（全国市级联考Word）江苏省苏州市2018届暑假自主招生学习测试数学试题.doc

1、. 江苏省苏州市江苏省苏州市 20182018 届暑假自主学习测试数学试题届暑假自主学习测试数学试题 第第卷卷 一一、填空题（每题、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 7 70 0 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 1.已知集合?21 ,1,0,1AxxB? ?，则AB? 2.已知3 2 abi i i ? ? ? （,a bR i?为虚数单位） ，则ab?的值是 3.运行如图所示的流程图，则输出的结果S是 4.有五条线段，其长度分别为 2，3，4，5，7.现任取三条，则这三条线段可以构成三角形的的概率 是 5.为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整

2、理后，画出了频率分布直方图（如 图） ，已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1 : 2 : 3，第 2 小组的频数为 12，则报考飞行员的学 生人数是 6.若双曲线? 2 2 10 x ym m ?的右焦点与抛物线 2 8yx?的焦点重合，则m的值是 7.将函数?20ysinx?)的图象沿x轴向左平移 8 ? 个单位，得到函数? ?yf x?的图象，若函数 ? ?yf x?的图象过原点，则?的值是 8.已知平面向量(),2,110aa b?，若5 2ab?，则b的值是 9.如图， 正四棱锥PABCD?的底面一边AB的长为2 3cm，侧面积为 2 8 3cm， 则它的体积为 3 cm.

3、 . 10.已知函数? ? 2 2f xxabxab?.若? ?04f?，则? ?1f的最大值是 11.等差数列? ? n a的前n项和为 n S，且? 2* 16152, nn aSnnnnN?，若对任意 * nN?，总有 nk SS?， 则k的值是 12.已知点?1,0A和点?0,1B，若圆 22 2+40xyxyt? ?上恰有两个不同的点P，使得PAB?的面积为 1 2 ， 则实数t的取值范围是 13.已知函数? ?0 a f xxa x ?，当?1,3x?时，函数? ?f x的值域为A，若?8,16A?，则a的值 是 14.设? ?f x是定义在R上的偶函数，且当0x ?时，? ?2x

4、f x ?，若对任意的?,2xa a?，不等式 ? ? 2 f xafx?恒成立，则实数a的取值范围是 二二、解答题、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 9 90 0 分分. .解答应写出文解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤. .） 15.在平面直角坐标系中，设向量 ? 3,cos ,3mcosA sinA nBsinB?，其中,A B为ABC?的两个内角. （1）若mn?，求证：C为直角； （2）若/ /mn，求证：B为锐角. 16.如图，在三棱锥PABC?中，已知平面PBC ?平面ABC. （1）若,ABBC CPPB?，求证：CPPA?；

5、 （2）若过点A作直线l ?平面ABC，求证：l ?平面PBC. 17. 某公司设计如图所示的环状绿化景观带，该景观带的内圈 由两条平行线段（图中的,AB DC)和两个半 . 圆构成，设ABxm?，且80x ?. （1）若内圈周长为400m，则x取何值时，矩形ABCD的面积最大？ （2）若景观带的内圈所围成区域的面积为 2 22500 m ? ，则x取何值时，内圈周长最小？ 18.如图，已知椭圆 2 2 :1 4 x Oy?的右焦点为F，点,B C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线:2l y ? ? 上的一个动点（与y轴的交点除外） ，直线PC交椭圆于另一个点M. （1）当直线PM经过椭圆的

6、右焦点F时，求FBM?的面积； （2）记直线,BM BP的斜率分别为 12 ,k k，求证： 12 kk?为定值； 求PB PM?的取值范围. 19. 已知数列? ? n a满足? * 1 43 nn aannN ? ?. （1）若数列? ? n a是等差数列，求 1 a的值； （2）当 1 2a ?时，求数列? ? n a的前n项和 n S； （3）若对任意 * nN?，都有 22 1 1 5 nn nn a a aa ? ? ? ? 成立，求 1 a的取值范围. 20.已知函数? ? 2x f xaxx e?，其中e是自然对数的底数，aR?. （1）若/? ?fx?是函数? ?f x的导函

