专题强化练5 利用导数解决生活中的优化问题 （2021人教A版） 高中数学选修2-2资料）.docx

1、第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 专题强化练专题强化练 5 利用导数解决生活中的优化问题利用导数解决生活中的优化问题 解答题 1.(2019 江苏南通高三下质量调研检测,)某公司代理销售某种品牌的小商品, 该商品进价为 5 元/件,销售时还需交纳品牌使用费 3 元/件,售价为 x 元/件,其中 10 x30,且 xN *.根据市场调查,当 10 x15,且 xN*时,每月的销售量 h(万件)与 (18-x) 2成正比;当 15x30,且 xN*时,每月的销售量 h(万件)与 1- 成反比.已知 售价为 15 元/件时,月销售量为 9 万件. (1)求该公司的月利润 f(x)(万件)与每件

2、商品的售价 x(元)的函数关系式; (2)当每件商品的售价为多少元时,该公司的月利润 f(x)最大?并求出最大值. 2.(2019 江苏启东中学高二下期中,)如图是一个半径为 2 千米,圆心角为 的 扇形游览区的平面示意图,C 是半径 OB 上一点,D 是圆弧 AB 上一点,且 CDOA.现在 线段 OC,线段 CD 及圆弧 DB 三段所示位置设立广告位,经测算广告位出租收入是线 段 OC 处每千米为 2a 元,线段 CD 及圆弧 DB 处每千米均为 a 元.设AOD=x 弧度,广 告位出租的总收入为 y 元. (1)求 y 关于 x 的函数解析式,并指出该函数的定义域; (2)试问:x 为何

3、值时,广告位出租的总收入最大?并求出其最大值. 3.(2019 山东泰安高三上期中,)如图,AOB 是一块半径为 r 的扇形空 地,AOB= .某单位计划在空地上修建一个矩形的活动场地 OCDE 及一个矩形停车 场 EFGH(D、G 在弧 AB 上),剩余的地方进行绿化.若BOG= ,设AOD=. (1)记活动场地与停车场占地总面积为 f(),求 f()的表达式; (2)当 cos 为何值时,可使活动场地与停车场占地总面积最大? 4.(2019 湖北四校高二下期中联考,)如图,将半径为 3 的圆形铁皮剪去一 个圆心角为 的扇形,用剩下的扇形铁皮制成一个圆锥形的容器,记该圆锥的高为 h,体积为

4、V. (1)求体积 V 关于 h 的函数解析式; (2)求当扇形的圆心角 多大时,容器的体积 V 最大. 5.(2019 江苏扬州高二上期末,)2019 年扬州市政府打算在如图所示的某“葫 芦”形花坛中建一喷泉,该花坛的边界是由两个半径均为 12 米的圆弧围成,两圆心 O1、O2之间的距离为 12 米.若该喷泉为矩形喷泉,且其四个顶点 A,B,C,D 均在圆弧 上,O1O2AB 于点 M.设AO2M=. (1)当 = 时,求喷泉 ABCD 的面积 S; (2)当 cos 为何值时,可使喷泉 ABCD 的面积 S 最大? 解决生活中的优化问题解决生活中的优化问题 答案全解全析答案全解全析 解答题

5、 1.解析解析 (1)由题意可设 h=k1(18-x) 2(10 x15,xN*),h= - (15x30,xN *), 因为当 x=15 时,h=9, 所以代入上述两式可得 k1=1,k2=3, 故 f(x)= - - - - (2)当 10 x15,xN *时, f(x)=(x-8)(18-x)2, 所以 f(x)=(x-18)(3x-34), 令 f(x)=0,得 x= (x=18 舍去). x 变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: x ( ) ( ) f(x) + 0 - f(x) 极大值 因为 xN *,且 f(11)=147, f(12)=144, 所以当 x=11 时,

