1.2.1-1.2.2 第1课时 基本初等函数的导数公式 （2021人教A版） 高中数学选修2-2资料）.pptx

1、第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 高中数学 选修2-2 人教A版 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 名称 原函数 导函数 说明 幂函数 f(x)=x f(x)= x-1 Q* 指数函数 f(x)=ax f(x)= axln a a0 且a1 对数函数 f(x)=logax f(x)= 三角函数 f(x)=sin x f(x)= cos x 注意“-” f(x)=cos x f(x)= -sin x 1 lnxa 1 |中学所需掌握的基本初等函数导数公式汇总 1.2 导数的计算 1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基

2、本初等函数的导数公式及导数的运算法则 第1课时 基本初等函数的导数公式 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 2 |常用特殊函数的导数 名称 原函数 导函数 说明 常数函数 f(x)=c(c为常数) f(x)= 0 幂函数 f(x)=x f(x)= 1 为-1、 、1、2 的特例 f(x)=x2 f(x)= 2x f(x)= f(x)= - f(x)= f(x)= 指数函数 f(x)=ex f(x)= ex a为e的特例 对数函数 f(x)=ln x f(x)= 2 1 x x 1 2 x 1 x 1 2 1 x 第第1讲讲 描述运动的基本概

3、念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 注意:1.特殊函数的导数,是基本初等函数的导数中几个最常用的特殊导数,因 为“常用”故“特殊”对待,以便日后快捷应用. 2.如图,从以下三个角度,理清函数g(x)=ex, f(x)=ln x,h(x)=x+1,q(x)=x,r(x)=x-1图象之 间的关系,养成善于利用二级结论,快速解决相关问题的好习惯. (1)对称性:g(x)=ex与f(x)=ln x,h(x)=x+1与r(x)=x-1关 于直线y=x对称. (2)斜率k=1的切线方程:h(x)=x+1为g(x)=ex的切线方 程,r(x)=x-1为f(x)=ln x的切线 方程

4、. (3)不等关系:若x0,则exx+1xx-1ln x. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 1.若y=e3,则y=e3.( ) 提示:y=e3是常数函数,y=0,故错误. 2.()=.( ) 提示:()=,故错误. 3.(log3x)=.( ) 提示:(log3x)=,故错误. 4.(ln x)=.( ) 提示:(ln x)=(logex)=,故正确. 5 3 x 2 3 x 5 3 x 5 3 2 3 x 1 3lnx 1 ln3x 1 x 1 lnex 1 x 判断正误，正确的画“ ” ，错误的画“ ”. 第第1讲讲 描述运动的基本

5、概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 5.=cos.( ) 提示:=(cos x)=-sin x,cos=sin x,故错误. 6.en+1n+2(nN*).( ) 提示:nN*,n+10,根据不等关系exx+1可知en+1n+1+1=n+2,故正确. sin- 2 x - 2 x sin- 2 x - 2 x 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 1 |快速准确地应用基本初等函数的导数公式求导 导数及其应用是目前高考的重难点之一,也经常是高考压轴题的落脚之处,其 核心基础就是能快速准确地利用基本初等函数的导数公式对

6、目标函数进行求导. 对基本初等函数求导,需要注意以下几个方面: 1.认真辨析,若所求函数符合导数公式的形式,则直接利用公式求解. 2.对于不能直接利用公式的类型,一般遵循“先化简,再求导”的基本原则,特别是 幂函数,根指数要化成分数指数形式,避免运算失误. 3.要特别注意“y=与y=ln x”“y=mx与y=logmx”“y=sin x与y=cos x”的导数的 区别. 1 x 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 ()求下列函数的导数. (1)y=2sin sin; (2)y=; 2 x- 2 x 2 3 10 52 lg x x (3)y

7、=-log10. 1 x 解析解析 (1)y=2sin sin=2sin cos =sin x,故y=cos x. (2)y=,y=. (3)y=-log10=log10 x,故y=. 2 x- 2 x 2 x 2 x 2 3 10 52 lg x x 2 3 2 5 x x 4 15 x 4 15 11 -15 x 1 x 1 ln10 x 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 跟踪训练跟踪训练1()求下列函数的导数. (1)y=;(2)y=;(3)y=2cos2-1. 解析解析 (1)y= ln =- ln 2. (2)因为y=,所以y=

8、()= . 1 2 x 2 x x2 x 1 2 x 1 2 1 2 x 2 x x 3 2 x 3 2 x 3 2 1 2 x 3 2 x (3)因为y=2cos2-1=cos x, 所以y=(cos x)=-sin x. 2 x 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 求曲线的切线方程是导数的主要应用之一,首先要抓住切线的斜率k与 f(x)的联系, 同时还需要注意以下几点: (1)切点是曲线与切线的公共点,切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程; (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率; (3)必须明确已知点是不是切点,如果不是,应先设出切点

9、. 2 |导数公式的综合应用 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 ()(1)点P是曲线y=ex上的任意一点,求点P到直线y=x的最小距离; (2)求过曲线f(x)=cos x上一点P,且与曲线在这点的切线垂直的直线方程. 解析解析 (1)如图,当曲线y=ex在点P处的切线与直线y=x平行时,点P到直线y=x的距离 1 , 3 2 最近.设此时切点P的坐标为(x0,y0),则曲线y=ex在点P(x0,y0)处的切线的斜率为1,因为 y=(ex)=ex,所以=1,得x0=0,代入y=ex,得y0=1,即P(0,1),利用点到直线的距离公式得 最

10、小距离为. 0 ex 2 2 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 (2)因为f(x)=cos x,所以 f(x)=-sin x,则曲线f(x)=cos x在点P处的切线的斜率为 f=-sin =-,所以所求直线的斜率为,故所求直线方程为y-=, 即y=x-+. 1 , 3 2 3 3 3 2 2 3 3 1 2 2 3 3 - 3 x 2 3 3 2 3 9 1 2 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 跟踪训练跟踪训练2()如图,设直线l1与曲线y=相切于点P,直线l2过点P且垂直于l1

11、, 若l2交x轴于点Q,作PK垂直x轴于点K,求KQ的长. x 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 解析解析 设P(x0,y0),则直线l1的斜率=y=, 直线l1与l2垂直,则=-2, 直线l2的方程为y-y0=-2(x-x0). 点P(x0,y0)在曲线y=上, y0=, 在直线l2的方程中,令y=0, 则-=-2(x-x0), x=+x0,即xQ=+x0, 又xK=x0, |KQ|=xQ-xK=+x0-x0=. 1 l k 0 x x 0 1 2 x 2 l k 0 x 0 x x 0 x 0 x 0 x 1 2 1 2 1 2 1 2