7、数，当0a ?时，解关于x的不等式? ? x efx?； (2)若? ?f x在?1,1?上是单调增函数，求a的取值范围； （3）当0a ?时，求整数k的所有值，使方程? ?2f xx?在?,1k k ?上有解. . 第第卷（卷（附加题附加题） 21.21.【选做题】在【选做题】在, , ,A B C D四小题中，只能选做四小题中，只能选做 2 2 题，每小题题，每小题 1010 分，共计分，共计 2020 分分. .请在答题卡指请在答题卡指 定区域内作答定区域内作答. .解答时应写出文字说解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤. . A. 如图，圆O的直径4,ABC?

8、为圆周上一点，2BC ?,过C作圆O的切线l，过A作l的垂线AD，AD分 别与直线l和圆O交于点,D E，求线段AE的长. B. 在平面直角坐标系xOy中， 设点?,5P x在矩阵 1 2 3 4 M ? ? ? ? 对应的变换下得到点?2,Q yy?， 求 1 x y M ? ? ? ? ? ? ? . C.在极坐标系中，设直线l过点?3,3,0 6 AB ? ? ? ，且直线l与曲线?:cos0Caa?有且只有一个公共 点，求实数a的值. D.已知, ,x y z均为正数，求证： 111xyz yzzxxyxyz ?. 【必必做题】做题】第第 2222 题、第题、第 2323 题，每题，每

9、题题 1010 分，共计分，共计 2020 分分. .请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答. .解答时解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 22. 如 图 ， 在 四 棱 锥PABCD?中 ， 底 面ABCD为 直 角 梯 形 ，90ABCBAD?， 且 1 1 2 PAABBCAD?，PA?平面ABCD. （1）求PB与平面PCD所成角的正弦值； (2) 棱PD上是否存在一点E满足90AEC?若存在，求AE的长；若不存在，说明理由. 23.设集合?1,0,1M ? ?，集合 ? 12 ,1,2, nni Ax xx xM in?，集合

10、 n A中满足条件 “ 12 1 n xxxm?”的元素个数记为 n m S. . （1）求 2 2 S和 4 2 S的值； (2)当mn?时，求证： 11 322 nnmn m S ? ?. 试卷答案试卷答案 一、一、填空题填空题 . 1?1,0? 2. 6 3. 1 2 4. 1 2 5. 48 6. 3 7. 3 4 ? 85 9. 4 10. 7 11. 7 12. 1 9 , 2 2 ? ? ? 13. 15 14. 3 2 a ? ? 二、二、解答题解答题 15.（1）易得?coscossinsin3cosm nABABAB?， 因为mn?，所以0m n?，即?coscos 2 A

11、B ? ?. 因为0AB?，且函数cosyx?在?0,?内是单调减函数， 所以 2 AB ? ?，即C为直角. （2）因为/ /mn，所以 ? 3cos3sinsincos0ABAB? ?， 即sincos3cossin0ABAB?. 因为,A B是三角形内角，所以coscos0AB ?， 于是tan3tanAB?，因而,A B中恰有一个是钝角， 2 AB ? ?， 从而? 22 tantan3tantan2tan tan0 1tantan13tan13tan ABBBB AB ABBB ? ? ? ， 所以tan0B ?，即证B为锐角 注： （2）解得tan3tanAB?后，得tan A与t

12、anB异号， 若tan0B ?， 则? 22 tantan3tantan2tan tanCtan0 1tantan13tan13tan ABBBB AB ABBB ? ? ? ? ? ? 于是，在ABC?中，有两个钝角B和C，这与三角形内角和定理矛盾，不可能 于是必有tan0B ?，即证B为锐角 16.（1）因为平面PBC ?平面ABC，平面PBC ?平面ABCBC?， AB ?平面ABC，ABBC?，所以AB ?平面PBC. 因为CP ?平面PBC，所以CPAB? 又因为CPPB?，且PBABB?，PB ?平面PAB， 所以CP ?平面PAB， 又因为PA?平面PAB，所以CPPA?. （2

