2013华约自主招生数学试题.doc
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1、. 2012013 3 年年华约自主招生华约自主招生数学试题数学试题 1. (10 分)集合 |10,Ax xxN?,B 为 A 的子集,若集合 B 中元素满足以下条件:任意数字都 不相等;任意两个数之和不为 9 (1)B 中两位数有多少?三位数有多少? (2)B 中是否有五位数?六位数? (3)若将集合 B 的元素按从小到大的顺序排列,第 1081 个数为多少? 2. (15 分) 1 sinsin 3 xy?, 1 coscos 5 xy?,求sin()xy?与cos()xy?的值 3. (15 分)直线ykx?与ykx? ?上两点(,) AA A xy、(,) BB B xy, 2 |
2、| 1OAOBk? ? (1)求 AB 中点 M 的轨迹 C; (2)若曲线 C 与 2 2xpy?相切于两点,求证两个切点在定直线上,并求过两切点的切线方程 4. (15 分)7 个红球,8 个黑球,从中任取 4 个球 (1)求取出的球中恰有 1 个是红球的概率; (2)求所取出球中黑球个数 X 的分布列及期望?E X; (3)若所取出的 4 个球颜色相同,求恰好全黑的概率 5. (15 分) 2 1nnn acaa ? ?, 1 0a ?,0c ?,求证: (1)对0M?,总存在正整数 N,使nN?满足 n aM?; (2) 1 1 n n b ca ? ? , 12nn Sbbb?,对任意0d ?总存在 k 使得nk?时, 1 1 0 | n Sd ca ? 6. (15 分), ,x y z是两两不相等且大于1的正整数,若|(1)(1)(1)xyzxyxzyz?,求, ,x y z的所有值 7. (15 分)已知( )(1)1 x f xx e?,求证: (1)对0x? ?,( )0f x ?; (2)若 1 1 nn xx n x ee ? ?,求证: n x单调递减且 1 2 n n x ?
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