22 22 2323abab?不是完全平方

2、数。 3、已知 ai,bi,ci (i=1,2,3,4)是实数， 求证： 222 111 1abc? 4、令 求所有的正整数 n，使得 f(n)是素数 5、对正整数 n，称正整数组（ 12s ， ，.?）为 n 的一个（无序的）分拆，如果 12s +. + =n? ?， 12s .0?并称每个 i ?为分拆的项。计 0( ) Pn为项全为 奇数的 n 分拆的集合，( ) d Pn为项两两不等的 n 的分拆的集合，试在 0( ) Pn与( ) d Pn之间 建立一个双射。 6、设 d 是一个大于 100 的整数，M 是所有在十进制下数码和为 d 的倍数的正整数的 集合，an是将 M 中的数从小到

3、大排列后的第 n 个数，求证：存在无穷多个 n，使得 n andn? 小编微信：AA-teacher；QQ 教研群 391979252（海量资料）微信公众号：数学第六感 小编微信：AA-teacher；QQ 教研群 391979252（海量资料）微信公众号：数学资料库 【部分试题参考解答】【部分试题参考解答】 第一题第一题 可以猜到答案也是 1（因为 AB=AC 时答案是 1），然后只需证 ABD 和 ACD 的内切圆半径 相等，然后由于 sinC+sinB=2，而 ABD 和 ACD 的内角可以用 C、B 表示，所以用三角算 一算就可以了，另外，A 是钝角可以由 AB+AC=2R 推出，所以

4、是多余的条件。 第二题第二题 (a 2+3b2+4)2(a+2)2+3b2)(a-2)2+3b2)=(a2+3b2+4)2-16(a)2(a2+3b2-4)2，然后分类讨论 即可。 第三题第三题 小编微信：AA-teacher；QQ 教研群 391979252（海量资料）微信公众号：数学第六感 小编微信：AA-teacher；QQ 教研群 391979252（海量资料）微信公众号：数学资料库 由于 222 111222333444 222222 234223344 222 1111 1 （b +tc）( ()()() (+ ） ()()() (1)(12) aa btca btca btc a

5、aabtcbtcbtc abttctbc ? ? ? 整理一下，令 1 1 22 11 1 bc t ac ? ? 即可 第四题第四题 n 为奇数时 2 整除 f(n)， n 为偶数时 nn+1 整除 f(n) 第五题第五题 这个题在很多书上有，下面是天书的截图 第六题第六题 考虑大于考虑大于 1010 k k的 的 M M 中的最小正整数中的最小正整数 x x，有，有 1010 k k=x =x， 故我们只需证有无穷多个故我们只需证有无穷多个 k k 使得使得 x=10x=10 k kd*(k d*(k d d)+sqrt(k )+sqrt(k d d) )， ， 这显然成立，这显然成立， 小编微信：AA-teacher；QQ 教研群 391979252（海量资料）微信公众号：数学第六感 小编微信：AA-teacher；QQ 教研群 391979252（海量资料）微信公众号：数学资料库 于是于是 d100d100 是多余的条件。是多余的条件。