13、）在平面PBC内过点P作PDBC?，垂足为D. 因为平面PBC ?平面ABC，又平面PBC ?平面ABCBC?, . PD ?平面PBC，所以PD ?平面ABC. 又l ?平面ABC，所以/ /lPD. 又l ?平面PBC，PD ?平面PBC，/ /l平面PBC. 17.设题中半圆形半径为? ?r m，矩形ABCD的面积为? 2 S m， 内圈周长为? ?c m. （1）由题意知：2Srx?，且22400xr?，即200xr?， 于是? 2 2 2220000 2 2 xr Srxxrm ? ? ? ? ? ? ? ? 当且仅当? ?100xrm?时，等号成立. 答：当? ?100xm?时，矩

14、形ABCD的面积最大. （2）由题意知： 2 22500 2rxr? ? ?，于是 22500 22 xr r ? ? ?， 从而 2250022500 2222 22 cxrrrr rr ? ? ? ? ? ? ? . 因为80x ?，所以 22500 80 22 r r ? ? ? ?，即? 2 160225000rr?， 解得25090r?，所以 90 0r ? ?，故 2 2 1 8100r ? ?. 因为 2 2 2250012250016 0 81009 c r ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以关于r的函数 22500 cr r ? ? ?在 90 0, ? ? ? ? ?

15、上是单调减函数. . 故当 90 r ? ?即? ? 2250090 80 2 902 xm ? ? ? ? 时，内圈周长c取得最小值， 且最小值为? ? 22500 90340 90 m?. 18.（1）由题意?0,1 ,0, 1BC?，焦点 ? 3,0F， 当直线PM过椭圆的右焦点F时，则直线PM的方程为1 13 xy ? ? ，即 3 1 3 yx?， 联立 2 2 1 4 3 1 3 x y yx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，解得 8 3 7 1 7 x y ? ? ? ? ? ? ? ? ? 或 0 1 x y ? ? ? ? ? (舍） ，即 8 3 1 , 77 M ?

16、 ? ? ? . 连BF，则直线:1 13 xy BF?，即 330xy?， 而2BFa?， ? 2 2 8 31 2 3 33 77 3 7 27 13 d ? ? ? . 故 1133 2 2277 MBF SBF d ? ? ?. （2）解:法一：设?, 2P m ?，且0m ?，则直线PM的斜率为 ?121 0 k mm ? ? ? ? ? ? ， 则直线PM的方程为 1 1yx m ? ?， 联立 2 2 1 1 1 4 yx m x y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 化简得 2 2 48 10xx mm ? ? ? ? ， 解得 2 22 84 , 44 mm M mm

17、? ? ? ? ? ， 所以 2 2 2 1 2 4 1 21 4 8 84 4 m m m km m m m ? ? ? ? ? ? ? ? ， ? 2 123 0 k mm ? ? ? ? ? ， 所以 12 3 13 44 kkm m ? ? ?为定值. 由知，?,3PBm? ?， 232 2222 841212 ,2, 4444 mmmm m PMm mmmm ? ? ? ? ? ? ， 所以? 3242 222 12121536 ,3, 444 mm mmm PB PMm mmm ? ? ? ? ? ? ， . 令 2 44mt? ? 故 ? 2 2 415436788 7 tttt

18、 PB PMt ttt ? ? ?， 因为 8 7yt t ? ?在?4,t?上单调递增， 所以 88 7479 4 PB PMt t ? ?，即PB PM?的取值范围为?9,?. 解法二：设点? 000 ,0M x yx ?，则直线PM的方程为 0 0 1 1 y yx x ? ?， 令2y ? ?，得 0 0 , 2 1 x P y ? ? ? ? ? . 所以 ? 0 0 12 0 00 0 311 21 , 1 yy kk x xx y ? ? ? ? ? ? ， 所以 ? ? 22 00 0 0 12 2 2 000 0 3131 311 3 = 44 1 yy yy kk xxxy ? ? ? ? ? (定值）. 由知， 0 0 ,3 1 x PB y ? ? ? ? ? ， 0 00 0 ,2 1 x PMxy y ? ? ? ? ? ， 所以，? ? ? ? 2 00 00 000 2 00