山东省德州市庆云一中卓越班2020-2021学年高二上学期第六次周考数学试题 Word版含答案.docx

1、 庆云一中庆云一中 20192019 级卓越班第六次周考数学试题级卓越班第六次周考数学试题 一、单项选择题单项选择题：本题共：本题共8小题，每小题小题，每小题5分，共分，共40分分 1.设 12 FF是椭圆 22 1 1612 xy 的两个焦点，P是椭圆上一点，且点P到两个焦点的距离之差为 2，则 12 PFF是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.斜三角形 D.直角三角形 2.一动圆与两圆： 22 1xy和 22 8120 xyx都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A.抛物线 B.圆 C.双曲线的一支 D.椭圆 3.若双曲线 22 1 3 xy mm 的一个焦点为(2,0)，则 m 的值

2、为( ) A. 1 2 B.1 或 3 C. 12 2 D. 21 2 4.若抛物线 2 16xy上一点 00 ,x y到焦点的距离是该点到x轴距离的 3 倍,则 0 y ( ) A. 1 2 B.2 C.1 D.2 5.已知椭圆C上任意一点,P x y都满足关系式 2222 (1)(1)4xyxy,则椭圆C的标准 方程为( ) A. 22 1 34 xy B. 22 1 43 xy C. 22 1 1615 xy D. 2 2 1 4 x y 6.已知双曲线 22 1 259 xy 上有一点 M到左焦点 1 F的距离为18,则点 M到右焦点 2 F的距离是( ) A.8 B.28 C.12

3、D.8 或 28 7.已知椭圆 22 :1 54 xy C的左、右焦点分别为 12 F F P, 为椭圆上的一个动点有下列命题: 椭圆的长轴长是5； 12 PFF内切圆面积的最大值是 35 2 ； 12 cosFPF 的最小值是 1 2 其中正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8.如图,圆 2 2 :11Fxy和抛物线 2 4 y x ,过F的直线与抛物线和圆依次 交于, , ,A B C D四点,则| |ABCD的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.无法确定 二、二、多项选择题：本题共多项选择题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分全部选对的得分分全部选对

4、的得分5分，部分选对分，部分选对 的得的得3分，有选错的得分，有选错的得0分分 9.已知 12 ,F F分别是双曲线 22 :1C xy的左、右焦点,点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点,且 向量 12 0PF PF uuu r uuu r ,则下列结论正确的是( ) A.双曲线C的渐近线方程为yx B.以 12 F F为直径的圆的方程为 22 1xy C. 1 F到双曲线的一条渐近线的距离为 1 D. 12 PFFV的面积为 1 10.椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F和 2, F P为椭圆C上的动点,则下列说法正 确的是( ) A.2ab,满足 12

5、 90FPF的点P有两个 B.2ab,满足 12 90FPF的点P有四个 C. 12 PFFV的面积的最大值为 2 2 a D. 12 PFFV的周长小于4a 11.已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F,准线为l,过点F的直线与抛物线交于点 1122 ,P x yQ x y,点P在l上的射影为 1 P,则( ) A.若 12 6xx,则8PQ B.以 PQ为直径的圆与准线l相切 C.设0,1M,则 1 2PMPP D.过点0,1M与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有 2 条 12.设椭圆的方程为 22 1 24 xy ,斜率为k的直线l不经过原点O,且与椭圆相交于, A B两点,M 为线

6、段AB的中点,则下列结论正确的是( ) A.1 ABOM kk B.若点M坐标为1,1,则直线l的方程为230 xy C.若直线l的方程为1yx,则点M坐标为 1 4 , 3 3 D.若直线l的方程为2yx,则 4 2 | 3 AB 三、三、填空题：本题共填空题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分把答案填在题中横线上分把答案填在题中横线上 13.过点4,1Q作抛物线 2 8yx的弦AB,恰被点Q平分,则弦AB所在直线的方程为 _. 14.设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的两焦点为 12 ,F F.若椭圆上存在点P,使 12 120FPF,则椭圆的离 心率e的取

7、值范围为_. 15.已知双曲线过点 4, 3,且渐近线方程为 1 2 yx ,则双曲线的标准方程为_. 16.P 为椭圆 2 2 :1 4 x Cy 上一点，(1,0)A,则PA最小值为_. 四、四、解答题：本题共解答题：本题共6小题，共小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为(1,0) (1)求抛物线的标准方程及准线方程 (2)斜率为 1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于A B 、 两点，求线段AB的长 18.椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率是 2 2 ,过点0,1