6、f(x)取得最大值 147. 当 15x30,xN *时, f(x)= - - , 令 t=x-10,则 g(t)= , 即 g(t)=3( ),50,所以 g(t)在(5,20,且 tN *上单调递增, 所以当 t=20 时,g(t)取得最大值 99,此时 x=30. 综上,当 x=11 时, f(x)取得最大值 147,即当每件产品的售价为 11 元时,该公司的 月利润 f(x)最大,且最大值为 147 万元. 2.解析解析 (1)因为 CDOA, 所以ODC=AOD=x 弧度. 在OCD 中,OCD= ,COD= -x,OD=2 千米. 所以由正弦定理,得 = ( - ) = = , 所

7、以 OC= sin x 千米,CD= sin ( - )千米. 又圆弧 DB 的长为 2( - )千米, 所以 y=2a sin x+a sin ( - )+2( - ) =2a( - ),x( ). (2)记 f(x)=2a( - ),x( ), 则 f(x)=2a( cos x-sin x-1) =2a 2cos x+ -1 , 令 f(x)=0,得 x= . x 变化时, f(x), f(x)的变化情况如下表: x ( ) ( ) f(x) + 0 - f(x) 极大值 所以 f(x)在 x= 处取得极大值,这个极大值就是最大值,即 f( )=2a + =2 + a. 故当 x= 时,广

8、告位出租的总收入最大,最大值为 2( )a 元. 3.解析解析 (1)由题意得,在矩形 OCDE 中,COD=,OC=rcos ,OE=rsin , 矩形 OCDE 的面积 S矩形 OCDE=OCOE=r 2sin cos . 又BOG= ,四边形 EFGH 是矩形, HG=rsin = ,OH=rcos = , HE=OH-OE=r( - ), 矩形 EFGH 的面积 S矩形 EFGH=HGHE= ( - ), f()=S矩形 OCDE+S矩形 EFGH =r 2sin cos + ( - ) =r 2( - ),( ). (2)易得 f()=r 2(cos2-sin2- cos )= (4

9、cos 2-cos -2), 令 f()=0,得 4cos 2-cos -2=0, 解得 cos = 或 cos = - (不合题意,舍去), 令 cos 0= ,则 0( ). 当 (0,0)时, f()0, f()单调递增; 当 ( )时, f()0, f()单调递减. 当 =0时, f()取得最大值,即 cos = 时,可使活动场地与停车场占地总 面积最大. 4.解析解析 (1)设圆锥的底面半径为 r,则 r 2+h2=R2. 根据圆锥的体积公式得 V(h)= r 2h= (R 2-h2)h, R=3 , V(h)=- h 3+9h,0h3 . (2)V(h)=- h 3+9h(0h0,

10、得 0h3;令 V(h)0,得 3h3 . 当 h(0,3)时,V(h)单调递增;当 h(3,3 )时,V(h)单调递减. 当 h=3 时,V(h)取得最大值,最大值为 V(3)=18,设此时圆锥底面圆的半径为 r1, 又 +h2=R2,r1=3 . R(2-)=2r1, = - , 即 = - 时,容器的体积 V 最大. 5.解析解析 (1)在 RtAO2M 中,AM=12sin =12sin =6 ,O2M=12cos =12cos =6 , 则 AD=2O2M+O1O2=12 +12,AB=2AM=12 , 所以 S=ABAD=12 (12 +12)=(288+144 )平方米, 故矩形

11、 ABCD 的面积 S 为(288+144 )平方米. (2)在 RtAO2M 中,AM=12sin ,O2M=12cos ,则 AD=24cos +12,AB=24sin , 所以矩形 ABCD 的面积 S=24sin (24cos +12)=288(2sin cos +sin ). 令 f()=2sin cos +sin ,0 , 则 f()=2cos 2+cos =4cos 2+cos -2, 令 f()=0,得 cos = - (负值舍去). 设 cos 0= - ,且 00 , 列表如下: (0,0) 0 ( ) f() + 0 - f() 极大值 所以当 =0时, f()最大,即 S 最大. 此时 cos 0= - , 即当 cos = - 时,可使喷泉 ABCD 的面积 S 最大.