1.5 定积分的概念 (02)（2021人教A版） 高中数学选修2-2资料）.pptx

1、第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 高中数学 选修2-2 人教A版 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 1.曲边梯形 如图,由直线x=a,x=b(ab),y=0以及曲线y= f(x)所围成的图形称为 曲边梯形 . 1 |曲边梯形的面积 1.5 定积分的概念 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 2.求曲边梯形的面积的步骤 (1)分割:把区间a,b分成多个小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形. (2)近似代替:对每个小曲边梯形“ 以直代曲 ”,即用矩形的面积近似代替小 曲

2、边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值. (3)求和:对由近似代替得到的每个小曲边梯形的面积的近似值 求和 . (4)取极限:当小曲边梯形的个数趋于无穷时,各小曲边梯形的面积之和趋于一个 定值 ,该定值即曲边梯形的面积. 求变速直线运动路程的步骤: 分割 ; 近似代替 ; 求和 ; 取极限 . 2 |变速直线运动的路程 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 3 |定积分的概念 如果函数f(x)在区间a,b上连续,用分点a=x0x1xi-1xixn=b将区间a,b 等分成n个小区间,在每个小区间xi-1,xi上任取一点i(i=1,2,n)

3、,作和式f(i)x= f(i) (其中x为小区间的长度),当n时,上述和式无限接近某个常 数,这个常数叫做函数f(x)在区间a,b上的 定积分 ,记作,即f(x)dx= f(i) . 这里,a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间a,b叫做积分区间,函数f(x)叫做 被积函数 ,x叫做积分变量, f(x)dx叫做 被积式 . 1 n i 1 n i -b a n ( )d b a f xx b a lim n1 n i -b a n 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 4 |定积分的几何意义 5 |定积分的性质 从几何上看,如果在区间a,b上

4、,函数f(x)连续且恒有 f(x)0,那么定积分f(x) dx表示由直线x=a,x=b(ab),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积,这就是定 积分f(x)dx的几何意义. b a b a 根据定积分的定义,得出定积分的性质如下: 性质1:kf(x)dx= k f(x)dx(k为常数)(定积分的线性性质); 性质2:f1(x)f2(x)dx=f1(x)dx f2(x)dx (定积分的线性性质); 性质3:f(x)dx=f(x)dx+ f(x)dx (其中acb)(定积分对积分区间的可加性). b a b a b a b a b a b a c a b c 第第1讲讲 描述运动的基本概

5、念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 1.当n很大时,函数f(x)=x2在区间上的一个值能用近似代替.( ) 2.=( ) 提示:定积分大小只与被积函数和积分上下限有关,故正确. 3.0,根据定积分的定义可知,所表示的面积小于所表示的面积, 故正确. ( )d b a f xx( )d . b a f tt 1 02 d x x 2 0 2 d x x 1 02 d x x 2 0 2 d x x -1,ii nn 2 i n 判断正误，正确的画“ ” ，错误的画“ ” . 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 1 |

6、求曲边梯形的面积 正确理解曲边梯形的概念是研究曲边梯形面积的关键,实际上,曲边梯形是由曲 线段和直线段围成的平面图形.“曲边梯形”与“直边图形”的主要区别是前者 有一边是曲线段,而“直边图形”的所有边都是直线段. 求曲边梯形面积的基本步骤是分割、近似代替、求和、取极限.在“近似代 替”中,在每个小区间上通常取某一端点的值代入计算,这样做是为了计算 简便.当f(i)为负值时,取|(i)|为一边的长构造小矩形. -1,ii nn 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 求和时常用的一些公式 1+2+3+n=, 12+22+32+n2=, 13+23

7、+33+n3=. (1) 2 n n (1)(21) 6 n nn 2 (1) 2 n n 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 ()利用定积分的定义,计算. 解析解析 令f(x)=3x+2. (1)分割 在区间1,2上等间隔地插入(n-1)个分点,将区间1,2等分成n个小区间 (i=1,2,n),每个小区间的长度x=-=. 2 1 (32)dxx的值 -1,nini nn ni n -1ni n 1 n 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 (2)近似代替、求和 取i=(i=1,2,n),