8、P的动直线l与椭圆C相交于, A B两点, 当直线l与x轴平行时,直线l被椭圆C截得的线段长为2 6. (1)求椭圆C的方程. (2)在y轴上是否存在异于点P的定点Q,使得直线l变化时,总有PQAPQB?若存在,求出 点Q的坐标；若不存在,请说明理由. 19.已知抛物线 2 2yx的焦点是F,点P是抛物线上的动点,点3,2A. (1)求|PAPF的最小值,并求出取最小值时点P的坐标； (2)求点P到点 1 ,2 2 B 的距离与到直线 1 2 x 的距离之和的最小值. 20.已知曲线 22 :1C xy和直线:1l ykx. (1)若直线l与曲线C有两个不同的交点,求实数k的取值范围； (2)

9、若直线l与曲线C交于, A B两点,O是坐标原点,且AOBV的面积为2,求实数k的值. 21.已知抛物线y24x，椭圆x 2 9 y2 m 1，它们有共同的焦点F2，并且相交于P、Q两点，F1是椭圆的另一个焦点， 试求：(1)m的值； (2)P、Q两点的坐标； (3)PF1F2的面积 22.已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 12 FF、 ，焦距为2 6，过 2 F作直线交椭圆 C于MN、两点, 1 FMN 的周长为8 2. （1）求椭圆C的方程; （2）若斜率为 1 2 的直线l与椭圆相交于, A B两点，求定点 (2,1)P 与交点, A B所构成的三

10、角形 PAB面积的最大值。 参考答案参考答案 1.答案：D 解析：由椭圆的定义，知 12 28PFPFa.由题可得 12 2PFPF,则 12 5,3PFPF，或 12 3,5PFPF.又 12 24FFc,所以 12 PFF为直角三角形. 2.答案：C 解析：由题意两定圆的圆心坐标为 12 (0,0),(4,0)OO，半径分别为 1,2.设动圆圆心为C，动圆半 径为 r，则 12 1,2CDrCOr ， 2112 14COCOOO ,故动圆圆心的轨迹为双曲 线的一支. 3.答案：A 解析：双曲线的一个焦点为(2,0)，焦点在 x 轴上且2c ， 2 34mmc ， 1 2 m . 4.答案：

11、D 解析：抛物线 2 16xy的准线方程为4y ,由抛物线的定义知,抛物线 2 16xy上一点 00 ,x y到焦 点的距离为 0 4y ,所以 00 43yy,解得 0 2y .故选 D. 5.答案：B 解析：由题设可知椭圆C的焦点在x轴上,其坐标分别为(1,0),( 1,0),24a,故 2 2,1,3acb,所 以椭圆C的标准方程为 22 1 43 xy . 6.答案：D 解析：双曲线 22 1 259 xy 的 22 5,3,34abcab, 由双曲线的定义可得 12 210MFMFa, 即为 2 1810MF,解得 2 8MF 或28. 检验若 M在左支上,可得 1 345MFca,

12、成立; 若 M在右支上,可得 1 345MFca,成立.故选: D. 求得双曲线的, ,a b c,运用双曲线的定义,可得 12 210MFMFa,解方程可得所求值, 检验 M 在两支的情况即可 7.答案：B 解析：长轴长为2 5，故错误 设 12 PFF 的内心为 C，内切圆的半径为 r，点 P到 12 FF的距离为 h，则 1 21 212 12 1 2 PF FCF FCPFCPF SFFhSSS 111 222 222 c hcrar，即 15hr.2h Q ， 2 51 r ， 2 5135 22 S 内切圆 .故正确 由余弦定理，得 222 1212 12 12 cos 2 PFP

13、FFF FPF PFPF 2 1212 12 24 2 PFPFPFPF PFPF 12 8 1 PFPF . 又 2 12 12 5 2 PFPF PFPF ，当且仅当 12 5PFPF时等号成立， 12 3 cos 5 FPF ，故 错误.故选 B. 8.答案：A 解析：若直线的斜率不存在,则直线方程为1x ,代入抛物线方程和圆的方程,可直接得到, , ,A B C D 四个点的坐标分别为(1,2),(1,1),(1, 1),(1, 2),所以| 1,| 1ABCD,从而| | 1ABCD.若直线的斜率 存在,设为 k,因为直线过抛物线的焦点1,0,所以直线方程为(1)yk x.不妨设 1

14、122 ,A x yD x y, 过点,A D分别作抛物线准线的垂线,由抛物线的定义得, 12 |1,|1AFxDFx.把直线方程与抛物 线方程联立,消去y可得 2222 240k xkxk,由根与系数的关系得 12 1x x .而抛物线的焦点 F同时是已知圆的圆心,所以| | 1BFCF.从而有 12 | |,| |ABAFBFxCDDFCFx,所 以 12 | |1ABCDx x.故选 A. 9.答案：ACD 解析：A.由双曲线C的标准方程可得其渐近线方程为yx ,正确. B.由题意得 12 (2,0),( 2,0)FF,则以 12 F F为直径的圆的方程为 22 2xy,错误. C. 1

