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类型2011华约自主招生数学试题.doc

  • 上传人(卖家):secant
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    资源描述:

    1、. 2012011 1 年年华约自主招生华约自主招生数学试题数学试题 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1. 设复数 z 满足1z ?且 15 2 z z ?,则z ?( ) A、 4 5 B、 3 4 C、 2 3 D、 1 2 2. 在正四棱锥 P-ABCD 中,M,N 分别为 PA,PB 的中点,且侧面与地面所成二面角的正切值为2则 异面直线 DM 与 AN 所成交角的余弦值为( ) A、 1 3 B、 1 6 C、 1 8 D、 1 12 3. 过点?1,1?的直线 l 与曲线 32 21yxxx?相切,且?1,1?不

    2、是切点,则直线 l 的斜率是( ) A、2 B、1 C、1? D、2? 4. 若 2 3 AB ? ?,则 22 coscosAB?的最小值和最大值分别为( ) A、 3 3 1, 22 ? B、 1 3 , 2 2 C、 33 1,1 22 ? D、 12 ,1 22 ? 5. 如图, 1 O和 2 O外切于点 C, 1 O, 2 O又都和O 内切, 切点分别为 A,B,AOBACB?,则( ) A、cossin0 2 ? ? B、sincos0 2 ? ? C、sin2sin0? D、sin2sin0? 6. 已知异面直线, a b所成60角,A 为空间中一点,则过 A 与, a b都 成

    3、45角的平面( ) A、有且只有一个 B、有且只有两个 C、有且只有三个 D、有且只有四个 7. 已知向量?0,1?a, 31 , 22 ? ? ? ? ? ? b, 31 , 22 ? ? ? ? ? c,?1,1xyz?abc则 222 xyz?的最小值为 ( ) A、1 B、 4 3 C、 3 2 D、2 8. AB 为过抛物线 2 4yx?焦点 F 的弦,O 为坐标原点,且135OFA?,C 为抛物线准线与 x 轴的交点, B A O1 O O2 C . 则ACB?的正切值为( ) A、2 2 B、 4 2 5 C、 4 2 3 D、 2 2 3 9. 如图, 已知ABC的面积为 2,

    4、 D, E 分别为边 AB, 边 AC 上的点, F 为线段 DE 上一点,设, ADAEDF xyz ABACDE ?,且1yzx? ?, 则BDF面积的最大值为( ) A、 8 27 B、 10 27 C、 14 27 D、 16 27 10. 将一个正 11 边形用对角线划分为 9 个三角形,这些对角线在正 11 边形内两两不相交,则( ) A、存在某种分法,所分出的三角形都不是锐角三角形 B、存在某种分法,所分出的三角形恰有 2 个是锐角三角形 C、存在某种分法,所分出的三角形至少有 3 个锐角三角形 D、任何一种分法所分出的三角形都恰有 1 个锐角三角形 二、解答题:解答应写出文字说

    5、明,证明过程或演算步骤 11. (本小题满分 14 分) 已知ABC不是直角三角形 ()证明:tantantantantantanABCABC?; ()若 tantan 3tan1 tan BC C A ? ? ?,且sin2 ,sin2 ,sin2ABC的倒数成等差数列,求cos 2 AC? 的值 12. (本小题满分 14 分) 已知圆柱形水杯质量为 a 克,其重心在圆柱轴的中点处(杯底厚度及重量忽略不计,且水杯直立放 置) 质量为 b 克的水恰好装满水杯,装满水后的水杯的重心还在圆柱轴的中点处 ()若2ba?,求装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值; ()水杯内装多少克

    6、水可以使装入水后的水杯的重心最低?为什么? 13. (本小题满分 14 分) 已知函数 2 ( ) x f x axb ? ? ,(1)1f?, 12 23 f ? ? ? ? ,令 1 1 2 x ?, 1 () nn xf x ? ? ()求数列 n x的通项公式; ()证明: 1 2 1 2 n x xx e ? 14. (本小题满分 14 分) 已知双曲线 22 22 :1 xy C ab ?(0,0ab?) , 1 F, 2 F分别为 C 的左、右焦点,P 为 C 右支上一点,且使 12 3 FPF ? ?,又 12 FPF的面积为 2 3 3a ()求 C 的离心率 e; B A C D E F . ()设 A 为 C 的左顶点,Q 为第一象限内 C 上的任意一点,问是否存在常数(0)? ?,使得 22 QF AQAF? ?恒成立若存在,求出?的值;若不存在,请说明理由 15. (本小题满分 14 分) 将一枚均匀的硬币连续抛掷 n 次,以 n p表示未出现连续 3 次正面的概率 ()求 123 ,p pp和 4 p; ()探究数列 n p的递推公式,并给出证明; ()讨论数列 n p的单调性及其极限,并阐述该极限的概率意义

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