1.3.2函数的极值与导数 (02)（2021人教A版） 高中数学选修2-2资料）.pptx

1、第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 高中数学 选修2-2 人教A版 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 1.函数的极大值 一般地,设函数y=f(x)在点x0及附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有 f(x)f(x0) ,就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0),x0是极小值点. 极大值点与极小值点统称为 极值点 ;极大值与极小值统称为 极值 . 1 |极值点与极值 1.3.2 函数的极值与导数 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 2 |求可

2、导函数y=f(x)的极值的方法 解方程f (x)=0.当f (x0)=0时: 如果在x0附近的左侧 f(x)0 ,右侧 f(x)0 ,那么 f(x0)是极大值; 如果在x0附近的左侧 f (x)0 ,那么 f(x0)是极小值. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 1.若函数f(x)在(a,b)内有极值,则f(x)在(a,b)内一定不单调.( ) 提示:根据极值的概念,若极值点两边导数不同号,则函数不单调. 2.函数的极大值一定大于极小值.( ) 提示:极值是函数局部的最值,若极大值和极小值不相邻,则极大值不一定大于极小 值. 3.在可导函数

3、的极值点处,切线与x轴平行或重合.( ) 提示:由极值的定义可知,切线的斜率k=f(x0)=0,所以切线与x轴平行或重合. 4.函数f(x)=有极值.( ) 提示:因为f(x)=- =0无解,所以f(x)无极值. 1 x 2 1 x 判断正误，正确的画“ ” ，错误的画“ ” . 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 5.若f(x)=x3+1,则x=0是函数f(x)的极值点.( ) 提示:由f(x)=3x20,得f(x)在x=0两侧的符号相同,x=0不是函数f(x)的极值点. 6.函数f(x)=x3+ax2-x+1必有两个极值.( ) 提示:

4、f(x)=3x2+2ax-1,=4a2+120,f(x)=0有两个零点,且在每个零点的两边导数 异号,故必有两个极值. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 1 |利用导数分类讨论破解含参数函数的极值 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域; (2)求函数的导数 f(x); (3)由 f(x)=0求出全部的根; (4)列表:方程的根将整个定义域分成若干个区间(如果根中含有参数,需根据参数 的范围,分类划分区间),把x, f(x), f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内; (5)判断得结论:若导数在某根x0附近左正右负,

5、则函数在x0处取得极大值;若左负右 正,则取得极小值. 有关含有参数函数的极值问题,一般有两类:一类是求含有参数函数的极值,另 一类是由极值求参数的值或取值范围.解决此类问题,先分清类型,再通过分类讨论 思想逐步破解. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 ()(1)若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2(xR)在x=1处取得极值10,求实数a,b的值; (2)已知函数f(x)=x3-(m+3)x2+(m+6)x(xR,m为常数)在(1,+)内有两个极值点, 求实数m的取值范围. 解析解析 (1) f(x)=3x2+2ax+b, 依题意得即

6、 解得或 当时, f(x)=3x2-6x+3=3(x-1)20,且只有当x=1时,f(x)=0,故f(x)在R上单调递 增,不可能在x=1处取得极值,所以不符合题意,应舍去. 1 3 1 2 (1)10, (1)0, f f 2 9, 2-3, aab ab 4, -11 a b -3, 3. a b -3, 3 a b -3, 3 a b 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 当时,经检验符合题意,故a,b的值分别为4,-11. (2) f(x)=x2-(m+3)x+m+6. 因为函数f(x)在(1,+)内有两个极值点, 4, -11 a

7、b 所以 f (x)=x2-(m+3)x+m+6的图象在(1,+)内与x轴有两个不同的交点,如图所示. 所以解得m3. 故实数m的取值范围是(3,+). 易错警示 (1)中,注意 f(x0)=0是x0为极值点的必要不充分条件. 2 -(3) -4(6)0, (1)1-(3)60, 3 1, 2 mm fmm m 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 跟踪训练跟踪训练1()设函数f(x)=-k(k为常数,e=2.718 28是自然对数的 底数). 2 ex x 2 lnx x (1)当k0时,求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在(

8、0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围. 解析解析 (1)函数的定义域为(0,+), f(x)=-k =(x0), 由k0可得ex-kx0, 所以当x(0,2)时, f(x)0,函数f(x)单调递增. 所以k0时, f(x)的单调递减区间为(0,2), f(x)的单调递增区间为(2,+). 2 4 e-2 e xx xx x 2 21 - xx 3 ( -2)(e -) x xkx x 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 (2)由(1)知,当k0时, f(x)在(0,2)内单调递减, 故f(x)在(0,2)内不存在极值点; 当k0时,设函

9、数g(x)=ex-kx,x(0,+),因此g(x)=ex-k=ex-eln k. 当00,函数y=g(x)单调递增, 故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点; 当k1时,列表如下: x (0,ln k) ln k (ln k,+) g(x) - 0 + g(x) 极小值 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 因为函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点, 所以解得ek. 综上,函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时,k的取值范围为. (0)0, (ln )0, (2)0, 0ln2, g gk g k 2 e 2 2 e e, 2 第第

10、1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 2 |利用极值处理函数的综合问题 比较复杂的函数的综合问题,常常在高考压轴题中出现,涉及函数的图象与性 质,例如函数的单调性、奇偶性、函数的零点等.解决此类问题可通过极值的正用 和逆用、分类讨论、数形结合等思想方法进行有效处理,但需要注意已知与未知 的转化.解题的关键是掌握求单调区间和极值的方法.与“三次函数”有关的零点 个数问题,往往通过函数的极值符号来解决,设某三次函数存在极大值与极小值,且 极大值为f(M),极小值为f(m):一个零点时, f(M)0;两个零点时, f(m)=0或 f(M)=0;三个零点

11、时, f(m)0. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 ()已知函数f(x)=x3-3x2-9x+11. (1)求函数的递减区间; (2)求函数的极值; (3)讨论方程f(x)=m的根的个数. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 解析解析 f(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3), 令 f(x)=0,得x1=-1,x2=3. 当x变化时, f(x)、 f(x)的变化情况如下表: (1)由表可得函数的递减区间为(-1,3). (2)由表可得,当x=-1时,函数有极大值f(-1)=

12、16;当x=3时, 函数有极小值 f(3)=-16. (3)当x=0时, f(x)=11,结合函数的单调区间及极值的情况 可画出 f(x)的大致图象,如图. x (-,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+) f(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 方程f(x)=m的根可看作函数f(x)的图象与直线y=m的交点的横坐标. 由图知,当m-16时,函数f(x)的图象与直线y=m有一个交点,故方程有一个根; 当-16m16时,函数f(x)的图象与直线y=m有一个交点,故方程有一个根; 当m=1

13、6或m=-16时,函数f(x)的图象与直线y=m有两个交点,故方程有两个根. 综上,当m16时,方程有一个根; 当-16m0,得x0, 令f(x)0,得-2x0, 所以f(x)的单调递增区间是(-,-2)和(0,+),单调递减区间是(-2,0). (2)由(1)知,f(x)=x3+x2+b, f(-2)=+b为函数f(x)的极大值, f(0)=b为函数f(x)的极小值. 因为函数f(x)在区间-3,3上有且仅有一个零点, 所以或或或或 解得-18b-,即b的取值范围是. 1 3 4 3 (-3)0, (0)0 f f (3)0, (-2)0 f f (-3)0, (3)0 f f (-2)0, (3)0 f f (-3)0, (0)0, f f 4 3 4 -18,- 3