15、( 2,0)F ,不妨取一条渐近线为yx,点 1 F到该条渐近线的距离 |20| 1 1 1 d ,正确. D.由题意得 12 (2,0),( 2,0)FF,设 00 ,P x y,由 12 0PF PF uuu r uuu r ,得 2 000 220 xxy.又 22 00 1xy,解得 0 6 2 x , 0 2 2 y ,则 12 PFFV的面积 120 1 1 2 SFFy,正确. 故选 ACD. 10.答案：ACD 解析：记椭圆C的上、下顶点分别为 12 ,B B,易知 12112122 FPFFB FFB F .选项 A 中, 112122 90FB FFB F ,正确.选项 B

16、中, 112122 90FB FFB F ,不存在 90的 12 F PF,错误.选 项 C 中,面积 1 2 222 1 2 222 PF F bca Sc bbc V ,正确.选项 D中,周长 1 2 224 PF F Ccaa V ,正确. 11.答案：ABC 解析：对于 A,因为2p ,所以 12 2 |xxPQ,则| 8PQ ,故 A正确.对于 B,设N为PQ的中点,点 N在l上的射影为 1 N,点Q在l上的射影为 1 Q,则由梯形性质可得 11 1 | 222 PPQQ PFQFPQ NN ,故 B 正确.对于 C,因为(1,0)F,所以 1 | |2PMPPPMPFMF,故 C

17、正确.对于 D,显然直线0,1xy与抛物线只有一个公共 点.设过M的直线为1ykx,由 2 1 4 ykx yx ,可得 22 (24)10k xkx .令 22 (24)40kk,解 得1k ,所以直线1yx与抛物线也只有一个公共点,所以有三条直线符合题意,故 D 错误.故选 ABC. 12.答案：BD 解析：设 112200 ,A x yB x yM x y,则 22 11 22 22 1 24 1 24 xy xy ,两式相减,得 2222 1212 0 24 xxyy ,即 1212 1212 2 yyyy xxxx ,即2 ABOM kk .对于 A,21 ABOH kk ,所以 A

18、不正确；对于 B,由 2,(1,1) ABOH kkM ,得2 AB k ,所以直线l的方程为12(1)yx ,即230 xy,所以 B正 确；对于 C,若直线的方程为 1 4 1, 3 3 yxM ,则1 442 ABOM kk ,所以 C不正确；对于 D,由 22 2 1 24 yx xy ,得 2 340 xx,解得0 x 或 4 3 x ,所以 2 44 2 |1 10 33 AB ,所以 D 正确.故选 BD. 13.答案：4150 xy 解析：方法一：设 1122 ,A x yB x y,则有 2 11 2 22 8 , 8. yx yx 4,1QQ是弦AB的中点, 1212 8,

19、2xxyy. 得 121212 8yyyyxx. 将代入得 1212 4yyxx, 即 12 12 4, yy xx 直线AB的斜率4k . 所求弦AB所在直线的方程为144yx , 即4150 xy. 方法二：设弦AB所在直线的方程为41yk x. 由 2 8 , (4)1 yx yk x 消去x得 2 83280kyyk, 此方程的两根就是, A B两点的纵坐标,由根与系数的关系和中点坐标公式,得 12 8 yy k .又 12 2,4yyk. 所求弦AB所在直线的方程为4150 xy. 14.答案： 3 ,1 2 解析：当P是椭圆的上、下顶点时, 12 F PF最大,所以 12 1201

20、80FPF,所以 1 6090FPO, 所以 1 sin60sinsin90 .FPO因为 11 ,FPa FOc,所以 3 1 2 c a ,则椭圆的离心率 e的取值范 围为 3 ,1 2 . 15.答案： 2 2 1 4 x y 解析：方法一：因为双曲线过点 4, 3,渐近线方程为 1 2 yx ,且点(4, 3)在直线 1 2 yx的下方, 所以该双曲线的标准方程可设为 22 22 1(0,0) xy ab ab ,所以 22 22 4( 3) 1, 1 , 2 ab b a 解得 2, 1, a b 故双曲线 的标准方程为 2 2 1 4 x y. 方法二：因为双曲线的渐近线方程为 1