8、 则Sn=fx = = =0+1+2+(n-1)+5 -1ni n 1 n i -1ni n 1 n i 3(-1) 2 ni n 1 n 1 n i 2 3( -1)5i nn 2 3 n =+5=-. (3)取极限 (3x+2)dx= Sn=. 3 2 2 2 -n n n 13 2 3 2n 2 1 lim n lim n 133 - 22n 13 2 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 跟踪训练跟踪训练1()求由直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2+1所围成的曲边梯形的面积. 参考公式:12+22+n2=n(n+1)(2n+1)

9、. 解析解析 令f(x)=x2+1. (1)分割 将区间0,2n等分,分点依次为 x0=0,x1=,x2=,xn-1=,xn=2. 第i个区间为(i=1,2,n),每个小区间的长度为x=-=. (2)近似代替、求和 1 6 2 n 4 n 2( -1)n n 2 -2 2 , ii nn 2i n 2 -2i n 2 n 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 取i=(i=1,2,n), 则Sn=fx = =i2+2 =(12+22+n2)+2 =+2 =+2. 2i n 1 n i 2i n 1 n i 2 2 1 i n 2 n 3 8 n

10、 1 n i 3 8 n 3 8 n (1)(21) 6 n nn 4 3 2 31 2 nn 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 (3)取极限 (x2+1)dx=Sn =, 即所求曲边梯形的面积为. 2 0 lim n lim n 2 431 22 3nn 14 3 14 3 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 求汽车行驶的路程与求曲边梯形的面积之间的关系:求汽车行驶的路程实际 上是求时间-速度坐标系中的曲边梯形的面积,所以求汽车行驶的路程与求曲边梯 形的面积的方法一样. 2 |求变速

11、直线运动的路程 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 ()一辆汽车做变速直线运动,设汽车在t时的速度v(t)=,求汽车在t=1到t=2 这段时间内运动的路程s. 2 6 t 解析解析 (1)画出图象 (2)分割 把区间1,2等分成n个小区间(i=1,2,n),每个小区间的长度为t=, 把每个时间段内汽车行驶的路程记为si(i=1,2,n). 故路程和sn=si. -1,nini nn 1 n 1 n i 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 (3)近似代替 取i=(i=1,2,n), -1n

12、i n 于是sivt=6=(i=1,2,3,n). (4)求和sn=6n=6n. (5)取极限 s= sn=3. -1ni n 2 -1 n ni 1 n 2 6 (-1) n ni 6 (-1)() n nini 1 n i 6 (-1)() n nini 111111 -?- 1122 -1 2n nnnnn 11 - 2nn lim n lim n 11 6- 2 n nn 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 跟踪训练跟踪训练2()有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶,在时刻t的速度v(t)=3t2+2 (单位:km/h),那么该汽车在0

13、t2(单位:h)这段时间内行驶的路程s(单位:km)是多 少? 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 解析解析 (1)分割 在区间0,2上等间隔地插入(n-1)个分点,将它分成n个小区间(i=1,2,n), 每个小区间的长度为t=-=.每个时间段上行驶的路程记为si(i=1,2,n), 则显然有sn=si. (2)近似代替 取i=(i=1,2,n), 于是sivt =3 2+2 =+(i=1,2,n). 2( -1) 2 , ii nn 2i n 2( -1)i n 2 n 1 n i 2i n 2i n 2i n 2 n 2 3 24i n 4 n 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 (3)求和 sn= =(12+22+n2)+4 =+4 =8+4. (4)取极限 s=sn=8+4=8+4=12, 所以这段时间内行驶的路程为12 km. 3 24 n 3 24 n (1)(21) 6 n nn 12 n 2 4 n lim n lim n 12 n 2 4 n 1 n i 2 3 244i nn