21、 2 yx ,所以可设双曲线的方程为 2 2 (0) 4 x y .又因为 双曲线过点(4, 3),所以 2 2 4 ( 3) 4 ,解得1,故双曲线的标准方程为 2 2 1 4 x y. 16.答案： 6 3 解析： 17.答案：1.因为抛物线的焦点在 x轴的正半轴上，且1,2 2 p p， 所以所求抛物线方程为 2 4yx，准线方程为1x 2.设 1122 ( ,), (,)A x yB xy， A B、到准线的距离为， 12 , 22 AB pp dAFxdBFx， 于是 12 ABxxp，由已知得直线AB的方程为：1yx， 将1yx代入抛物线方程 2 4yx， 得 2 610 xx ，

22、所以 12 6xx， 所以 12 628ABxxp 解析： 18.答案：(1) 2 2222 2 21 ,2, 22 cc acbc bc aa Q, 22 2ab, 椭圆C的方程化为 22 22 1 2 xy bb . 由题意知,椭圆C过点 6,1, 22 61 1 2bb ,解得 22 4,8ba, 所以椭圆C的方程为 22 1 84 xy . (2)当直线l斜率存在时,设直线:1l ykx, 由 22 28, 1 xy ykx 得 22 21460kxkx, 22 1624 210kk . 设 1122 ,A x yB x y,则 12 2 12 2 4 , 21 6 , 21 k xx

23、 k x x k 假设存在定点0,Qt符合题意, , QAQB PQAPQBkk Q, 211212 12 1212 QAQB x yx yt xxytyt kk xxx x 2112121212 1212 112(1)xkxx kxt xxkx xtxx x xx x 42 (4) 2(1)0 63 kkt kt . Q上式对任意实数k恒等于零,40t ,即4,0,4tQ； 当直线l斜率不存在时, A B两点分别为椭圆的上、下顶点0, 2),)(0,2,显然此时PQAPQB. 综上,存在定点(0,4)Q满足题意. 解析： 19.答案：(1)过点P作PQ垂直抛物线的准线 1 : 2 l x 于

24、点Q,由抛物线的定义,知 | |PAPFPAPQ, 当, ,P A Q三点共线时,PAPQ的值最小,最小值为 7 2 ,即PAPF的最小值为 7 2 , 此时点P的纵坐标为 2,代入 2 2yx,得2x ,即点P的坐标为2,2. (2)设抛物线上点P到准线 1 : 2 l x 的距离为d. 由抛物线的定义,得| |PBdPBPFBF,当, ,B P F三点共线(P在线段BF上)时取等号. 又 2 2 11 |(20)2 22 BF ,所以所求最小值为 2. 解析： 20.答案：(1)由 22 1, 1 ykx xy 消去y,得 22 1220kxkx. Q直线l与双曲线C有两个不同的交点, 2

25、 22 10, 48 10, k kk 解得22k,且1k , 实数k的取值范围为(2, 1)( 1,1)(1, 2) . (2)设 1122 ,A x yB x y. 由(1)可知 1212 22 22 , 11 k xxx x kk , 22 2 22 12 222 2 184 28 |11 11 1 kk k ABkxxk kk k . Q点O到直线l的距离 2 1 1 d k , 2 2 2 1184 |2 22 1 AOB k SAB d k V , 即 42 230,0kkk或 6 2 k . 实数k的值为 66 0, 22 . 解析： 21.(1)抛物线方程为 y24x，2p4，

26、 p 21， 抛物线焦点 F2的坐标为(1,0)，它也是椭圆的右焦点，在椭圆中，c1，a29 b2c2，9m1， m8. (2)解方程组 y24x， x2 9 y2 81. 得 x3 2， y 6， 或 x3 2， y 6. 点 P、Q的坐标为(3 2， 6)、( 3 2， 6) (3)点 P 的纵坐标 6就是PF1F2的边 F1F2上的高， SPF1F21 2|F1F2| |yp| 1 22 6 6. 22.答案：解（1）由题意的: 622 c ,284 1 aC MNF ,6c , 22a 2 22 cab 椭圆 C的方程为1 28 22 yx 2.直线l的斜率为 2 1 ，可设直线l的方

27、程为mxy 2 1 与椭圆C的方程联立可得： 0422 22 mmxx 设),(), 2211 yxyxBA两点的坐标为（，由韦达定理得： mxx2 21 ，42 2 21 mxx )4(54)( 2 21 2 21 mxxxxAB 点P到直线l的距离 5 2 1 4 1 11mm d ， 222 2 1 5(4)(4) 25 PAB m SAB dmmm 由知：0416)42(44 222 mmm，40 2 m， 令 2 mt ，则40t， 242 44ttmm 令 2 4)(tttf，则4)2(40)(ftf上的最大值为，在 PAB S 的最大值为24)( max tf 综上所述：三角形PAB面积的最大值2 解析：